中心線 (幾何学)のソースを表示

{{複数の問題
| 出典の明記 = 2024年7月
| 独自研究 = 2024年7月
| 正確性 = 2024年7月
}}{{暫定記事名|date=2024年3月}}

[[幾何学]]において, {{訳語疑問点範囲|'''中心線'''|date=2024年6月}}（ちゅうしんせん、{{Lang-en-short|Central lines}}）とは[[三角形]]に対して一意に決まる直線の総称である。中心線はほとんどの場合、[[三線座標]]によってあらわすことができる。中心線は[[三角形の中心]]とも密接にかかわっている。中心線の概要は1994年の{{仮リンク|クラーク・キンバーリング|en|Clark Kimberling}}の論文でまとめられた<ref>{{Cite journal|last=Kimberling|first=Clark|date=June 1994|title=Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle|journal=Mathematics Magazine|volume=67|issue=3|pages=163–187|doi=10.2307/2690608}}</ref><ref name="TCCT">{{Cite book |last=Kimberling |first=Clark |title=Triangle Centers and Central Triangles |publisher=Utilitas Mathematica Publishing, Inc. |location=Winnipeg, Canada |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/tcct.html |year=1998 |pages=285}}</ref>。

== 定義 ==
{{Math|△''ABC''}} に対する[[三線座標]]{{Math|''x'' : ''y'' : ''z''}}を用いて、平面上の直線は以下の様に書ける。
<math display="block">f(a,b,c)\,x + g(a,b,c)\,y + h(a,b,c)\,z = 0</math>
ここで三線座標
<math display="block">f(a,b,c) : g(a,b,c) : h(a,b,c)</math>
は三角形の中心である<ref name="Eric">{{MathWorld|title=Central Line|urlname=CentralLine}}</ref><ref>{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Glossary : Encyclopedia of Triangle Centers |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/glossary.html |access-date=24 June 2012 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120423103438/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/glossary.html |archive-date=23 April 2012}}</ref>。

== 三線極線 ==
三角形の中心と中心線の幾何的な結び付けの一つに'''三線極線'''（trilinear polars）と[[等角共役]]がある。

三線座標で<math>X = u(a,b,c) : v(a,b,c) : w(a,b,c)</math> とし
<math display="block"> \frac{x}{u (a,b,c)}  + \frac{y}{v(a,b,c)} + \frac{z}{w(a,b,c)}  = 0</math>
の表す直線は{{Mvar|X}}の[[三線極線]]と呼ばれる<ref name="TCCT" /><ref>{{MathWorld|title=Trilinear Polar|urlname=TrilinearPolar}}</ref>。
<math display="block">Y = \frac{1}{u(a,b,c)} : \frac{1}{v(a,b,c)} : \frac{1}{w(a,b,c)}</math>
の表す点は{{Mvar|X}}の[[等角共役点]]と呼ばれる。

したがって、次の式で与えられる中心線は点<math>f(a,b,c) : g(a,b,c) : h(a,b,c)</math>の等角共役点の三線極線である。
<math display="block">f(a,b,c)\,x + g(a,b,c)\,y + h(a,b,c)\,z = 0</math>

== 中心線の作図 ==
[[ファイル:Construction of central lines.svg|サムネイル|400x400ピクセル]]
{{Math|△''ABC''}}と点{{Mvar|X}}について、中心線は以下の様に定義される。

* {{Mvar|Y}}を{{Mvar|X}}の等角共役点とする。{{Mvar|AY, BY, CY}}は直線 {{Mvar|AX, BX, CX}} を{{Mvar|A, B, C}}の[[二等分線|角の二等分線]]で鏡映した線(等角共役線)である。
* {{Math|△''ABC''}}と点{{Mvar|Y}}に対する[[チェバ線]]{{Mvar|AY, BY, CY}}と{{Mvar|BC, CA, AB}}の交点{{Mvar|A', B', C'}}でチェバ三角形{{Math|△''A'B'C' ''}}を作る。
* {{Math|△''ABC''}}と{{Math|△''A'B'C' ''}}は{{Mvar|Y}}を中心とし[[配景]]なので[[デザルグの定理]]が成り立つ。
* この配景の軸{{Mvar|DEF}}を{{Mvar|Y}}の'''三線極線'''、{{Mvar|X}}の'''中心線'''と言う。

