二体問題

テンプレート:混同テンプレート:出典の明記古典力学において、二体問題（にたいもんだい、テンプレート:Lang-en-short）とは、互いに重力相互作用を及ぼす2つの質点の動きを扱う問題である。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星、恒星の周りを回る惑星、テンプレート:仮リンクの周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などがある。

全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。

問題の記述

$t$ を時刻、 $𝒙_{1} (t)$ , $𝒙_{2} (t)$ を時刻 $t$ における2つの質点の位置ベクトル、 $m_{1}$ , $m_{2}$ を2つの質点の質量、 $G$ を万有引力定数、 $𝒙_{1} (0)$ , $𝒙_{2} (0)$ を最初の位置ベクトル、 $𝒗_{1} (0)$ , $𝒗_{2} (0)$ を最初の速度ベクトルとする。二体問題の最終的な目標は、連立方程式

{\begin{matrix} m_{1} \frac{d^{2} 𝒙_{1}}{d t^{2}} = - G m_{1} m_{2} \frac{𝒙_{1} - 𝒙_{2}}{| 𝒙_{1} - 𝒙_{2} |^{3}} \\ m_{2} \frac{d^{2} 𝒙_{2}}{d t^{2}} = - G m_{1} m_{2} \frac{𝒙_{2} - 𝒙_{1}}{| 𝒙_{2} - 𝒙_{1} |^{3}} \end{matrix}

を解き、ベクトル関数 $𝒙_{1} (t)$ , $𝒙_{2} (t)$ を、それぞれ $m_{1}$ , $m_{2}$ , $t$ , $G$ , $𝒙_{1} (0)$ , $𝒙_{2} (0)$ , $𝒗_{1} (0)$ , $𝒗_{2} (0)$ を用いて表すことである。

運動の第2法則により、

𝑭_{12} (𝒙_{1}, 𝒙_{2}) = m_{1} {\ddot{𝒙}}_{1} (式　1)

𝑭_{21} (𝒙_{1}, 𝒙_{2}) = m_{2} {\ddot{𝒙}}_{2} (式　2)

と書ける。ここで、

𝑭_{12}

は質量1が質量2から受ける力であり、

𝑭_{21}

は質量2が質量1から受ける力である。

これをもとに、2つの一体問題に帰着させることで、二体問題を解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトル $𝒓 \equiv 𝒙_{1} - 𝒙_{2}$ の経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡 $𝒙_{1} (t)$ と $𝒙_{2} (t)$ が記述できる。

重心の動き

式1と式2を足すと、

m_{1} {\ddot{𝒙}}_{1} + m_{2} {\ddot{𝒙}}_{2} = (m_{1} + m_{2}) {\ddot{𝒙}}_{c o m} = 𝑭_{12} + 𝑭_{21} = 0

となる。ここで、2つめの等号は運動の第3法則 $𝑭_{12} = - 𝑭_{21}$ を用いた。これを変形して

𝒙_{c o m} \equiv \frac{m_{1} 𝒙_{1} + m_{2} 𝒙_{2}}{m_{1} + m_{2}}

となり、これは重心の位置を表す。ここから得られる式

{\ddot{𝒙}}_{c o m} = 0

は、重心の速度 ${\dot{𝒙}}_{c o m}$ と、全運動量 $m_{1} {\dot{𝒙}}_{1} + m_{2} {\dot{𝒙}}_{2}$ が一定であることを意味する。つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。

変位ベクトルの動き

上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、

\ddot{𝒓} = {\ddot{𝒙}}_{1} - {\ddot{𝒙}}_{2} = (\frac{𝑭_{12}}{m_{1}} - \frac{𝑭_{21}}{m_{2}}) = (\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}) 𝑭_{12}

が得られる。ここで、 $𝒓$ は、質量2から質量1への変位ベクトルである。

2つの物体に働く力は $𝒓$ の関数となり、 $𝒙_{1}$ と $𝒙_{2}$ の絶対値には関係しない。この式は次のように書ける。

μ \ddot{𝒓} = 𝑭_{12} (𝒙_{1}, 𝒙_{2}) = 𝑭 (𝒓)

ここで $μ$ は換算質量であり、

μ = \frac{1}{\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}} = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

である。

従って、 $𝒙_{1}$ と $𝒙_{2}$ の軌跡の方程式は、時刻 $t$ における2物体間の重心の位置ベクトル $𝒙_{c o m} (t)$ , 質量2から質量1への変位ベクトル $𝒓 (t)$ を使って、

𝒙_{1} (t) = 𝒙_{c o m} (t) + \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} 𝒓 (t)

𝒙_{2} (t) = 𝒙_{c o m} (t) - \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} 𝒓 (t)

と書くことができる。

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目次

問題の記述

重心の動き

変位ベクトルの動き

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