九十七角形

九十七角形（きゅうじゅうしちかくけい、きゅうじゅうななかっけい、enneacontaheptagon）は、多角形の一つで、97本の辺と97個の頂点を持つ図形である。内角の和は17100°、対角線の本数は4559本である。

正九十七角形

正九十七角形においては、中心角と外角は3.711…°で、内角は176.288…°となる。一辺の長さが a の正九十七角形の面積 S は

S = \frac{97}{4} a^{2} \cot \frac{π}{97} ≃ 748.48261 a^{2}

関係式: $\begin{matrix} x_{1} = & 2 \cos \frac{2 π}{97} + 2 \cos \frac{72 π}{97} + 2 \cos \frac{70 π}{97} \\ x_{2} = & 2 \cos \frac{10 π}{97} + 2 \cos \frac{28 π}{97} + 2 \cos \frac{38 π}{97} \\ x_{3} = & 2 \cos \frac{50 π}{97} + 2 \cos \frac{54 π}{97} + 2 \cos \frac{4 π}{97} \\ x_{4} = & 2 \cos \frac{56 π}{97} + 2 \cos \frac{76 π}{97} + 2 \cos \frac{20 π}{97} \\ x_{5} = & 2 \cos \frac{86 π}{97} + 2 \cos \frac{8 π}{97} + 2 \cos \frac{94 π}{97} \\ x_{6} = & 2 \cos \frac{42 π}{97} + 2 \cos \frac{40 π}{97} + 2 \cos \frac{82 π}{97} \\ x_{7} = & 2 \cos \frac{16 π}{97} + 2 \cos \frac{6 π}{97} + 2 \cos \frac{22 π}{97} \\ x_{8} = & 2 \cos \frac{80 π}{97} + 2 \cos \frac{30 π}{97} + 2 \cos \frac{84 π}{97} \\ x_{9} = & 2 \cos \frac{12 π}{97} + 2 \cos \frac{44 π}{97} + 2 \cos \frac{32 π}{97} \\ x_{10} = & 2 \cos \frac{60 π}{97} + 2 \cos \frac{26 π}{97} + 2 \cos \frac{34 π}{97} \\ x_{11} = & 2 \cos \frac{88 π}{97} + 2 \cos \frac{64 π}{97} + 2 \cos \frac{24 π}{97} \\ x_{12} = & 2 \cos \frac{52 π}{97} + 2 \cos \frac{68 π}{97} + 2 \cos \frac{74 π}{97} \\ x_{13} = & 2 \cos \frac{66 π}{97} + 2 \cos \frac{48 π}{97} + 2 \cos \frac{18 π}{97} \\ x_{14} = & 2 \cos \frac{58 π}{97} + 2 \cos \frac{46 π}{97} + 2 \cos \frac{90 π}{97} \\ x_{15} = & 2 \cos \frac{96 π}{97} + 2 \cos \frac{36 π}{97} + 2 \cos \frac{62 π}{97} \\ x_{16} = & 2 \cos \frac{92 π}{97} + 2 \cos \frac{14 π}{97} + 2 \cos \frac{78 π}{97} \end{matrix}$

(x_{1} + x_{9}), (x_{1} - x_{9})^{2}

のように和、差の二乗を計算すると

\begin{matrix} x_{1} = & \frac{\frac{\frac{\frac{- 1 + \sqrt{97}}{2} - \sqrt{\frac{97 - \sqrt{7857}}{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{97 - \sqrt{2425}}{2} + \sqrt{\frac{5141 - \sqrt{25927033}}{2}}}{2}}}{2} - \sqrt{\frac{\frac{\frac{97 + \sqrt{4753}}{2} - \sqrt{\frac{1649 + \sqrt{2705233}}{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2037 + \sqrt{3841297}}{2} - \sqrt{\frac{3488605 + \sqrt{12162451874697}}{2}}}{2}}}{2}}}{2} \\ = & \frac{\frac{\frac{\frac{- 1 + \sqrt{97}}{2} - \sqrt{\frac{97 - 9 \sqrt{97}}{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{97 - 5 \sqrt{97}}{2} + \sqrt{\frac{5141 - 517 \sqrt{97}}{2}}}{2}}}{2} - \sqrt{\frac{\frac{\frac{97 + 7 \sqrt{97}}{2} - \sqrt{\frac{1649 + 167 \sqrt{97}}{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2037 + 199 \sqrt{97}}{2} - \sqrt{\frac{3488605 + 354099 \sqrt{97}}{2}}}{2}}}{2}}}{2} \end{matrix}

三次方程式の係数を求めると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{97} \cdot 2 \cos \frac{72 π}{97} + 2 \cos \frac{72 π}{97} \cdot 2 \cos \frac{70 π}{97} + 2 \cos \frac{70 π}{97} \cdot 2 \cos \frac{2 π}{97} = x_{1} + x_{12} \\ 2 \cos \frac{2 π}{97} \cdot 2 \cos \frac{72 π}{97} \cdot 2 \cos \frac{70 π}{97} = x_{3} + 2 \end{matrix}

解と係数の関係より

u^{3} - x_{1} u^{2} + (x_{1} + x_{12}) u - (x_{3} + 2) = 0

この三次方程式を解くことにより、 $\cos (2 π / 97)$ を平方根と立方根で表すことが可能である。

正九十七角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正九十七角形は折紙により作図可能である^[1]。