中心化群と正規化群のソースを表示

数学、とくに[[群論]]において、[[群 (数学)|群]] {{mvar|G}} の[[部分集合]] {{mvar|S}} の'''中心化群''' ({{lang-en-short|centralizer}}) とは、{{mvar|S}} の各元と[[可換性|可換な]] {{mvar|G}} の元全体からなる集合であり、{{mvar|S}} の'''正規化群''' (normalizer) とは、「全体で」{{mvar|S}} と可換な {{mvar|G}} の元全体からなる集合である。{{mvar|S}} の中心化群と正規化群は {{mvar|G}} の[[部分群]]であり、{{mvar|G}} の構造について知る手掛かりを得られる。

==定義==
群 {{mvar|G}} の部分集合 {{mvar|S}} の'''中心化群''' (centralizer) は次で定義される<ref>Jacobson (2009), p. 41</ref>。
:<math>\mathrm{C}_G(S)=\{g\in G\mid sg=gs \text{ for all } s\in S\}</math>
文脈から群 {{mvar|G}} が明らかなときには、表記 {{math|C<sub>''G''</sub>(''S'')}} から {{mvar|G}} を省くことがある。また {{mvar|S}} が[[単集合]] {{math|{''a''}}} のときには中心化群 {{math|C<sub>''G''</sub>({''a''})}} は {{math|C<sub>''G''</sub>(''a'')}} と略記される。この中心化群の別の表記として {{math|Z(''a'')}} もあるが、これはあまり一般的でなく、[[群の中心]]の表記と同じになってしまう。この表記では、群 {{mvar|G}} の中心 {{math|Z(''G'')}} と元 {{math|''g'' &isin; ''G''}} の''中心化群'' {{math|Z(''g'')}} とを混同しないよう注意しなければならない。

群 {{mvar|G}} における {{mvar|S}} の'''正規化群''' (normalizer) は次で定義される。
:<math>\mathrm{N}_G(S)=\{ g \in G \mid gS=Sg \}</math>
中心化群の定義と似ているが同じではない。{{mvar|g}} が {{mvar|S}} の中心化群の元で {{mvar|s}} が {{mvar|S}} の元であれば、{{math|''gs'' {{=}} ''sg''}} でなければならないが、{{mvar|g}} が正規化群の元であれば、{{mvar|s}} とは異なってもよい {{math|''t'' &isin; ''S''}} に対して {{math|''gs'' {{=}} ''tg''}} である。中心化群のときに述べた、{{mvar|G}} を省いたり単集合のときにブレース（中括弧）を省いたりする記法は、正規化群の表記に対しても同じく適用される。{{mvar|S}} の正規化群を {{mvar|S}} の{{仮リンク|共役包|label=正規包|en|conjugate closure}} (normal closure) すなわち、{{mvar|S}} の生成する正規部分群 {{math|&lang;&lang;''S''&rang;&rang;}} と混同してはならない。

