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[[数学]]における'''乗法的不定和分'''（じょうほうてきふていわぶん、{{lang-en-short|''indefinite product''}}; 不定乗積）{{math|∏{{sub|''x''}}}} は、[[不定積分]]の離散版である[[不定和分]]の乗法版で、乗法的差分<ref group="注">一つのパラメータ {{math|''h'' :{{=}} Δ''x''}} を導入して、歩み {{mvar|h}} の乗法的差分（幾何差分）{{math|''Q''{{sub|''h''}}(''f''(''x'')) :{{=}} ({{fraction|''f''(''x''+''h'')|''f''(''x'')}}){{sup|1/''h''}}}} に対する逆演算として歩み {{mvar|h}} の乗法的不定和分 {{math|∏ ''f''(''x''){{sup|Δ''x''}}}} を考えることもある。{{math|''h'' → 0}} の極限で、{{math|''Q''{{sub|''h''}}(''f''(''x''))}} は [[乗法的積分|乗法的微分]]（幾何微分）{{math|''f''{{sup|∗}}(''x'')}} になり、同じ極限で {{math|∏ ''f''(''x''){{sup|Δ''x''}}}} は乗法的積分 {{math|∫ ''f''(''x''){{sup|''dx''}}}} になる。</ref><ref group="注">「乗法的差分」の語を、通常の差分 {{math|Δ''f''(''x'') :{{=}} ''f''(''x'' + ''h'') − ''f''(''x'')}} あるいは差分商 {{math|{{fraction|Δ''f''(''x'')|Δ''x''}}}} の[[q-類似|''q''-類似]]としての ''q''-差分 {{math|Δ{{sub|''q''}}''f''(''x'') :{{=}} ''f''(''qx'') − ''f''(''x'')}} あるいは ''q''-差分商 {{math|{{fraction|Δ{{sub|''q''}}''f''(''x'')|Δ{{sub|''q''}}''x''}} {{=}} {{fraction|''f''(''qx'') − ''f''(''x'')|(''q''−1)''x''}}}} の意味で用いることもあるので注意。</ref> {{mvar|Q}}; : <math>Q(f(x)) = \frac{f(x+1)}{f(x)}</math> の逆演算である。これはまた[[乗法的積分]]の離散版であり、'''離散乗法的積分''' {{en|(''discrete multiplicative integration'')}} と呼ぶものもある<ref>N. Aliev, N. Azizi and M. Jahanshahi (2007) [http://www.m-hikari.com/imf-password2007/9-12-2007/jahanshahiIMF9-12-2007-1.pdf "Invariant functions for discrete derivatives and their applications to solve non-homogenous linear and non-linear difference equations".]</ref>。 文献によっては、これと無関係ではないがやや異なる用法として、例えば :<math>\prod_{k=1}^n f(k)</math> のような形の、上の限界となる数値を特に固定せずに考えた[[乗積]]に対して "indefinite product" の語を用いていることもある<ref>[http://www.risc.uni-linz.ac.at/people/mkauers/publications/kauers05c.pdf Algorithms for Nonlinear Higher Order Difference Equations], Manuel Kauers</ref>ので注意。 == 定義 == 函数 ''f''(''x'') の乗法的不定和分 {{math|''F''(''x'') :{{=}} ∏{{sub|''x''}} ''f''(''x'')}} は、[[函数方程式]] : <math>Q(\prod_x f(x))= f(x),</math> あるいはより明示的に : <math>\frac{F(x+1)}{F(x)} = f(x)</math> の解として定義される。与えられた {{math|''f''(''x'')}} に対して {{math|''F''(''x'')}} がこの函数方程式の解となるならば、任意定数 {{mvar|C}} に対する {{math|''CF''(''x'')}} もまたこの函数方程式の解になる<ref group="注">即ち、この任意定数 {{mvar|C}} は[[積分定数]]の離散版の乗法版（乗法的和分定数、和分因数）である。</ref>。従って乗法的不定和分は実際には（互いに定数倍だけ異なる）函数の族を表しているものと理解される。 == 性質 == === 基本性質 === * <math>\prod_x f(x)g(x) = \prod_x f(x)\prod _x g(x),</math> * <math>\prod_x f(x)^a = \left(\prod_x f(x)\right)^a,</math> * <math>\prod_x a^{f(x)} = a^{\sum_x f(x)}.</math> === 周期法則 === [[周期函数]] {{math|''f''(''x'')}} の周期 {{mvar|T}} に対して : <math>\prod_x f(Tx) = Cf(Tx)^{x-1}</math> が成り立つ。 === 不定和分との関係 === 基本性質から明らかに、[[不定和分]] {{math|∑{{sub|''x''}}}} の言葉を用いて : <math>\prod _x f(x)= \exp \left(\sum _x \ln f(x)\right)</math> と書くことができる。ここに {{math|exp}} は自然[[指数函数]]、{{math|ln}} は[[自然対数]]である。 == 例 == 幾つか基本的な函数に対する乗法的不定和分の例を挙げる。初等函数の乗法的不定和分が必ずしも初等函数とならないことに注意。以下、{{math|Γ(''x'')}} は[[ガンマ函数]]とする。 === 初等函数 === * <math>\prod_x a = Ca^x,</math> * <math>\prod_x x = C\Gamma (x),</math> * <math>\prod_x ax = Ca^x \Gamma (x),</math> * <math>\prod_x \frac{x+1}{x} = Cx,</math> * <math>\prod_x \frac{x+a}{x} = \frac{C\Gamma (x+a)}{\Gamma (x)},</math> * <math>\prod_x x+a = C\Gamma (x+a),</math> * <math>\prod_x ax+b = C a^x \Gamma \left(x+\frac{b}{a}\right),</math> * <math>\prod_x x^2+1 = C\Gamma (x-i) \Gamma (x+i),</math> * <math>\prod_x ax^2+bx = Ca^x \Gamma (x) \Gamma \left(x+\frac{b}{a}\right),</math> * <math>\prod_x x+\frac {1}{x} = \frac{C\Gamma (x-i) \Gamma (x+i)}{\Gamma (x)},</math> * <math>\prod_x x^a = C\Gamma (x)^a,</math> * <math>\prod_x a^x = Ca^{\frac{x}{2} (x-1)},</math> * <math>\prod_x a^{\frac{1}{x}} = C a^{\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}},</math> * <math>\prod_x x^x= Ce^{\zeta^\prime(-1,x)-\zeta^\prime(-1)}= Ce^{\psi^{(-2)}(x)+\frac{x^2-x}{2}-\frac x2 \ln (2\pi)}= C\operatorname{\mathit{K}}(x).</math> *: (ただし、{{math|''K''(''x'')}} は[[K函数]]である) === 特殊函数 === * <math>\prod_x \Gamma(x) = \frac{C\Gamma(x)^{x-1}}{\operatorname{\mathit{K}}(x)} = C\Gamma(x)^{x-1} e^{\frac x2 \ln (2\pi)-\frac{x^2-x}{2}-\psi^{(-2)}(x)}= C\operatorname{\mathit{G}}(x),</math> *: (ただし、{{math|''G''(''x'')}} は[[バーンズのG関数|バーンズのG函数]]である) * <math>\prod_x \operatorname{sexp}_a(x) = \frac{C(\operatorname{sexp}_a (x))'}{\operatorname{sexp}_a (x)(\ln a)^x}.</math> *: (ただし、{{math|sexp}} は[[テトレーション|超指数函数]]である) === 三角函数 === * <math>\prod_x \csc x \sin (x+1) = C \sin x,</math> * <math>\prod_x \sec x \cos (x+1) = C \cos x,</math> * <math>\prod_x \cot x \tan (x+1) = C \tan x,</math> * <math>\prod_x \tan x \cot (x+1) = C \cot x.</math> == 関連項目 == * [[不定和分]] * [[乗法的積分]] * {{仮リンク|乗法的微分積分学|en|Multiplicative calculus}} * [[異種微分積分学における導函数と積分函数の一覧]] == 注 == {{reflist|group="注"}} == 参考文献 == {{reflist}} == 関連文献 == * http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Product.html -Indefinite products with Mathematica * http://www.math.rwth-aachen.de/MapleAnswers/660.html - bug in Maple V to Maple 8 handling of indefinite product * [http://www.math.tu-berlin.de/~mueller/HowToAdd.pdf Markus Müller. How to Add a Non-Integer Number of Terms, and How to Produce Unusual Infinite Summations] * [https://arxiv.org/abs/math/0502109 Markus Mueller, Dierk Schleicher. Fractional Sums and Euler-like Identities] {{DEFAULTSORT:しようほうてきふていわふん}} [[Category:積分法]] [[Category:非ニュートン微分積分学]] [[Category:数学に関する記事]]
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