中心二項係数

数学における中心二項係数（ちゅうしんにこうけいすう、テンプレート:Lang-en-short）は、n番目の中心二項係数を

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}=\frac{2^n(2n-1)!!}{n!}(n\ge 0)$

とする。パスカルの三角形の奇数行の真ん中にあるため、中心二項係数と呼ばれる。

										$\underset{\_}{1}$
									$1$		$1$
								$1$		$\underset{\_}{2}$		$1$
							$1$		$3$		$3$		$1$
						$1$		$4$		$\underset{\_}{6}$		$4$		$1$
					$1$		$5$		$10$		$10$		$5$		$1$
				$1$		$6$		$15$		$\underset{\_}{20}$		$15$		$6$		$1$
			$1$		$7$		$21$		$35$		$35$		$21$		$7$		$1$
		$1$		$8$		$28$		$56$		$\underset{\_}{70}$		$56$		$28$		$8$		$1$
	$1$		$9$		$36$		$84$		$126$		$126$		$84$		$36$		$9$		$1$
$1$		$10$		$45$		$120$		$210$		$\underset{\_}{252}$		$210$		$120$		$45$		$10$		$1$

中心二項係数の n ≧ 0 の値は

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, 2704156, 10400600, 40116600, 155117520, 601080390, 2333606220, 9075135300, 35345263800, 137846528820, 538257874440, 2104098963720, 8233430727600, 32247603683100, 126410606437752, 495918532948104, 1946939425648112, …（テンプレート:OEIS）

パスカル行列では、対角線に沿って表示される。

$A_{10,10}=\left[\begin{array}{cccccccccc}\underset{\_}{1}& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& \underset{\_}{2}& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 1& 3& \underset{\_}{6}& 10& 15& 21& 28& 36& 45& 55\\ 1& 4& 10& \underset{\_}{20}& 35& 56& 84& 120& 165& 220\\ 1& 5& 15& 35& \underset{\_}{70}& 126& 210& 330& 495& 715\\ 1& 6& 21& 56& 126& \underset{\_}{252}& 462& 792& 1287& 2002\\ 1& 7& 28& 84& 210& 462& \underset{\_}{924}& 1716& 3003& 5005\\ 1& 8& 36& 120& 330& 792& 1716& \underset{\_}{3432}& 6435& 11440\\ 1& 9& 45& 165& 495& 1287& 3003& 6435& \underset{\_}{12870}& 24310\\ 1& 10& 55& 220& 715& 2002& 5005& 11440& 24310& \underset{\_}{48620}\end{array}\right],$

性質

属関数は中心二項係数に適用される。

$\frac{1}{\sqrt{1-4x}}=1+2x+6x^2+20x^3+70x^4+252x^5+\cdots .$

ウォリス積は、中心二項係数の漸近形式で記述できる。

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=2^{2n}\cdot \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}\sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}(n\to \mathrm{\infty })$

最後の式は、スターリングの公式を使用して簡単に導出できる。一方、比較によるスターリング公式は、定数を決定するために使用できる。

単純な境界は次のように与えられる。

$\frac{4^n}{2n+1}\le (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\le 4^n,(n\ge 1).$

より良い境界は次のとおり:

$\frac{4^n}{\sqrt{4n}}\le (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\le \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}},(n\ge 1),$

そして、さらに高い精度が必要な場合：

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}(1-\frac{c_n}{n}),$

$\frac{1}{9}<c_n<\frac{1}{8},(n\ge 1).$

奇数の中心二項係数は 1 だけである。

関連する数

n番目のカタラン数を Cテンプレート:Sub とすると

$C_n=\frac{1}{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n+1})=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!},(n\ge 0).$

中心二項係数の簡単な一般化は次のように与えられる。

$\frac{\mathrm{\Gamma }(2n+1)}{\mathrm{\Gamma }(n+1{)}^2}=\frac{1}{n\mathrm{B}(n+1,n)},$

n は実数で、ここで $\mathrm{\Gamma }(x)$はガンマ関数、$\mathrm{B}(x,y)$はベータ関数である。

その他の性質

$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2k}{n-k})=4^n$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$はパスカルの三角形のn番目の行の2乗の合計になる。

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2$

関連項目

• パスカルの三角形
• カタラン数
• 二項係数