==性質==
下記の性質は {{harvnb|Isaacs|2009|loc=Chapters 1−3}} による。

* {{mvar|S}} の中心化群と正規化群はともに {{mvar|G}} の部分群である。
* 明らかに、{{math|C<sub>''G''</sub>(''S'') &sube; N<sub>''G''</sub>(''S'')}} である。実は、{{math|C<sub>''G''</sub>(''S'')}} は必ず {{math|N<sub>''G''</sub>(''S'')}} の正規部分群である。
* {{math|C<sub>''G''</sub>(C<sub>''G''</sub>(''S''))}} は {{mvar|S}} を含むが、{{math|C<sub>''G''</sub>(''S'')}} は {{mvar|S}} を含むとは限らない。{{mvar|S}} のすべての元 {{math|''s'', ''t''}} に対して {{math|''st'' {{=}} ''ts''}} であれば含む。なのでもちろん {{mvar|H}} が {{mvar|G}} の可換な部分群であれば {{math|C<sub>''G''</sub>(''H'')}} は {{mvar|H}} を含む。
* {{mvar|S}} が {{mvar|G}} の部分[[半群]]であれば、{{math|N<sub>''G''</sub>(''S'')}} は {{mvar|S}} を含む。
* {{mvar|H}} が {{mvar|G}} の部分群であれば、{{mvar|H}} を[[正規部分群]]として含むような最大の {{mvar|G}} の部分群が {{math|N<sub>''G''</sub>(''H'')}} である。
* 元 {{math|''a'' &isin; ''G''}} の属する[[共役類]]の大きさと中心化群の指数 {{math|[''G'' : C<sub>''G''</sub>(''a'')]}} は等しい。
* 群 {{mvar|G}} の部分群 {{mvar|H}} と共役な部分群の数と正規化群の指数 {{math|[''G'' : N<sub>''G''</sub>(''H'')]}} は等しい。
* {{mvar|G}} の部分群 {{mvar|H}} は、{{math|N<sub>''G''</sub>(''H'') {{=}} ''H''}} であるときに、{{mvar|G}} の自己正規化部分群 (self-normalizing subgroup) と呼ばれる。
* {{mvar|G}} の中心はちょうど {{math|C<sub>''G''</sub>(G)}} であり、{{mvar|G}} が[[アーベル群]]であることと {{math|1=C<sub>''G''</sub>(''G'') = Z(''G'') = ''G''}} は同値である。
* [[単集合]]に対して、{{math|C<sub>''G''</sub>(''a'') {{=}} N<sub>''G''</sub>(''a'')}} である。
* 対称性により、{{mvar|S}} と {{mvar|T}} が {{mvar|G}} の 2 つの部分集合であれば、{{math|''T'' ⊆ C<sub>''G''</sub>(''S'')}} と {{math|''S'' ⊆ C<sub>''G''</sub>(''T'')}} は同値である。
* 群 {{mvar|G}} の部分群 {{mvar|H}} に対して、'''N/C定理''' (''N/C theorem'') は、[[剰余群]] {{math|N<sub>''G''</sub>(''H'')/C<sub>''G''</sub>(''H'')}} は {{mvar|H}} の[[自己同型群]] {{math|Aut(''H'')}} の部分群に[[群同型|同型]]であるという定理である。{{math|N<sub>''G''</sub>(''G'') {{=}} ''G''}} および {{math|C<sub>''G''</sub>(''G'') {{=}} Z(''G'')}} であるから、N/C theorem は、{{math|''G''/Z(''G'')}} は、''G'' のすべての[[内部自己同型]]からなる、{{math|Aut(''G'')}} の部分群 {{math|Inn(''G'')}} に同型であるということも意味している。
* [[群準同型]] {{math|''T'': ''G'' → Inn(''G'')}} を {{math|''T''(''x'')(''g'') {{=}} ''T''<sub>''x''</sub>(''g'') {{=}} ''xgx''<sup> &minus;1</sup>}} によって定義すれば、{{math|N<sub>''G''</sub>(''S'')}} と {{math|C<sub>''G''</sub>(''S'')}} を {{math|Inn(''G'')}} の {{mvar|G}} への[[群作用]]の言葉によって記述できる： {{mvar|S}} の {{math|Inn(''G'')}} における安定化群は {{math|''T''(N<sub>''G''</sub>(''S''))}} であり、{{mvar|S}} を固定する {{math|Inn(''G'')}} の部分群は {{math|''T''(C<sub>''G''</sub>(''S''))}} である。

==脚注==
<references/>

==参考文献==
*{{citation |last=Isaacs |first=I. Martin |title=Algebra: A Graduate Course |url={{google books|5tKq0kbHuc4C|Algebra: A Graduate Course|page=41|plainurl=yes}} |series=Graduate Studies in Mathematics |volume=100 |edition=reprint of the 1994 original |publisher=American Mathematical Society |place=Providence, RI |year=2009 |pages=xii+516 |isbn=978-0-8218-4799-2 |mr=2472787}}
*{{citation |last=Jacobson |first=Nathan |year=2009 |title=Basic Algebra |url={{google books|JHFpv0tKiBAC|Basic Algebra|plainurl=yes}} |edition=second |volume=I |publisher=Dover |isbn=978-0-486-47189-1}}

==関連項目==
* [[交換子]] (commutator)
* [[安定化部分群]] (stabilizer subgroup)
* [[交換団]] (commutant)

{{DEFAULTSORT:ちゆうしんかくんとせいきかくん}}
[[Category:抽象代数学]]
[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[ru:Центр группы]]