乗数・加速度モデル

乗数・加速度モデル（じょうすうかそくどモデル、テンプレート:Lang-en-short）とは、景気循環を説明するモデルである。ハンセン＝サミュエルソンの乗数・加速度モデルとも呼ばれる。ポール・サミュエルソン（テンプレート:Harvtxt）が発表し、J. R. ヒックス（テンプレート:Harvtxt）が発展させた。発展させたものはサミュエルソン＝ヒックスの乗数・加速度モデルと呼ばれる。

概要

乗数・加速度モデルは乗数原理と加速度原理を合わせ、景気循環を説明しようというものである。以下はサミュエルソンによる乗数・加速度モデルであるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。 テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk ただし、

• $Y$： GDP
• $C$： $C_t$はt期の消費。$C$は基礎消費。
• $I$： $I_t$はt期の投資。$I$は独立投資。
• $c$： 消費性向
• $t$： t期(時間)
• $v$： 加速度係数

をそれぞれ指す。

ここで、(1)$Y_t=C_t+I_t$はt期の国民所得$Y_t$が消費されるか投資されるかのいずれかであることを示している。(2)$C_t=C+c{Y}_{t-1}$はt期の消費$C_t$がどのように決定されるかを示している。(3)$I_t=I+v(Y_{t-1}-Y_{t-2})$はt期の投資$I_t$がどのように決定されるかを示している。(3)式は加速度原理を表しているテンプレート:Sfn。

(1)、(2)を(3)に代入すると、 テンプレート:NumBlk という2階差分方程式を得る。これを(4)式とする。

$A\equiv C+I$

とおいて、(4)式を整理すると、 テンプレート:NumBlk (4')式の不動点を求めると、 テンプレート:NumBlk これを(5)式とする。

(4')式の特性方程式は、 テンプレート:NumBlk この特性方程式を(6)式とする。(6)式の判別式をDとすると

$D=(c+v{)}^2-4v$

よって、$(c+v{)}^2-4v$が正のとき実根が存在し、負のとき複素根が存在する。 (6)式の特性根は

${\lambda }_1,{\lambda }_2=\frac{(c+v)\pm \sqrt{(c+v{)}^2-4v}}{2}$

このモデルで示される経済は、(6)式の特性根が実根の場合、時間とともに単調に発散するか、単調に不動点に収束することになる。このモデルで示される経済は、(6)式の特性根が複素根の場合、変動が存在する。 複素根が存在するとして、これらの複素根を

$\alpha +i\beta ,\alpha -i\beta$

と置く。さらに、特性根の絶対値を$\rho =\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}$とすると、

• $\tan \theta =\frac{\beta }{\alpha }$
• $\alpha =\rho \cos \theta$
• $\beta =\rho \sin \theta$

となる。これらの式から、

${\lambda }_1=\rho (\cos \theta +\sin \theta )$

${\lambda }_2=\rho (\cos \theta -\sin \theta )$

同次部分の一般解を求めると、

$a_1{\lambda }_1^t+a_2{\lambda }_2^t=2k{\rho }^t\cos (t\theta +\epsilon )$

(6)式の特性根の式から、

$\alpha =\frac{c+v}{2}$

$\beta =\frac{\sqrt{4v-(c+v{)}^2}}{2}$

なので、

$\rho =\sqrt{v}$

となる。このとき、$v<1$ならば解の軌道は時間とともに振動しながら不動点に収束し、$v>1$ならば解の軌道は時間とともに振動しながら発散するテンプレート:Sfn。

このサミュエルソンの乗数・加速度モデルの特性方程式が複素根を持つ場合に対して、J. R. ヒックスは床と天井の概念を導入したテンプレート:Sfn。

関連項目

• ジョン・ヒックス
• ポール・サミュエルソン

参照文献

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal
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