乗数・加速度モデルのソースを表示

'''乗数・加速度モデル'''（じょうすうかそくどモデル、{{lang-en-short|Multiplier–accelerator model}}）とは、[[景気循環]]を説明するモデルである。'''ハンセン＝サミュエルソンの乗数・加速度モデル'''とも呼ばれる。[[ポール・サミュエルソン]]（{{harvtxt|Samuelson, P.A.|1939}}）が発表し、[[ジョン・ヒックス|J. R. ヒックス]]（{{harvtxt|Hicks, J.R.|1950}}）が発展させた。発展させたものは'''サミュエルソン＝ヒックスの乗数・加速度モデル'''と呼ばれる。

==概要==
乗数・加速度モデルは乗数原理と加速度原理を合わせ、景気循環を説明しようというものである。以下はサミュエルソンによる乗数・加速度モデルである{{Sfn|西垣泰幸|2006}}{{Sfn|森誠|1999|p=46-47}}。
{{NumBlk|:|<math>Y_t=C_t+I_t</math>|{{EquationRef|1}}}}
{{NumBlk|:|<math>C_t = C + cY_{t-1}</math>|{{EquationRef|2}}}}
{{NumBlk|:|<math>I_t = I + v (Y_{t-1}-Y_{t-2}) </math>|{{EquationRef|3}}}}
ただし、
*<math>Y</math>： GDP
*<math>C</math>： <math>C_t</math>はt期の消費。<math>C</math>は基礎消費。
*<math>I</math>： <math>I_t</math>はt期の投資。<math>I</math>は独立投資。
*<math>c</math>： 消費性向
*<math>t</math>： t期(時間)
*<math>v</math>： 加速度係数
をそれぞれ指す。

ここで、(1)<math>Y_t=C_t+I_t</math>はt期の[[国民所得]]<math>Y_t</math>が消費されるか投資されるかのいずれかであることを示している。(2)<math>C_t = C + cY_{t-1}</math>はt期の消費<math>C_t</math>がどのように決定されるかを示している。(3)<math>I_t = I + v(Y_{t-1}-Y_{t-2}) </math>はt期の投資<math>I_t</math>がどのように決定されるかを示している。(3)式は加速度原理を表している{{Sfn|西垣泰幸|2006|p=77}}。

(1)、(2)を(3)に代入すると、
{{NumBlk|:|<math>Y_t=(c+v) Y_{t-1}-vY_{t-2}+(C+I)</math>|{{EquationRef|4}}}}
という2階差分方程式を得る。これを(4)式とする。
:<math>A \equiv C+I</math>
とおいて、(4)式を整理すると、
{{NumBlk|:|<math>Y_t -(c+v) Y_{t-1}+vY_{t-2}-A=0</math>|{{EquationRef|4'}}}}
(4')式の不動点を求めると、
{{NumBlk|:|<math>Y^*=\frac{A}{1-c}</math>|{{EquationRef|5}}}}
これを(5)式とする。

(4')式の特性方程式は、
{{NumBlk|:|<math>\lambda^2-(c+v)\lambda+v=0</math>|{{EquationRef|6}}}}
この[[特性方程式]]を(6)式とする。(6)式の判別式をDとすると
:<math>D=(c+v)^2 -4v</math>
よって、<math>(c+v)^2 -4v</math>が正のとき実根が存在し、負のとき複素根が存在する。
(6)式の特性根は
:<math>\lambda_1, \lambda_2 = \frac{(c+v) \pm \sqrt{(c+v)^2 -4v} }{2}</math>

このモデルで示される経済は、(6)式の特性根が実根の場合、時間とともに単調に発散するか、単調に不動点に収束することになる。このモデルで示される経済は、(6)式の特性根が複素根の場合、変動が存在する。
複素根が存在するとして、これらの複素根を
:<math>\alpha+i\beta ,\alpha-i\beta</math>
と置く。さらに、特性根の絶対値を<math>\rho=\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}</math>とすると、 
*<math>\tan \theta = \frac{\beta}{\alpha}</math>
*<math>\alpha =\rho \cos \theta</math>
*<math>\beta =\rho \sin \theta</math>
となる。これらの式から、
:<math>\lambda_1 =\rho( \cos \theta+ \sin \theta)</math>
:<math>\lambda_2 =\rho( \cos \theta- \sin \theta)</math>
同次部分の一般解を求めると、
:<math>a_1\lambda^t_1+a_2\lambda^t_2 =2k\rho^t \cos(t \theta + \varepsilon)</math>
(6)式の特性根の式から、
:<math>\alpha=\frac{c+v}{2}</math>
:<math>\beta=\frac{\sqrt{4v-(c+v)^2}}{2}</math>
なので、
:<math>\rho=\sqrt{v}</math>
となる。このとき、<math>v<1</math>ならば解の軌道は時間とともに振動しながら不動点に収束し、<math>v>1</math>ならば解の軌道は時間とともに振動しながら発散する{{Sfn|西垣泰幸|2006|p=79}}。

このサミュエルソンの乗数・加速度モデルの特性方程式が複素根を持つ場合に対して、J. R. ヒックスは床と天井の概念を導入した{{Sfn|西垣泰幸|2006|p=79}}。

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|30em}}

==関連項目==
* [[ジョン・ヒックス]]
* [[ポール・サミュエルソン]]

==参照文献==
* {{Cite journal|和書|author=西垣泰幸 |date=2006-03 |title=非線形動学理論と経済成長,景気循環:展望 |url=https://mylibrary.ryukoku.ac.jp/iwjs0005opc/TD00287003 |journal=龍谷大学経済学論集 |volume=45 |issue=4 |pages=75-100 |naid=110005859236 |hdl=10519/4233 |ISSN=09183418 |publisher=龍谷大学経済学会 |ref=harv}}
* {{Cite journal|和書|author=森誠 |date=1999-04 |title=乗数・加速度原理と景気循環:2階差分方程式と位相図 |url=https://dlisv03.media.osaka-cu.ac.jp/il/meta_pub/G0000438repository_111C0000004-10001-7 |journal=経済学雑誌.別冊 |ISSN=04516281 |publisher=大阪市立大学経済学会 |volume=100 |issue=1 |pages=46-51 |naid=40000854640 |ref=harv}}
* {{Cite journal|author=Hicks, J.R.|date=1950|title=A Contribution to the Theory of the Trade Cycle|journal=Oxford University Press|publisher=Oxford|pages=95-100|ref=harv}}
* {{Cite journal|author=Samuelson, P.A.|date=1939|title=Interactions between the multiplier analysis and the principle of acceleration |journal = Review of Economic Statistics 21|pages=75-78|ref=harv}}

{{DEFAULTSORT:しようすうかそくともてる}}
[[Category:マクロ経済学]]
[[Category:経済理論]]
[[Category:ポール・サミュエルソン]]