== 著名な中心線 ==
クラーク・キンバーリングの「[[Encyclopedia of Triangle Centers]]」における点{{Mvar|X<sub>n</sub>}}に対する中心線は{{Mvar|L<sub>n</sub>}}と表記される。
[[ファイル:Antiorthic_Axis.svg|サムネイル|400x400ピクセル| {{Math|△''ABC''}} とその傍心三角形の配景の軸、反垂軸]]

=== 内心の中心線:反垂軸 ===
[[内接円|内心]] {{Math|1=''X''<sub>1</sub> = 1 : 1 : 1}} (または{{Mvar|I}} )の中心線は、'''反垂軸'''（Antiorthic axis）と呼ばれ、以下の式で表される。
<math display="block">x + y + z = 0.</math>
* {{Math|△''ABC''}}の内心の等角共役点は内心自身である。したがって、{{Math|△''ABC''}}とその内心三角形（incentral triangle、内心の[[チェビアン|チェバ三角形]]）の配景の軸は反垂軸である。
* 反垂軸は{{Math|△''ABC''}} と傍心三角形{{Math|△''I''<sub>1</sub>''I''<sub>2</sub>''I''<sub>3</sub>}}の配景の軸である<ref name="Eric2">{{MathWorld|title=Antiorthic Axis|urlname=AntiorthicAxis}}</ref>。
* {{Math|△''ABC''}}の傍接円の{{Math|△''ABC''}}の辺でない共通接線の成す三角形は外接線三角形（extangents triangle）と呼ばれる。 {{Math|△''ABC''}}と外接線三角形の配景の軸は反垂軸である。

[[ファイル:Lemoine_Axis.svg|サムネイル|400x400ピクセル]]

=== 重心の中心線:ルモワーヌ軸 ===
{{Math|△''ABC''}}の[[幾何中心|重心]]{{Math|''X''<sub>2</sub>}}（または{{Math|''G''}}）の三線座標は以下の様に与えられる。
<math display="block">\frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}</math>
重心の中心線は以下の式で表される。
<math display="block">\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0.</math>
この直線は'''ルモワーヌ軸'''、ルモワーヌ線（Lemoine axis, Lemoine line）と呼ばれる。
* {{Math|''X''<sub>2</sub>}}の等角共役点である[[類似重心]]{{Math|''X''<sub>6</sub>}}（または{{Mvar|K}}）の三線座標は{{Math|''a'' : ''b'' : ''c''}}である。ルモワーヌ軸は類似重心の三線極線である。
* {{Math|△''ABC''}}の頂点の外接円に対する接線の成す三角形を[[接線三角形]]{{Math|△''T<sub>A</sub>T<sub>B</sub>T<sub>C</sub>''}}という。 {{Math|△''ABC''}} と外接三角形の配景の軸はルモワーヌ軸である。

=== 外心の中心線:垂軸 ===
[[ファイル:Orthic_Axis.svg|サムネイル|400x400ピクセル]]
[[外心]]{{Math|''X''<sub>3</sub>}}（または{{Mvar|O}}）の三線座標は以下の様に与えられる。
<math display="block">\cos A : \cos B : \cos C</math>
外心の中心線は以下の式で表される。
<math display="block">x \cos A + y \cos B + z \cos C = 0.</math>
この直線を'''垂軸'''（Orthic axis）という<ref>{{MathWorld|title=Orthic Axis|urlname=OrthicAxis}}</ref>。
* 外心{{Math|''X''<sub>3</sub>}}の等角共役点は[[垂心]]{{Math|''X''<sub>4</sub>}}（または{{Mvar|H}}）の三線座標は{{Math|sec ''A'' : sec ''B'' : sec ''C''}}である。垂心の三線極線は垂軸で、これは[[オイラー線]]と垂直に交わる<ref>{{Cite web |title=垂軸 |url=https://kikagaku.at-ninja.jp/triangle_geometry/orthic_axis.html |website=kikagaku.at-ninja.jp |access-date=2024-03-22}}</ref>。{{Math|△''ABC''}}と[[頂垂線 (三角形)|垂足三角形]]{{Math|△''H<sub>A</sub>H<sub>B</sub>H<sub>C</sub>''}}の配景の軸は垂軸である。

