中身の詰まったトーラスのソースを表示

[[Image:Torus illustration.png|thumb|ソリッド・トーラス]]
[[初等幾何学]]における'''中身の詰まったトーラス'''（なかみのつまったトーラス、{{lang-en-short|''solid torus''}}; '''ソリッドトーラス'''、'''トーラス体'''）は、一つの[[円周]]に沿って[[円板]]が掃く領域として定まる[[回転体]]である。[[位相幾何学|位相的]]には、一つの[[ハンドル体]]のみを持つ（すなわち[[種数]] {{math|1}} の）コンパクト図形である。

中身の詰まったトーラスを図示するには[[三次元空間]]に埋め込まれた{{ill2|トーラス形|es|Toroide}}（トロイド）として描くのが標準的な方法であるが、図示の仕方によっては互いに区別すべき[[トーラス]]と同様の見た目になることがある。トーラスとはトーラス形の表面（境界面）を成す二次元の図形のことであり、トーラスに囲まれる有界領域はソリッドトーラスの一種となる。

== 回転体としてのトーラス ==
値 {{math|''r'' < ''R''}} を任意にとり固定して考えるとき、'''ソリッド・トーラス'''は半径 {{mvar|R}} の[[円周]]からの距離 {{math|''a'' ≤ ''r''}} なる点全体の成す集合である。したがってそれは、半径 {{mvar|r}} の円板を、その円と交わらずその円の属する平面上に載っている軸の周りに、回転半径 {{mvar|R}} がもとの円板の半径より大きくなるように、回転させて得られる<ref>{{citation|title=Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications|first=Kenneth|last=Falconer|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons|year=2004|isbn=9780470871355|url= {{google books|id=JXnGzv7X6wcC|plainurl=1}}}}.</ref>{{rp|{{google books quote|id=JXnGzv7X6wcC|text=solid torus|pg=PA198|198}}}}。

=== 媒介表示 ===
トーラスの媒介変数表示を以下のように与えることができる:
:<math>\vec X(t,p) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = R \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix} + a \begin{pmatrix} \cos t  \cos p \\ \sin t \cos p \\ \sin p \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (R + a \cos p) \cos t \\ (R + a \cos p) \sin t \\ a \sin p \end{pmatrix}\quad(0\le a\le r, 0\le t,p\le 2\pi).</math>

=== 体積 ===
ソリッドトーラスの体積は、[[函数行列式]]（[[ヤコビ行列]]の[[行列式]]）上の三重積分として計算できる。先の媒介表示に関するヤコビ行列は以下のように陽に書ける:
:<math>
J_f = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(a, t, p)} = 
\begin{pmatrix}
\partial_a x & \partial_p x & \partial_t x \\
\partial_a y & \partial_p y & \partial_t y \\
\partial_a z & \partial_p z & \partial_t z \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos t \cos p & - R \sin t - a \sin t \cos p & a \cos t \sin p \\ 
\sin t \cos p & R \cos t + a \cos t \cos p & a \sin t \sin p \\ 
\sin p & 0 & - a \cos p
\end{pmatrix},
</math>
ゆえにその行列式は <math>\det (J_f) = a (a\cos p + R)</math> であり、この行列式の値は法ベクトルのノルムに等しい。すなわち、ソリッドトーラスの体積は
:<math>
  V = \int_{V} dV = \int_{\Gamma} \det(J_f) d\Gamma 
    = \int_{0}^{2\pi} dt \int_{0}^{2\pi} dp \int_{0}^{r} da ~ (Ra+a^2\cos p)
    = 2\pi^2 r^2 R
</math>
と計算される。
; 命題: ソリッドトーラスの体積は <math>V=2\pi^2r^2R</math> で与えられる。

この公式を、円板の面積 <math>A_r = \pi r^2</math> と中心軌跡（円周の長さ）<math>U_R = 2\pi R</math> を掛けたものと解釈することができる。これは[[円柱 (数学)|円柱]]体の体積が <math>V_\text{cylinder} = \pi r^2 l</math> であるのと同様である。表面積の計算も同様にできて、ここでは二つの円周 <math>U_r = 2\pi r</math> と <math>U_R = 2\pi R</math> の積に等しい。これもやはり円柱の側面積が <math>O_\text{cylinder} = 2\pi r l</math> であることに対応する。


== 位相的トーラス体 ==
[[位相幾何学]]における'''ソリッドトーラス'''は、[[円板]] {{math|''D''{{sup|2}}}} と[[円周]] {{math|''S''{{sup|1}}}} との[[直積集合]] {{math|''S''{{sup|1}} × ''D''{{sup|2}}}} に[[直積位相]]を入れたものに同相であるな[[位相空間]]を言う<ref>{{citation|title=An Introduction to Morse Theory|volume=208|series=Translations of mathematical monographs|first=Yukio|last=Matsumoto|publisher=American Mathematical Society|year=2002|isbn= 9780821810224|url={{google books|id=TtKyqozvgIwC|plainurl=1}}}}.</ref>{{rp|{{google books quote|id=TtKyqozvgIwC|pg=PA188|188}}}}。

ソリッドトーラスは[[連結空間|連結]][[コンパクト空間|コンパクト]]かつ[[向き付け可能]]な三次元の[[境界付き多様体]]で、その境界は通常の[[トーラス]] {{math|''S''{{sup|1}} × ''S''{{sup|1}}}} に同相である。

円板 {{math|''D''{{sup|2}}}} は[[可縮]]ゆえ、ソリッドトーラスは円周 {{math|''S''{{sup|1}}}} の[[ホモトピー型]]を持つ<ref>{{citation|title=Nilpotence and Periodicity in Stable Homotopy Theory|volume= 128 |series= Annals of mathematics studies|first=Douglas C.|last=Ravenel|publisher=Princeton University Press|year=1992|isbn= 9780691025728 |url={{google books|id=RA18_pxdPK4C|plainurl=1}}}}.</ref>{{rp|{{google books quote|id=RA18_pxdPK4C|pg=PA2|2}}}}。したがってソリッドトーラスの[[基本群]]および[[ホモロジー群]]は円周のそれに同型となる:
:<math>\pi_1(S^1 \times D^2) \cong \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z},</math>
:<math>H_k(S^1 \times D^2) \cong H_k(S^1) \cong
\begin{cases}
\mathbb{Z} & \text{if } k = 0,1, \\
0          & \text{otherwise}. 
\end{cases}</math>

== 関連項目 ==
* {{ill2|双曲的デーン手術|en|Hyperbolic Dehn surgery}}
* {{ill2|リーブ折り畳み|en|Reeb foliation}}
* {{ill2|ホワイトヘッド多様体|en|Whitehead manifold}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:なかみのつまつたとーらす}}
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:回転体]]
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
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