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'''久保公式'''（くぼこうしき）は、時間依存する[[摂動]]による[[物理量]]の[[線形応答]]を表した式である。

==一般的な久保公式==
時間依存しない[[ハミルトニアン]]<math>\hat{H}_0</math>で記述される量子系を考える。物理量<math>\hat{A}</math>の期待値は次のように表される。
:<math>\begin{align}
\langle \hat{A} \rangle
&= \frac{1}{Z_0} \operatorname{Tr} [\hat{\rho_0} \hat{A}] = \frac{1}{Z_0} \sum_n \langle n | \hat{A} | n \rangle e^{-\beta E_n} \\
\hat{\rho_0} &= e^{-\beta \hat{H}_0} = \sum_n |n \rangle \langle n |e^{-\beta E_n}
\end{align}</math>
ここで<math>Z_0=Tr[\rho_0]</math>は[[分配関数]]である。
[[平衡状態]]にあった系に、時刻<math>t=t_0</math>に外部摂動が働いたと仮定する。摂動は時間依存ハミルトニアン<math>\hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{V}(t) \theta (t - t_0)</math>で記述される。[[密度行列]]<math>\hat{\rho}(t)</math>と<math>\hat{A}(t)</math>の期待値の[[時間発展]]は次のように表される。
:<math>\begin{align}
\langle \hat{A}(t) \rangle
&= \frac{1}{Z_0} \operatorname{Tr} [\hat{\rho}(t)\hat{A}] = \frac{1}{Z_0} \sum_n \langle n(t) | \hat{A} | n(t) \rangle e^{-\beta E_n} \\
\hat{\rho(t)} &= \sum_n |n(t) \rangle \langle n(t) |e^{-\beta E_n}
\end{align}</math>
状態 <math>|n(t) \rangle</math>の時間発展は[[シュレーディンガー方程式]]<math>i\partial_t|n(t) \rangle=\hat{H}(t)|n(t) \rangle</math>によって支配されている。
<math>\hat{V}(t)</math>は小さい摂動と見なせるので、[[相互作用描像]]<math>|\hat{n}(t) \rangle</math>を用いるのが便利である。相互作用描像での時間発展は次のように書ける
:<math>\begin{align}
|n(t) \rangle &= e^{i\hat H_0t} | \hat{n}(t) \rangle = e^{i\hat H_0 t} \hat{U}(t,t_0) | \hat{n}(t_0) \rangle \\
|\hat{n}(t_0) \rangle &= e^{i\hat H_0t_0}|n(t_0) \rangle
\end{align}</math>
<math>\hat{V}(t)</math>の線形次数においては、<math>\hat {U}(t,t_0)=1-i\int_{t_0}^t dt'\hat V(t')</math>である。
よって線形次数で摂動による期待値<math>\hat{A}(t)</math>を得る。
:<math>\begin{align}
\langle \hat{A}(t) \rangle &= \langle \hat{A} \rangle_0 - i \int_{t_0}^t dt' \frac{1}{Z_0} \sum_n e^{-\beta E_n} \langle n (t_0) | \hat{A}(t) \hat{V}(t') - \hat{V}(t') \hat{A}(t) | n(t_0) \rangle \\
&= \langle \hat{A} \rangle_0 - i \int_{t_0}^t dt' \langle [\hat{A}(t), \hat{V}(t')] \rangle_0
\end{align}
</math>
ここで括弧<math>\langle \rangle _0</math>は熱平衡状態<math>\hat{H}_0</math>での平均値を表す。

==関連項目==
*[[線形応答理論]]
*[[グリーン-久保公式]]

==外部リンク==
*{{kotobank|久保の公式}}

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[[Category:量子力学]]
[[Category:非平衡熱力学]]
[[Category:物理学のエポニム]]