中心的単純環のソースを表示

[[数学]]の特に[[環論]]において、[[可換体|体]] {{math|''K''}} 上の'''中心的単純多元環'''（ちゅうしんてきたんじゅんかん、{{lang-en-short|''central simple algebra''; '''CSA'''}}）とは、与えられた  {{math|''K''}} 上の階数（ベクトル空間としての次元）が有限な[[結合多元環]] {{math|''A''}} であって、[[環 (数学)|環]]として[[単純環|単純]]で、その[[環の中心|中心]]がちょうど ''K'' となっているようなものをいう。明らかに、任意の単純多元環は、その中心上の中心的単純環である。

例えば、[[複素数]]体 {{math|'''C'''}} はそれ自身の上の中心的単純環だが、（{{math|'''C'''}} の中心は {{math|'''C'''}} であって {{math|'''R'''}} ではないから）[[実数]]体 {{math|'''R'''}} 上の中心的単純環ではない。[[四元数]]体 {{math|'''H'''}} は {{math|'''R'''}} 上 4-次元の中心的単純環をなし、後述するように {{math|'''R'''}} の[[ブラウアー群]] {{math|Br('''R''')}} の非自明な元によって表される。

同じ体 {{math|''F''}} 上の二つの中心的単純環 {{math|''A'' &cong; M<sub>''n''</sub>(''S'')}} と {{math|''B'' &cong; M<sub>''m''</sub>(''T'')}} とが互いに'''相似'''（あるいは'''[[森田同値|ブラウアー同値]]'''）であるとは、それらに属する[[斜体]] {{math|''S''}} と {{math|''T''}} とが同型となることをいう。与えられた体 {{math|''F''}} 上の中心的単純環の、この同値関係に関する[[同値類]]は'''多元環類'''と呼ばれ，これらが成す集合には、[[多元環のテンソル積]]によって[[群 (数学)|群演算]]を与えることができる。このようにして得られた群は、体 {{math|''F''}} の[[ブラウアー群]] {{math|Br(''F'')}} と呼ばれる{{sfn|Lorenz|2008|page=159}}。ブラウアー群は常に[[ねじれ群]]である{{sfn|Lorenz|2008|page=194}}。

== 性質 ==
* [[アルティン・ウェダーバーンの定理]]によれば、単純環 {{math|''A''}} は適当な[[斜体]] {{math|''S''}} 上の何らかのサイズ {{math|''n''}} の[[全行列環]] {{math|M(''n'', ''S'')}} に同型である。従って、各ブラウアー同値類にはただ一つの多元体が属する{{sfn|Lorenz|2008|page=160}}。
* 中心的単純環の[[自己同型]]は必ず[[内部自己同型]]となる（{{仮リンク|スコーレム&ndash;ネーターの定理|en|Skolem–Noether theorem}}からの帰結{{sfn|ブルバキ|1970|page=110}}）。
* 中心的単純環の（中心上のベクトル空間としての）次元は常に[[平方数]]であり、その正の平方根を中心的単純環の'''次数''' (''degree'') と呼ぶ。中心的単純環の'''シューア指数''' (''Schur index'') あるいは単に'''指数'''とは、それとブラウアー同値な多元体の次数を言う{{sfn|Lorenz|2008|page=163}}。これは中心的単純環の属する[[ブラウアー群|ブラウアー類]]のみで決まる{{sfn|Gille|Szamuely|2006|page=100}}。
* 中心的単純環の'''周期'''とは、それが属するブラウアー類のブラウアー群における位数を言う。周期はシューア指数の約数であり、また両者は同じ素因数からなる合成数である{{sfn|Gille|Szamuely|2006|page=104}}。
* {{math|''S''}} が体 {{math|''F''}} 上の中心的単純環 {{math|''A''}} の単純[[部分多元環]]ならば、{{math|dim<sub>''F''</sub>&thinsp;''S''}} は {{math|dim<sub>''F''</sub>&thinsp;''A''}} を整除する。 
* 体 {{math|''F''}} 上の {{math|4}}-次元中心的単純環は[[四元数環|一般四元数環]]に必ず同型である。実は、そのような環は二次の[[全行列環]] {{math|M(2, ''F'')}} か、さもなくば[[多元体]]であるかのいずれかである。
* {{math|''D''}} が体 {{math|''K''}} 上の中心的多元体で、そのシューア指数 {{math|ind(''D'')}} が素因数分解 {{math|ind(''D'') {{=}} &prod;{{su|b=''i''=1|p=''r''}}&thinsp;{{subsup|''p''|2=''i''|3=''m''{{ind|''i''}}|s=0}}}} を持つとするとき、{{math|''D''}} は[[多元環のテンソル積|テンソル積]]分解 {{math|''D'' {{=}} <span style{{=}}"font-size: 180%; vertical-align: top;">&otimes;</span>{{su|b=''i''=1|p=''r''}} ''D''{{ind|''i''}}}} を持つ。ただし、各成分 {{math|''D''<sub>''i''</sub>}} は指数 {{math|{{subsup|''p''|2=''i''|3=''m''{{ind|''i''}}|s=0}}}} なる中心的多元体であり、これら成分は[[同型を除いて]]一意に決まる{{sfn|Gille|Szamuely|2006|page=105}}。

