中心的単純環
数学の特に環論において、体 テンプレート:Math 上の中心的単純多元環（ちゅうしんてきたんじゅんかん、テンプレート:Lang-en-short）とは、与えられた テンプレート:Math 上の階数（ベクトル空間としての次元）が有限な結合多元環 テンプレート:Math であって、環として単純で、その中心がちょうど K となっているようなものをいう。明らかに、任意の単純多元環は、その中心上の中心的単純環である。
例えば、複素数体 テンプレート:Math はそれ自身の上の中心的単純環だが、（テンプレート:Math の中心は テンプレート:Math であって テンプレート:Math ではないから）実数体 テンプレート:Math 上の中心的単純環ではない。四元数体 テンプレート:Math は テンプレート:Math 上 4-次元の中心的単純環をなし、後述するように テンプレート:Math のブラウアー群 テンプレート:Math の非自明な元によって表される。
同じ体 テンプレート:Math 上の二つの中心的単純環 テンプレート:Math と テンプレート:Math とが互いに相似（あるいはブラウアー同値）であるとは、それらに属する斜体 テンプレート:Math と テンプレート:Math とが同型となることをいう。与えられた体 テンプレート:Math 上の中心的単純環の、この同値関係に関する同値類は多元環類と呼ばれ，これらが成す集合には、多元環のテンソル積によって群演算を与えることができる。このようにして得られた群は、体 テンプレート:Math のブラウアー群 テンプレート:Math と呼ばれるテンプレート:Sfn。ブラウアー群は常にねじれ群であるテンプレート:Sfn。
性質
- アルティン・ウェダーバーンの定理によれば、単純環 テンプレート:Math は適当な斜体 テンプレート:Math 上の何らかのサイズ テンプレート:Math の全行列環 テンプレート:Math に同型である。従って、各ブラウアー同値類にはただ一つの多元体が属するテンプレート:Sfn。
- 中心的単純環の自己同型は必ず内部自己同型となる（テンプレート:仮リンクからの帰結テンプレート:Sfn）。
- 中心的単純環の（中心上のベクトル空間としての）次元は常に平方数であり、その正の平方根を中心的単純環の次数 (degree) と呼ぶ。中心的単純環のシューア指数 (Schur index) あるいは単に指数とは、それとブラウアー同値な多元体の次数を言うテンプレート:Sfn。これは中心的単純環の属するブラウアー類のみで決まるテンプレート:Sfn。
- 中心的単純環の周期とは、それが属するブラウアー類のブラウアー群における位数を言う。周期はシューア指数の約数であり、また両者は同じ素因数からなる合成数であるテンプレート:Sfn。
- テンプレート:Math が体 テンプレート:Math 上の中心的単純環 テンプレート:Math の単純部分多元環ならば、テンプレート:Math は テンプレート:Math を整除する。
- 体 テンプレート:Math 上の テンプレート:Math-次元中心的単純環は一般四元数環に必ず同型である。実は、そのような環は二次の全行列環 テンプレート:Math か、さもなくば多元体であるかのいずれかである。
- テンプレート:Math が体 テンプレート:Math 上の中心的多元体で、そのシューア指数 テンプレート:Math が素因数分解 テンプレート:Math を持つとするとき、テンプレート:Math はテンソル積分解 テンプレート:Math を持つ。ただし、各成分 テンプレート:Math は指数 テンプレート:Math なる中心的多元体であり、これら成分は同型を除いて一意に決まるテンプレート:Sfn。
中心的単純環の分解体
体 テンプレート:Math が テンプレート:Math 上の中心的単純環 テンプレート:Math の分解体 (splitting field) であるとは、テンソル積 テンプレート:Math が テンプレート:Math 上の行列環と同型となるときに言う。任意の有限次元中心的単純環は分解体を持つ。実際、テンプレート:Math が多元体の場合は テンプレート:Math の極大可換部分体がその分解体になる。一般に、テンプレート:Math の分離拡大となるような分解体が存在して、その次数は テンプレート:Math のシューア指数に等しいテンプレート:Sfn。例えば複素数体 テンプレート:Math は テンプレート:Math 上の四元数環 テンプレート:Math を
なる同型対応によって分解する。この分解体の存在により、中心的単純環 テンプレート:Math に対して被約ノルム (reduced norm) および被約トレース (reduced trace) を定義することができるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math を分解体上の行列環へ写して、その行列環上での行列式およびトレースを考えたもの（行列環上のそれと行列環への同型との合成）がそれぞれ被約ノルムおよび被約トレースである。例えば、四元数環 テンプレート:Math を上記のように分解したとき、その元 テンプレート:Math は被約ノルム テンプレート:Math および被約トレース テンプレート:Math を持つ。
被約ノルムはテンプレート:仮リンクで、被約トレースは加法的である。中心的単純環 テンプレート:Math の元 テンプレート:Math が可逆となる必要十分条件は、その被約ノルムの値が非零となることである。従って、中心的単純環が多元体となるための必要十分条件は、その非零元の被約ノルムがすべて非零となることであるテンプレート:Sfn。
一般化
体 K 上の中心的単純環の概念は、体 K 上の拡大体の概念の、非可換な拡大となる場合に対応するものになっている。体も中心的単純環も非自明な両側イデアルを持たないことは共通しているが、中心的単純環は体と違って中心を持ち、かつ零元以外の各元が必ずしも逆元を持つとは限らない（多元体となる必要はない）。中心的単純環は、特に代数体（有理数体 Q の有限次拡大）を一般化するものとして、非可換数論において興味の対象となる。テンプレート:仮リンクの項を見よ。
関連項目
- テンプレート:仮リンク: 中心的単純環を体の代わりに可換局所環に取り替えて一般化したもの。
- テンプレート:仮リンク