中心つき四面体数

中心つき四面体数（ちゅうしんつきしめんたいすう、テンプレート:Lang-en-short）は、四面体についての中心つき図形数。非負整数 n に対して、n 番目の中心つき四面体数は

$C_n=\frac{1}{3}(2n+1)(n^2+n+3)$

で与えられる。最初のいくつかの中心つき四面体数は

1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589, 791, ... （テンプレート:OEIS）

である。

定義と公式

まず、0番目は1点のみと見なす。すなわち C₀ = 1 である。以下帰納的に、n 番目の点の並びは n - 1 番目の点の周りに、四面体の面状に点を付け加えたものと見なす。付け加える点は、通常の四面体数

$T_{n+1}=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(n+3)$

の点の並びのうち、表面のみの部分である。n = 1, 2, 3 に対しては全ての点が表面にあるが、n ≥ 4 に対しては表面のみの点の個数は（内部の点を抜いて）

$T_{n+1}-T_{n-3}=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(n+3)-\frac{1}{6}(n-3)(n-2)(n-1)=2n^2+2$

となる。形式上、n = 1, 2, 3 に対しても T_{n - 3} = 0 となるので、全ての n ≥ 1 に対して

$C_n=C_{n-1}+(2n^2+2)$

が成り立つ。よって、

$C_n=C_0+\sum _{k=1}^n(2k^2+2)=\frac{1}{3}(2n+1)(n^2+n+3)$

である。

性質

• 4つの連続した四面体数の和である：

$C_n=T_{n-2}+T_{n-1}+T_n+T_{n+1}$

ただし、n = -2, -1, 0 に対しては T_n = 0 と見なす。このことは、上記の定義から直ちに従う。四面体数は二項係数で表されるので、二項係数の性質を用いるなどして、様々な公式が得られる。例えば

$C_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+4(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})+6(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})+4(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})$

が成り立つ。このことから、次のような意味付けができる。集合 X = {1, 2, 3, ..., n + 4} とその特定の部分集合 Y = {1, 2, 3, 4} を考えよう。4個の元からなる X の部分集合のうち、Y と共通部分を持つものの個数が、C_n に等しい。

• 母関数は以下で与えられる：

$\frac{(1+x)(1+x^2)}{(1-x{)}^4}(=1+5x+15x^2+35x^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{x}^n)$