== 中心的単純環の分解体 ==
体 {{math|''E''}} が {{math|''K''}} 上の中心的単純環 {{math|''A''}} の'''分解体''' (''splitting field'') であるとは、[[多元環のテンソル積|テンソル積]] {{math|''A'' ⊗{{msub|''K''}} ''E''}} が {{math|''E''}} 上の行列環と同型となるときに言う。任意の有限次元中心的単純環は分解体を持つ。実際、{{math|''A''}} が多元体の場合は {{math|''A''}} の極大可換部分体がその分解体になる。一般に、{{math|''K''}} の[[分離拡大]]となるような分解体が存在して、その次数は {{math|''A''}} のシューア指数に等しい{{sfn|Gille|Szamuely|2006|page=101}}。例えば複素数体 {{math|'''C'''}} は {{math|'''R'''}} 上の四元数環 {{math|'''H'''}} を
: <math> t + x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k} \; \longleftrightarrow \;
\begin{pmatrix} t + x i & y + z i \\ -y + z i & t - x i \end{pmatrix}</math>
なる同型対応によって分解する。この分解体の存在により、中心的単純環 {{math|''A''}} に対して'''被約ノルム''' (''reduced norm'') および'''被約トレース''' (''reduced trace'') を定義することができる{{sfn|Gille|Szamuely|2006|pages=37&ndash;38}}。{{math|''A''}} を分解体上の行列環へ写して、その行列環上での[[行列式]]および[[蹟 (線型代数学)|トレース]]を考えたもの（行列環上のそれと行列環への同型との合成）がそれぞれ被約ノルムおよび被約トレースである。例えば、四元数環 {{math|'''H'''}} を上記のように分解したとき、その元 {{math|''t'' + ''x'''''i''' + ''y'''''j''' + ''z'''''k'''}} は被約ノルム {{math|''t''<sup>2</sup> + ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup>}} および被約トレース {{math|2''t''}} を持つ。

被約ノルムは{{仮リンク|乗法的写像|en|Completely multiplicative function|label=乗法的}}で、被約トレースは[[加法的写像|加法的]]である。中心的単純環 {{math|''A''}} の元 {{math|''a''}} が可逆となる必要十分条件は、その被約ノルムの値が非零となることである。従って、中心的単純環が多元体となるための必要十分条件は、その非零元の被約ノルムがすべて非零となることである{{sfn|Gille|Szamuely|2006|page=38}}。

== 一般化 ==
体 ''K'' 上の中心的単純環の概念は、体 ''K'' 上の[[体の拡大|拡大体]]の概念の、非可換な拡大となる場合に対応するものになっている。体も中心的単純環も非自明な両側イデアルを持たないことは共通しているが、中心的単純環は体と違って中心を持ち、かつ零元以外の各元が必ずしも逆元を持つとは限らない（[[多元体]]となる必要はない）。中心的単純環は、特に[[代数体]]（[[有理数]]体 '''Q''' の有限次拡大）を一般化するものとして、[[非可換数論]]において興味の対象となる。{{仮リンク|非可換代数体|en|noncommutative number field}}の項を見よ。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|東屋多元環|en|Azumaya algebra}}: 中心的単純環を体の代わりに可換局所環に取り替えて一般化したもの。
* {{仮リンク|セベリ&ndash;ブラウアー多様体|en|Severi–Brauer variety}}

== 注記 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|author=斎藤秀司|authorlink=斎藤秀司|title=整数論|publisher=共立出版|series=共立講座 21世紀の数学|year=1997|isbn=4-320-01572-X}}
* {{Cite book|和書|author=ブルバキ|authorlink=ニコラ・ブルバキ|title=[[数学原論]]：代数6|publisher=東京図書|year=1970|id={{NDLDC|1383304|format=NDLJP}}|ref=harv}}
* {{cite book | title=Further Algebra and Applications | first=P.M. | last=Cohn | edition=2nd | publisher=Springer | year=2003 | isbn=1852336676 | zbl=1006.00001 }}
* {{cite book | title=Introduction to Quadratic Forms over Fields | volume=67 | series=Graduate Studies in Mathematics | first=Tsit-Yuen | last=Lam | publisher=American Mathematical Society | year=2005 | isbn=0-8218-1095-2 | zbl=1068.11023 | mr = 2104929 }}
* {{cite book | first=Falko | last=Lorenz | title=Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics | year=2008 | publisher=Springer | isbn=978-0-387-72487-4 | zbl=1130.12001 | url={{google books|SUbv_EoUPo8C|plainurl=yes}} | ref=harv}}

=== 関連文献 ===
* {{cite book | title=Structure of Algebras | volume=24 | series=Colloquium Publications | first=A.A. | last=Albert | edition=7th revised reprint | publisher=American Mathematical Society | year=1939 | isbn=0-8218-1024-3 | zbl=0023.19901 }}
* {{cite book | last1=Gille | first1=Philippe | last2=Szamuely | first2=Tamás | title=Central simple algebras and Galois cohomology | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume=101 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2006 | isbn=0-521-86103-9 | zbl=1137.12001 |url=https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~marin/une_autre_crypto/Livres/Gille-Szamuely-Central-simple-alg.pdf.pdf | format=PDF | ref=harv }}

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM | title=Central simple algebra | id=Central_simple_algebra&oldid=34325}}
* {{PlanetMath|urlname=CentralSimpleAlgebra|title=central simple algebra}}
* {{citation | url= http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~twatanabe/algebra.pdf | format= PDF | title= 中心的単純多元環 | first= 隆夫 | last= 渡部 | year= 2005 | publisher= 大阪大学 | postscript= (講義ノート)}}

{{DEFAULTSORT:ちゆうしんてきたんしゆんかん}}
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[[Category:環論]]
[[Category:代数的整数論]]
[[Category:数学に関する記事]]