乗法的関数

テンプレート:About テンプレート:出典の明記 数論における乗法的関数（じょうほうてきかんすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、正の整数 n の数論的関数 f(n) であって、f(1) = 1 であり、a と b が互いに素であるならば常に

f(ab) = f(a) f(b)

が成り立つことである。さらに、f(n) が、任意のa と b に対しても、f(ab) = f(a) f(b) を成立させる時、テンプレート:日本語版にない記事リンクと呼ぶ。

例

• gcd(n,k): nとkの最大公約数（k を固定して、n の関数とみなした場合）
• 任意の整数 k に対する $n^k$
• メビウス関数: $\mu (n)$
  • $\mu (n)=\{\begin{array}{cc}(-1{)}^r& \text{(if }n\text{ is square-free and a product of distinct }r\text{ prime numbers)}\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$
• 約数関数: n の約数の個数を表す $d(n)$
  • $d(n)=\sum _{d|n,d>0}1$
• k乗約数和関数: ${\sigma }_k(n)$
  • ${\sigma }_k(n)=\sum _{d|n,d>0}{d}^k$
• n の正の奇数の約数の個数を表す ${\tau }_o(n)$
  • ${\tau }_o(n)=\sum _{2\nmid d|n,d>0}1$
• n の正の奇数の約数の和を表す ${\sigma }_o(n)$
  • ${\sigma }_o(n)=\sum _{2\nmid d|n,d>0}d$
• オイラー関数: $\phi (n)$
  • $\phi (n)=\mathrm{\#}\{k\mid 1\le k\le n,(k,n)=1\}$
• ディリクレ指標: $\chi (n)$
• リウヴィルのラムダ関数: $\lambda (n)=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}$（ただし、$\mathrm{\Omega }(n)$はn の素因数の重複も含めた総数）
• ラマヌジャンの和関数:

• ラマヌジャンの τ 関数: $\tau (n)$
  • $\tau (n)$ は、$q\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n{)}^{24}$ の n 次の係数
• 任意の正整数 k に対する、$k^{\omega (n)}$（ただし、$\omega (n)$はn の異なる素因数の総数）

参考文献

• テンプレート:MathWorld

関連項目

• 加法的関数