久保公式

久保公式（くぼこうしき）は、時間依存する摂動による物理量の線形応答を表した式である。

一般的な久保公式

時間依存しないハミルトニアン${\hat{H}}_0$で記述される量子系を考える。物理量$\hat{A}$の期待値は次のように表される。

$\begin{array}{cc}⟨\hat{A}⟩& =\frac{1}{Z_0}\mathrm{Tr}[\widehat{{\rho }_0}\hat{A}]=\frac{1}{Z_0}\sum _n⟨n|\hat{A}|n⟩e^{-\beta E_n}\\ \widehat{{\rho }_0}& =e^{-\beta {\hat{H}}_0}=\sum _n|n⟩⟨n|e^{-\beta E_n}\end{array}$

ここで$Z_0=Tr[{\rho }_0]$は分配関数である。 平衡状態にあった系に、時刻$t=t_0$に外部摂動が働いたと仮定する。摂動は時間依存ハミルトニアン$\hat{H}(t)={\hat{H}}_0+\hat{V}(t)\theta (t-t_0)$で記述される。密度行列$\hat{\rho }(t)$と$\hat{A}(t)$の期待値の時間発展は次のように表される。

$\begin{array}{cc}⟨\hat{A}(t)⟩& =\frac{1}{Z_0}\mathrm{Tr}[\hat{\rho }(t)\hat{A}]=\frac{1}{Z_0}\sum _n⟨n(t)|\hat{A}|n(t)⟩e^{-\beta E_n}\\ \widehat{\rho (t)}& =\sum _n|n(t)⟩⟨n(t)|e^{-\beta E_n}\end{array}$

状態 $|n(t)⟩$の時間発展はシュレーディンガー方程式$i{\partial }_t|n(t)⟩=\hat{H}(t)|n(t)⟩$によって支配されている。 $\hat{V}(t)$は小さい摂動と見なせるので、相互作用描像$|\hat{n}(t)⟩$を用いるのが便利である。相互作用描像での時間発展は次のように書ける

$\begin{array}{cc}|n(t)⟩& =e^{i{\hat{H}}_{0}t}|\hat{n}(t)⟩=e^{i{\hat{H}}_{0}t}\hat{U}(t,t_0)|\hat{n}(t_0)⟩\\ |\hat{n}(t_0)⟩& =e^{i{\hat{H}}_0{t}_0}|n(t_0)⟩\end{array}$

$\hat{V}(t)$の線形次数においては、$\hat{U}(t,t_0)=1-i{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }\hat{V}(t^{\prime })$である。 よって線形次数で摂動による期待値$\hat{A}(t)$を得る。

$\begin{array}{cc}⟨\hat{A}(t)⟩& =⟨\hat{A}{⟩}_0-i{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }\frac{1}{Z_0}\sum _n{e}^{-\beta E_n}⟨n(t_0)|\hat{A}(t)\hat{V}(t^{\prime })-\hat{V}(t^{\prime })\hat{A}(t)|n(t_0)⟩\\ & =⟨\hat{A}{⟩}_0-i{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }⟨[\hat{A}(t),\hat{V}(t^{\prime })]{⟩}_0\end{array}$

ここで括弧$⟨{⟩}_0$は熱平衡状態${\hat{H}}_0$での平均値を表す。

関連項目

• 線形応答理論
• グリーン-久保公式

外部リンク

• テンプレート:Kotobank