乗法的関数のソースを表示

{{about|[[数論的函数]]|その他の函数の乗法性|劣乗法的函数}}
{{出典の明記|date=2015年9月}}
[[数論]]における'''乗法的関数'''（じょうほうてきかんすう、{{lang-en-short|multiplicative function}}）とは、正の整数 ''n'' の[[数論的関数]] ''f''(''n'') であって、''f''(1) = 1 であり、''a'' と ''b'' が[[互いに素 (整数論)|互いに素]]であるならば常に 
:''f''(''ab'') = ''f''(''a'') ''f''(''b'')
が成り立つことである。さらに、''f''(''n'') が、任意の''a'' と ''b'' に対しても、''f''(''ab'') = ''f''(''a'') ''f''(''b'') を成立させる時、'''{{日本語版にない記事リンク|完全乗法的関数|en|completely multiplicative function}}'''と呼ぶ<ref>{{Cite journal|和書|author=林光利 |year=1980 |url=https://doi.org/10.11429/sugaku1947.32.69 |title=数論的関数のつくる体について |journal=数学 |ISSN=0039470X |publisher=日本数学会 |volume=32 |issue=1 |pages=69-71 |doi=10.11429/sugaku1947.32.69 |naid=130001557236 |ref=harv}}</ref>。

== 例 ==
* gcd(''n'',''k''): ''n''と''k''の[[最大公約数]]（''k'' を固定して、''n'' の関数とみなした場合）
* 任意の整数 ''k'' に対する <math>n^k</math>
* [[メビウス関数]]: <math>\mu(n)</math>
** <math>\mu(n) = \begin{cases} (-1)^r & \text{(if } n \text{ is square-free and a product of distinct } r \text{ prime numbers)} \\ 0 & (\text{otherwise})\end{cases}</math>
* [[約数関数]]: ''n'' の約数の個数を表す <math>d(n)</math>
** <math>d(n) = \sum_{d|n,\ d>0}\!\!\!\!1</math>
* ''k''乗[[約数関数|約数和関数]]: <math>\sigma_k(n)</math>
** <math>\sigma_k(n) = \sum_{d|n,\ d>0}\!\!\!\!d^k</math>
* ''n'' の正の奇数の約数の個数を表す <math>\tau_o(n)</math>
** <math>\tau_o(n) = \sum_{2\nmid d|n,\ d>0}\!\!\!\!\!1</math>
* ''n'' の正の奇数の約数の和を表す <math>\sigma_o(n)</math>
** <math>\sigma_o(n) = \sum_{2\nmid d|n,\ d>0}\!\!\!\!\!d</math>
* [[オイラー関数]]: <math>\varphi(n)</math>
** <math>\varphi(n) = \#\{ k \mid 1 \le k \le n,\ (k, n) = 1 \}</math>
* [[ディリクレ指標]]: <math>\chi(n)</math>
* リウヴィルのラムダ関数: <math>\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}</math>（ただし、<math>\Omega(n)</math>は''n'' の[[素因数]]の重複も含めた総数）
* [[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン|ラマヌジャン]]の和関数: 
{{Indent|<math>
c_q(n) = \!\!\sum_{1\le h\le q,\ (h, q) = 1}\!\!\!\!\!\!\!\!\! e^{2\pi i hn/q}
</math>}}
* [[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン#ラマヌジャンの ''τ'' 関数|ラマヌジャンの &tau; 関数]]: <math>\tau(n)</math>
** <math>\tau(n)</math> は、<math>q\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)^{24}</math> の ''n'' 次の係数
* 任意の正整数 ''k'' に対する、<math>k^{\omega(n)}</math>（ただし、<math>\omega(n)</math>は''n'' の''異なる''素因数の総数）

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{MathWorld|MultiplicativeFunction|Multiplicative function}}

== 関連項目 ==
*[[加法的関数]]

{{デフォルトソート:しようほうてきかんすう}} 
[[Category:整数論的関数]]
[[Category:数論]]
[[Category:数学に関する記事]]