中心二項係数のソースを表示

数学における'''中心二項係数'''（ちゅうしんにこうけいすう、{{Lang-en-short|Central binomial coefficient}}）は、''n番目の''中心二項係数''を''

:<math> {2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{2^{n} (2n -1)!!}{n!} \qquad (n \geq 0)</math>

とする。[[パスカルの三角形]]の奇数行の真ん中にあるため、中心二項係数と呼ばれる。
{|
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| align="center" width="25px" |<math>\underline{1}</math>
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
| width="25px" |&nbsp;
|-
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|-
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>\underline{2}</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|-
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>3</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>3</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|-
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>4</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>\underline{6}</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>4</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|-
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>5</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>10</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>10</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>5</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|-
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>6</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>15</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>\underline{20}</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>15</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>6</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|-
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>7</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>21</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>35</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>35</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>21</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>7</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
|&nbsp;
|&nbsp;
|-
|&nbsp;
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>8</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>28</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>56</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>\underline{70}</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>56</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>28</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>8</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
|&nbsp;
|-
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>9</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>36</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>84</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>126</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>126</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>84</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>36</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>9</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
|-
| align="center" |<math>1</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>10</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>45</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>120</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>210</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>\underline{252}</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>210</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>120</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>45</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>10</math>
|&nbsp;
| align="center" |<math>1</math>
|}
中心二項係数の ''n'' ≧ 0 の値は

: [[1]], [[2]], [[6]], [[20]], [[70]], [[252]], [[924]], 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, 2704156, 10400600, 40116600, 155117520, 601080390, 2333606220, 9075135300, 35345263800, 137846528820, 538257874440, 2104098963720, 8233430727600, 32247603683100, 126410606437752, 495918532948104, 1946939425648112, …（{{OEIS|A000984}}）
: パスカル行列では、対角線に沿って表示される。

:<math> A_{10,10} = \begin{bmatrix} 
 \underline{1}& 1&     1&  1&     1&     1&     1&       1&      1&     1\\
  1& \underline{2}&    3&  4&     5&     6&     7&       8&      9&    10\\
  1&   3& \underline{6}&  10&    15&    21&    28&      36&     45&    55\\
  1&   4&  10& \underline{20}&   35&    56&    84&     120&    165&   220\\
  1&   5&  15&   35& \underline{70}&   126&   210&     330&    495&   715\\
  1&   6&  21&   56&  126& \underline{252}&   462&     792&   1287&  2002\\
  1&   7&  28&   84&  210&   462& \underline{924}&    1716&   3003&  5005\\
  1&   8&  36&  120&  330&   792&  1716& \underline{3432}&    6435& 11440\\
  1&   9&  45&  165&  495&  1287&  3003&   6435& \underline{12870}& 24310\\
  1&  10&  55&  220&  715&  2002&  5005&  11440&  24310& \underline{48620}
\end{bmatrix},</math>

== 性質 ==
属関数は中心二項係数に適用される。

:<math> \frac{1}{\sqrt{1-4x}} = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots . </math>

ウォリス積は、中心二項係数の漸近形式で記述できる。

:<math> {2n \choose n} = 2^{2n}\cdot\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} \quad (n\rightarrow\infty) </math>

最後の式は、[[スターリングの公式]]を使用して簡単に導出できる。一方、比較によるスターリング公式は、定数を決定するために使用できる。

単純な境界は次のように与えられる。

:<math> \frac{4^{n}}{2n+1} \leq {2n \choose n} \leq 4^{n}, \qquad (n \geq 1) \!\, . </math>

より良い境界は次のとおり:

:<math> \frac{4^{n}}{\sqrt{4n}} \leq {2n \choose n} \leq \frac{4^{n}}{\sqrt{3n+1}}, \qquad (n \geq 1) \!\, , </math>

そして、さらに高い精度が必要な場合：

:<math> {2n \choose n} = \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}}\left(1-\frac{c_n}{n}\right) \!\, , </math>

:<math> \frac{1}{9} < c_n < \frac{1}{8}, \qquad (n \geq 1) \!\, . </math>

奇数の中心二項係数は 1 だけである。<ref>{{Cite journal|last=Banakh|first=Iryna|last2=Banakh|first2=Taras|last3=Plichko|first3=Anatolij|last4=Prykarpatsky|first4=Anatoliy|date=2012-01-01|title=On local convexity of nonlinear mappings between Banach spaces|url=https://doi.org/10.2478/s11533-012-0101-z|journal=Open Mathematics|volume=10|issue=6|doi=10.2478/s11533-012-0101-z|issn=2391-5455}}</ref>

== 関連する数 ==
''n番目の''[[カタラン数]]を ''C''{{Sub|''n''}} とすると

:<math> C_{n} = \frac{1}{n+1} {2n \choose n} = {2n \choose n} - {2n \choose n+1} = \frac{(2n)!}{n! \; (n+1)!}, \qquad (n \geq 0) \!\, . </math>

中心二項係数の簡単な一般化は次のように与えられる。

:<math> \frac{\Gamma(2n+1)}{\Gamma(n+1)^2}=\frac{1}{n \operatorname{\Beta} (n+1,n)} \!\, , </math>

''n は''[[実数]]''で''、ここで <math>\Gamma(x)\, </math>は[[ガンマ関数]]、<math>\operatorname{\Beta} (x,y)\, </math>は[[ベータ関数]]である。

== その他の性質 ==
:<math>\sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n</math>

:<math>\textstyle \binom{2n}{n}</math>はパスカルの三角形の''n''番目の行の2乗の合計になる。
:<math>{2n \choose n}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2</math>

== 脚注 ==
<references />

== 関連項目 ==

* [[パスカルの三角形]]
* [[カタラン数]]
*[[二項係数]]

[[Category:数論|ちゆうしんにこうけいすう]]
[[Category:整数の類|ちゆうしんにこうけいすう]]
[[Category:数学に関する記事|ちゆうしんにこうけいすう]]
{{DEFAULTSORT:ちゆうしんにこうけいすう}}