中心 (代数学)のソースを表示

[[数学]]の分野である[[代数学]]において、[[多元環]]や[[群 (数学)|群]]などの'''中心''' ({{lang-en-short|center}}, {{lang-de-short|Zentrum}}) は考えている構造の部分集合であって、乗法に関してすべての元と[[可換|交換する]]元全体からなる。

== 群の中心 ==
{{main|群の中心}}
<math>G</math> を群とすると、その中心は集合
:<math>\mathrm Z(G):=\{z \in G \mid \forall g \in G : gz=zg\}</math>
である。

=== 性質 ===

<math>G</math> の中心は[[部分群]]である。なぜならば、<math>x</math> と <math>y</math> を <math>Z(G)</math> の元とすると、任意の <math>g\in G</math> に対して、
:<math>(xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy)</math>
なので、<math>xy</math> も中心に入る。同様にして、<math>x^{-1}</math> も中心に入る。
:<math>x^{-1}g = (g^{-1}x)^{-1} = (xg^{-1})^{-1} = gx^{-1}</math>.
群の単位元 <math>e</math> は常に中心に入る。<math>eg = g = ge</math>.

中心は[[アーベル群]]で <math>G</math> の[[正規部分群]]である。<math>G</math> の[[特性部分群]]でもある、つまりすべての自己同型で不変である。中心は強特性 (strictly characteristic) でさえある、つまりすべての全射自己準同型で不変である。<math>G</math> がアーベル群であることと <math>Z(G) = G</math> は同値である。

中心はちょうど、<math>z</math> による[[共役 (群論)|共役]]、すなわち <math>\left(g \mapsto z^{-1}gz\right)</math> が恒等写像であるような、<math>G</math> の元 <math>z</math> からなる。したがって中心を[[中心化群]]の特別な場合としても定義できる。<math>C_G(G)=Z(G)</math> である。

=== 例 ===

* {{仮リンク|3次対称群|en|Dihedral group of order 6}} <math>S_3 = \left\{\mathrm{id}, (1\;2), (1\;3), (2\;3), (1\;2\;3), (1\;3\;2)\right\}</math> の中心は単位元 <math>\mathrm{id}</math> のみからなる、なぜならば：
:<math> (1\;2)(1\;3) = (1\;3\;2) \neq (1\;3)(1\;2) = (1\;2\;3)</math>
:<math> (1\;2)(2\;3) = (1\;2\;3) \neq (2\;3)(1\;2) = (1\;3\;2)</math>
:<math> (1\;2\;3)(1\;2) = (1\;3) \neq (1\;2)(1\;2\;3) = (2\;3)</math>
:<math> (1\;3\;2)(1\;2) = (2\;3) \neq (1\;2)(1\;3\;2) = (1\;3)</math>
* [[二面体群]] <math>D_4</math> は正方形が全く動かないような平面の動きからなる。それは正方形の中心を中心とする角度 0°, 90°, 180°, 270°の回転と、2つの対角線および正方形の平行する辺の中点を通る2つの直線による4つの鏡映からなる。この群の中心はちょうど 0°と 180°の2つの回転からなる。
* 実数を成分に持つ可逆 ''n''×''n''-[[行列]]の乗法群の中心は[[単位行列]]の（0 でない）実数倍からなる。

== 環の中心 ==
[[環 (数学)|環]] ''R'' の'''中心'''は環の元であってすべての元と交換するものからなる。
:<math>\mathrm Z(R)=\{z\in R\mid za=az\ \text{for all}\ a\in R\}.</math>
中心 <math>Z(R)</math> は ''R'' の[[可換環|可換]]な[[部分環]]である。環が中心と等しいことと可換であることは同値である。

== 結合多元環の中心 ==
[[結合多元環]] ''A'' の'''中心'''は可換な部分多元環
:<math>\mathrm Z(A)=\{z\in A\mid za=az\ \text{for all}\ a\in A\}</math>
である。多元環がその中心と等しいことと可換であることは同値である。

== リー代数の中心 ==
=== 定義 ===
[[リー代数]] <math>\mathfrak g</math> の'''中心'''は（可換な）[[イデアル]]
:<math>\mathfrak z(\mathfrak g)=\{z\in \mathfrak g\mid[x,z]=0\ \text{for all}\ x\in\mathfrak g\}</math>
である。ただし <math>[\cdot,\cdot]</math> はブラケット積、つまり <math>\mathfrak g</math> の積を表す。リー代数がその中心に等しいことと可換であることは同値である。

=== 例 ===
* [[一般線型群]] <math> \mathrm{GL}  (n,K) </math> の中心は[[単位行列]] <math>E_n</math> の[[スカラー (数学)|スカラー]]倍からなる。
:<math>Z\left( \mathrm{GL}  (n,K) \right) = \{ \lambda E_n\colon \lambda \in K^{*} \}</math>.
* [[交換子]]をブラケット積とする[[結合多元環]]に対して2つの中心の概念は一致する。

== 参考文献 ==
*Kurt Meyberg: ''Algebra - Teil 1''. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 36

== 外部リンク ==
*[http://eom.springer.de/C/c021250.htm Centre of a group] ([[:en:Encyclopaedia of Mathematics|Encyclopaedia of Mathematics]])
*[http://eom.springer.de/C/c021270.htm Centre of a ring] ([[:en:Encyclopaedia of Mathematics|Encyclopaedia of Mathematics]])
*[http://planetmath.org/encyclopedia/Center10.html Zentrum in verschiedenen algebraischen Strukturen]{{リンク切れ|date=2015年5月}} ([[PlanetMath]])

{{DEFAULTSORT:ちゆうしん}}
[[Category:代数学]]
[[Category:リー環論]]
[[Category:数学に関する記事]]