二体問題のソースを表示

{{混同|redirect=ケプラー問題|x1=[[球充填]]に関する|ケプラー予想}}
{{出典の明記|date=2017年6月}}
[[古典力学]]において、'''二体問題'''（にたいもんだい、{{lang-en-short|Two-body problem}}）とは、互いに[[重力相互作用]]を及ぼす2つの[[質点]]の動きを扱う問題である。身近な例としては、[[惑星]]の周りを回る[[衛星]]、[[恒星]]の周りを回る惑星、{{仮リンク|共通重心|en|Barycenter}}の周りを回る[[連星]]や、[[原子核]]の周りを回る古典的な[[電子]]などがある。

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全ての二体問題は、独立した[[一体問題]]に帰着させて解くことができる。しかし、[[三体問題]]やそれ以上の[[多体問題]]は、特別な場合を除いて解くことはできない。

==問題の記述==
<math>t</math> を[[時刻]]、<math>\boldsymbol{x}_1 (t)</math>, <math>\boldsymbol{x}_2 (t)</math> を時刻 <math>t</math> における2つの[[質点]]の[[位置ベクトル]]、<math>m_1</math>, <math>m_2</math> を2つの質点の[[質量]]、<math>G</math> を[[万有引力定数]]、<math>\boldsymbol{x}_1 (0)</math>, <math>\boldsymbol{x}_2 (0)</math> を最初の[[位置ベクトル]]、<math>\boldsymbol{v}_1 (0)</math>, <math>\boldsymbol{v}_2 (0)</math> を最初の[[速度ベクトル]]とする。二体問題の最終的な目標は、[[連立方程式]]

: <math>\begin{cases}
 m_1 \frac{ d^2 \boldsymbol{x}_1 }{ d t^2 } = - G m_1 m_2 \frac{ \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2 }{ | \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2 |^3 }\\
 m_2 \frac{ d^2 \boldsymbol{x}_2 }{ d t^2 } = - G m_1 m_2 \frac{ \boldsymbol{x}_2 - \boldsymbol{x}_1 }{ | \boldsymbol{x}_2 - \boldsymbol{x}_1 |^3 }
\end{cases}</math>

を解き、[[ベクトル関数]] <math>\boldsymbol{x}_1 (t)</math>, <math>\boldsymbol{x}_2 (t)</math> を、それぞれ <math>m_1</math>, <math>m_2</math>, <math>t</math>, <math>G</math>, <math>\boldsymbol{x}_1 (0)</math>, <math>\boldsymbol{x}_2 (0)</math>, <math>\boldsymbol{v}_1 (0)</math>, <math>\boldsymbol{v}_2 (0)</math> を用いて表すことである。

[[運動の第2法則]]により、

:<math>\boldsymbol{F}_{12}(\boldsymbol{x}_1 ,\boldsymbol{x}_2) = m_1 \ddot{\boldsymbol{x}}_1 \quad \quad \quad (\text{式　1})</math>
:<math>\boldsymbol{F}_{21}(\boldsymbol{x}_1 ,\boldsymbol{x}_2) = m_2 \ddot{\boldsymbol{x}}_2 \quad \quad \quad (\text{式　2})</math>

と書ける。ここで、

:<math>\boldsymbol{F}_{12}</math> は質量1が質量2から受ける力であり、
:<math>\boldsymbol{F}_{21}</math> は質量2が質量1から受ける力である。

これをもとに、2つの[[一体問題]]に帰着させることで、二体問題を解くことができる。式1と式2を足すと、[[重心]]の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、[[空間ベクトル|ベクトル]]<math>\boldsymbol{r} \equiv \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2</math>の経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡<math>\boldsymbol{x}_1 (t)</math>と<math>\boldsymbol{x}_2 (t)</math>が記述できる。

===重心の動き===
式1と式2を足すと、
:<math>
m_1 \ddot{\boldsymbol{x}}_1 + m_2 \ddot{\boldsymbol{x}}_2 =( m_1 + m_2 ) \ddot{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{com}} = \boldsymbol{F}_{12} + \boldsymbol{F}_{21} =0
</math>
となる。ここで、2つめの等号は[[運動の第3法則]]<math>\boldsymbol{F}_{12} =- \boldsymbol{F}_{21}</math>を用いた。これを変形して
:<math>\boldsymbol{x}_{\mathrm{com}} \equiv \frac{m_1 \boldsymbol{x}_1 + m_2 \boldsymbol{x}_2}{m_1 + m_2}</math>
となり、これは重心の位置を表す。ここから得られる式
:<math>\ddot{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{com}} =0</math>
は、重心の速度<math>\dot{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{com}}</math>と、
全[[運動量]]<math>m_1 \dot{\boldsymbol{x}}_1 + m_2 \dot{\boldsymbol{x}}_2</math>が一定であることを意味する。
つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。

===変位ベクトルの動き===
上の式を[[相対質量]]で割り、1式から2式を引くと、
:<math>
\ddot{\boldsymbol{r}} = \ddot{\boldsymbol{x}}_1 - \ddot{\boldsymbol{x}}_2 = 
\left( \frac{\boldsymbol{F}_{12}}{m_1} - \frac{\boldsymbol{F}_{21}}{m_2} \right) =
\left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) \boldsymbol{F}_{12} 
</math>
が得られる。ここで、<math>\boldsymbol{r}</math>は、質量2から質量1への[[変位]]ベクトルである。

2つの物体に働く力は<math>\boldsymbol{r}</math>の関数となり、<math>\boldsymbol{x}_1</math>と<math>\boldsymbol{x}_2</math>の絶対値には関係しない。
この式は次のように書ける。
:<math>
\mu \ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F}_{12} ( \boldsymbol{x}_1 , \boldsymbol{x}_2 )= \boldsymbol{F} ( \boldsymbol{r} )
</math>
ここで<math>\mu</math>は[[換算質量]]であり、
:<math>\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}</math>
である。

従って、<math>\boldsymbol{x}_1</math> と <math>\boldsymbol{x}_2</math> の[[軌跡]]の方程式は、[[時刻]] <math>t</math> における2物体間の[[重心]]の[[位置ベクトル]] <math>\boldsymbol{x}_{\mathrm{com}}(t)</math>, 質量2から質量1への[[変位ベクトル]] <math>\boldsymbol{r}(t)</math> を使って、
:<math>\boldsymbol{x}_1 (t)= \boldsymbol{x}_{\mathrm{com}} (t)+ \frac{m_2}{m_1 + m_2} \boldsymbol{r} (t)</math>
:<math>\boldsymbol{x}_2 (t)= \boldsymbol{x}_{\mathrm{com}} (t)- \frac{m_1}{m_1 + m_2} \boldsymbol{r} (t)</math>
と書くことができる。

==関連項目==
*[[ケプラーの法則]]
*[[ビリアル定理]]
*[[2体ポテンシャル]]
*[[:en:Kepler problem|Kepler problem]]（ケプラー問題）

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:にたいもんたい}}
[[Category:力学]]
[[Category:天文学]]
[[Category:天文学に関する記事]]