二十一角形のソースを表示

[[ファイル:Regular polygon 21.svg|300px|サムネイル|右|正二十一角形]]
'''二十一角形'''（にじゅういちかくけい、にじゅういちかっけい、icosihenagon）は、[[多角形]]の一つで、21本の[[辺]]と21個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は3420°、[[対角線]]の本数は189本である。

== 正二十一角形 ==
正二十一角形においては、中心角と外角は17.142…°で、内角は162.857…°となる。一辺の長さが a の正二十一角形の面積 S は
:<math>S = \frac{21}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{21} \simeq 34.83147 a^2</math>

<math>\cos (2\pi/21)</math>を平方根と立方根で表すことが可能である。
:<math>\cos\frac{2\pi}{21} = \cos \left(\frac{2\pi}{3}-\frac{4\pi}{7}\right) </math>

[[:en:Trigonometric constants expressed in real radicals#List of trigonometric constants of 2π/n|Trigonometric constants expressed in real radicals]]より
:<math>\cos\frac{2\pi}{21} = \frac{1+\sqrt{21}+\sqrt[3]{154-30\sqrt{21}+\left(42\sqrt{3}-18\sqrt{7}\right)i}+\sqrt[3]{154-30\sqrt{21}+\left(18\sqrt{7}-42\sqrt{3}\right)i}}{12}</math>

Σcos(2kπ/(2n+1))=-1/2の関係式から
:<math>2\cos\frac{2\pi}{21}+2\cos\frac{4\pi}{21}+2\cos\frac{6\pi}{21}+2\cos\frac{8\pi}{21}+2\cos\frac{10\pi}{21}+2\cos\frac{12\pi}{21}+2\cos\frac{14\pi}{21}+2\cos\frac{16\pi}{21}+2\cos\frac{18\pi}{21}+2\cos\frac{20\pi}{21}=-1 </math>

ここで、以下の関係式を使って
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{14\pi}{21}=2\cos\frac{2\pi}{3}=-1 \,\\
& 2\cos\frac{6\pi}{21}+2\cos\frac{12\pi}{21}+2\cos\frac{18\pi}{21}=2\cos\frac{2\pi}{7}+2\cos\frac{4\pi}{7}+2\cos\frac{6\pi}{7}=-1 \\
\end{align}</math>

整理すると
:<math>2\cos\frac{2\pi}{21}+2\cos\frac{4\pi}{21}+2\cos\frac{8\pi}{21}+2\cos\frac{10\pi}{21}+2\cos\frac{16\pi}{21}+2\cos\frac{20\pi}{21}=1 </math>

以下のように定義すると
:<math>\begin{align}
& \alpha=2\cos\frac{2\pi}{21}+2\cos\frac{8\pi}{21}+2\cos\frac{10\pi}{21} \\
& \beta=2\cos\frac{4\pi}{21}+2\cos\frac{16\pi}{21}+2\cos\frac{20\pi}{21}
\end{align}</math>

以下の値が求められる。
:<math>\begin{align}
& \alpha+\beta=1 \,\\
& (\alpha-\beta)^2 = 21 \\
& \alpha-\beta=\sqrt{21} \\
\end{align}</math>

[[解と係数の関係]]を求め、[[三次方程式]]を解くことにより<math>\cos (2\pi/21)</math>が求められる。

=== 正二十一角形の作図 ===
正二十一角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正二十一角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[七角形]]
* [[十四角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:にしゆういちかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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