=== 垂心の中心線 ===
[[ファイル:Central_line_of_orhocenter.svg|サムネイル|400x400ピクセル]]
[[垂心]] {{Math|''X''<sub>4</sub>}}（または{{Mvar|H}}）の三線座標は以下の様に与えられる。
<math display="block">\sec A : \sec B : \sec C</math>
垂心の中心線は以下の式で表される。
<math display="block">x \sec A + y \sec B + z \sec C = 0.</math>
* 外心の三線極線は垂心の中心線である。

=== 九点円の中心の中心線 ===
[[ファイル:Kosnita_point.svg|サムネイル|400x400ピクセル]]
[[九点円]]の中心{{Math|''X''<sub>5</sub>}}（または{{Math|''N''}}）の三線座標は以下の式で与えられる。
<math display="block">\cos(B-C) : \cos(C-A) : \cos(A-B).</math>
{{Math|''X''<sub>5</sub>}}の中心線は以下の式で表される。
<math display="block">x \cos(B-C)  + y \cos(C-A) + z \cos(A-B) = 0.</math>
* {{Math|''X''<sub>5</sub>}}の等角共役点は[[コスニタの定理|コスニタ点]]{{Math|''X''<sub>54</sub>}}である。したがってコスニタ点の三線極線は{{Math|''X''<sub>5</sub>}}の中心線である<ref>{{MathWorld|title=Kosnita Point|urlname=KosnitaPoint}}</ref><ref name="Darij">{{Cite journal|last=Darij Grinberg|year=2003|title=On the Kosnita Point and the Reflection Triangle|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200311.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=3|pages=105–111|accessdate=29 June 2012}}</ref>。

=== 類似重心の中心線: 無限遠直線 ===
[[ファイル:Line_at_infinity.svg|サムネイル|400x400ピクセル]]
[[類似重心]] {{Math|''X''<sub>6</sub>}}（または {{Mvar|K}}）の三線座標は以下の式で与えられる。
<math display="block">a : b : c</math>
類似重心の中心線は以下の式で表される。
<math display="block">ax + by + cz = 0.</math>
* この直線は{{Math|△''ABC''}}の'''[[無限遠点|無限遠直線]]'''（line at infinity）と呼ばれる。
* 類似重心の等角共役点は[[幾何中心|重心]]である。したがって重心の三線極線は{{Math|△''ABC''}}の無限遠線である。 {{Math|△''ABC''}}とその[[中点三角形]]の配景の軸は無限遠線である。

== その他の有名な中心線 ==

=== オイラー線 ===
{{Math|△''ABC''}}の[[オイラー線]]とは重心、外心、垂心、九円点の中心などを通る直線である。オイラー線の三線座標は以下の式で与えられる。
<math display="block">x \sin 2A \sin(B-C) + y \sin 2B \sin(C-A) + z \sin 2C \sin(A-B) = 0.</math>
これは{{Math|''X''<sub>647</sub>}}の中心線である。

=== ナーゲル線 ===
{{Math|△''ABC''}}の'''ナーゲル線'''（Nagel line）とは内心、重心、[[シュピーカー点|シュピーカー中心]]、[[ナーゲル点]]などを通る直線である。ナーゲル線の三線座標は以下の式で与えられる。
<math display="block">xa(b-c) + yb(c-a) + zc(a-b) = 0.</math>
これは{{Math|''X''<sub>649</sub>}}の中心線である。

=== ブロカール軸 ===
{{Math|△''ABC''}}の'''ブロカール軸'''（Brocard axis）とは外心と類似重心、[[ブロカール円]]の中心などを通る直線である。ブロカール軸の三線座標は以下の式で与えられる。
<math display="block">x \sin(B-C) + y \sin(C-A) + z \sin(A-B) = 0.</math>
これは{{Math|''X''<sub>523</sub>}}の中心線である。

== 出典 ==
{{Reflist|2}}

== 関連項目 ==
* [[三角形の中心]]
* [[三線極線]]
* {{仮リンク|Central triangle|en|Central triangle}}
* [[三角形の二次曲線]]
* [[三次曲線|三角形の三次曲線]]
* [[近代三角形幾何学]]

{{デフォルトソート:ちゆうしんせん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]