中心 (代数学)

数学の分野である代数学において、多元環や群などの中心 (テンプレート:Lang-en-short, テンプレート:Lang-de-short) は考えている構造の部分集合であって、乗法に関してすべての元と交換する元全体からなる。

群の中心

テンプレート:Main $G$ を群とすると、その中心は集合

$\mathrm{Z}(G):=\{z\in G\mid \mathrm{\forall }g\in G:gz=zg\}$

である。

性質

$G$ の中心は部分群である。なぜならば、$x$ と $y$ を $Z(G)$ の元とすると、任意の $g\in G$ に対して、

$(xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)$

なので、$xy$ も中心に入る。同様にして、$x^{-1}$ も中心に入る。

$x^{-1}g=(g^{-1}x{)}^{-1}=(x{g}^{-1}{)}^{-1}=g{x}^{-1}$.

群の単位元 $e$ は常に中心に入る。$eg=g=ge$.

中心はアーベル群で $G$ の正規部分群である。$G$ の特性部分群でもある、つまりすべての自己同型で不変である。中心は強特性 (strictly characteristic) でさえある、つまりすべての全射自己準同型で不変である。$G$ がアーベル群であることと $Z(G)=G$ は同値である。

中心はちょうど、$z$ による共役、すなわち $(g\mapsto z^{-1}gz)$ が恒等写像であるような、$G$ の元 $z$ からなる。したがって中心を中心化群の特別な場合としても定義できる。$C_G(G)=Z(G)$ である。

例

• テンプレート:仮リンク $S_3=\{\mathrm{i}\mathrm{d},(12),(13),(23),(123),(132)\}$ の中心は単位元 $\mathrm{i}\mathrm{d}$ のみからなる、なぜならば：

$(12)(13)=(132)\ne (13)(12)=(123)$

$(12)(23)=(123)\ne (23)(12)=(132)$

$(123)(12)=(13)\ne (12)(123)=(23)$

$(132)(12)=(23)\ne (12)(132)=(13)$

• 二面体群 $D_4$ は正方形が全く動かないような平面の動きからなる。それは正方形の中心を中心とする角度 0°, 90°, 180°, 270°の回転と、2つの対角線および正方形の平行する辺の中点を通る2つの直線による4つの鏡映からなる。この群の中心はちょうど 0°と 180°の2つの回転からなる。
• 実数を成分に持つ可逆 n×n-行列の乗法群の中心は単位行列の（0 でない）実数倍からなる。

環の中心

環 R の中心は環の元であってすべての元と交換するものからなる。

$\mathrm{Z}(R)=\{z\in R\mid za=az\text{for all}a\in R\}.$

中心 $Z(R)$ は R の可換な部分環である。環が中心と等しいことと可換であることは同値である。

結合多元環の中心

結合多元環 A の中心は可換な部分多元環

$\mathrm{Z}(A)=\{z\in A\mid za=az\text{for all}a\in A\}$

である。多元環がその中心と等しいことと可換であることは同値である。

リー代数の中心

定義

リー代数 $𝔤$ の中心は（可換な）イデアル

$𝔷(𝔤)=\{z\in 𝔤\mid [x,z]=0\text{for all}x\in 𝔤\}$

である。ただし $[\cdot ,\cdot ]$ はブラケット積、つまり $𝔤$ の積を表す。リー代数がその中心に等しいことと可換であることは同値である。

例

• 一般線型群 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,K)$ の中心は単位行列 $E_n$ のスカラー倍からなる。

$Z(\mathrm{G}\mathrm{L}(n,K))=\{\lambda E_n:\lambda \in K^{*}\}$.

• 交換子をブラケット積とする結合多元環に対して2つの中心の概念は一致する。

参考文献

• Kurt Meyberg: Algebra - Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 36

外部リンク

• Centre of a group (Encyclopaedia of Mathematics)
• Centre of a ring (Encyclopaedia of Mathematics)
• Zentrum in verschiedenen algebraischen Strukturenテンプレート:リンク切れ (PlanetMath)