九十七角形のソースを表示

[[ファイル:Regular polygon 97.svg|300px|サムネイル|右|正九十七角形]]
'''九十七角形'''（きゅうじゅうしちかくけい、きゅうじゅうななかっけい、enneacontaheptagon）は、[[多角形]]の一つで、97本の[[辺]]と97個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は17100°、[[対角線]]の本数は4559本である。

== 正九十七角形 ==
正九十七角形においては、中心角と外角は3.711…°で、内角は176.288…°となる。一辺の長さが a の正九十七角形の面積 S は
:<math>S = \frac{97}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{97} \simeq 748.48261 a^2</math>

;関係式
:<math>\begin{align}
 x_1=&2\cos\frac{2\pi}{97}+2\cos\frac{72\pi}{97}+2\cos\frac{70\pi}{97}\\
 x_2=&2\cos\frac{10\pi}{97}+2\cos\frac{28\pi}{97}+2\cos\frac{38\pi}{97}\\
 x_3=&2\cos\frac{50\pi}{97}+2\cos\frac{54\pi}{97}+2\cos\frac{4\pi}{97}\\
 x_4=&2\cos\frac{56\pi}{97}+2\cos\frac{76\pi}{97}+2\cos\frac{20\pi}{97}\\
 x_5=&2\cos\frac{86\pi}{97}+2\cos\frac{8\pi}{97}+2\cos\frac{94\pi}{97}\\
 x_6=&2\cos\frac{42\pi}{97}+2\cos\frac{40\pi}{97}+2\cos\frac{82\pi}{97}\\
 x_7=&2\cos\frac{16\pi}{97}+2\cos\frac{6\pi}{97}+2\cos\frac{22\pi}{97}\\
 x_8=&2\cos\frac{80\pi}{97}+2\cos\frac{30\pi}{97}+2\cos\frac{84\pi}{97}\\
 x_9=&2\cos\frac{12\pi}{97}+2\cos\frac{44\pi}{97}+2\cos\frac{32\pi}{97}\\
 x_{10}=&2\cos\frac{60\pi}{97}+2\cos\frac{26\pi}{97}+2\cos\frac{34\pi}{97}\\
 x_{11}=&2\cos\frac{88\pi}{97}+2\cos\frac{64\pi}{97}+2\cos\frac{24\pi}{97}\\
 x_{12}=&2\cos\frac{52\pi}{97}+2\cos\frac{68\pi}{97}+2\cos\frac{74\pi}{97}\\
 x_{13}=&2\cos\frac{66\pi}{97}+2\cos\frac{48\pi}{97}+2\cos\frac{18\pi}{97}\\
 x_{14}=&2\cos\frac{58\pi}{97}+2\cos\frac{46\pi}{97}+2\cos\frac{90\pi}{97}\\
 x_{15}=&2\cos\frac{96\pi}{97}+2\cos\frac{36\pi}{97}+2\cos\frac{62\pi}{97}\\
 x_{16}=&2\cos\frac{92\pi}{97}+2\cos\frac{14\pi}{97}+2\cos\frac{78\pi}{97}\\
\end{align}</math>

:<math>(x_1+x_9),\quad (x_1-x_9)^2</math>のように和、差の二乗を計算すると
:<math>\begin{align}
 x_1=&\frac{\frac{\frac{\frac{-1+\sqrt{97}}{2}-\sqrt{\frac{97-\sqrt{7857}}{2}}}{2}+\sqrt{\frac{\frac{97-\sqrt{2425}}{2}+\sqrt{\frac{5141-\sqrt{25927033}}{2}}}{2}}}{2}-\sqrt{\frac{\frac{\frac{97+\sqrt{4753}}{2}-\sqrt{\frac{1649+\sqrt{2705233}}{2}}}{2}+\sqrt{\frac{\frac{2037+\sqrt{3841297}}{2}-\sqrt{\frac{3488605+\sqrt{12162451874697}}{2}}}{2}}}{2}}}{2} \\
 =&\frac{\frac{\frac{\frac{-1+\sqrt{97}}{2}-\sqrt{\frac{97-9\sqrt{97}}{2}}}{2}+\sqrt{\frac{\frac{97-5\sqrt{97}}{2}+\sqrt{\frac{5141-517\sqrt{97}}{2}}}{2}}}{2}-\sqrt{\frac{\frac{\frac{97+7\sqrt{97}}{2}-\sqrt{\frac{1649+167\sqrt{97}}{2}}}{2}+\sqrt{\frac{\frac{2037+199\sqrt{97}}{2}-\sqrt{\frac{3488605+354099\sqrt{97}}{2}}}{2}}}{2}}}{2} \\
\end{align}</math>

三次方程式の係数を求めると
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{97} \cdot 2\cos\frac{72\pi}{97}+2\cos\frac{72\pi}{97} \cdot 2\cos\frac{70\pi}{97}+2\cos\frac{70\pi}{97} \cdot 2\cos\frac{2\pi}{97} = x_1+x_{12} \\
& 2\cos\frac{2\pi}{97} \cdot 2\cos\frac{72\pi}{97} \cdot 2\cos\frac{70\pi}{97} =x_3+2 \\
\end{align}</math>

解と係数の関係より
:<math>
u^3-x_1 u^2+(x_1+x_{12}) u-(x_3+2)=0
</math>

この三次方程式を解くことにより、<math>\cos (2\pi/97)</math>を平方根と立方根で表すことが可能である。

=== 正九十七角形の作図 ===
正九十七角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正九十七角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である<ref>{{Cite journal|和書|author=西村保三, 大石美咲 |title=正多角形の作図と3次方程式 : 正97109163193 角形の作図方程式 |journal=福井大学教育・人文社会系部門紀要 |ISSN=2434-1827 |year=2019 |month=jan |issue=3 |pages=85-98 |naid=120006549553 |url=https://hdl.handle.net/10098/10545}}</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ピアポント素数]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}
* [https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12599065660.html?frm=theme z^p=1 の解法（p:素数） | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室]

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:きゆうしゆうしちかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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