二十一角形

二十一角形（にじゅういちかくけい、にじゅういちかっけい、icosihenagon）は、多角形の一つで、21本の辺と21個の頂点を持つ図形である。内角の和は3420°、対角線の本数は189本である。

正二十一角形

正二十一角形においては、中心角と外角は17.142…°で、内角は162.857…°となる。一辺の長さが a の正二十一角形の面積 S は

S = \frac{21}{4} a^{2} \cot \frac{π}{21} ≃ 34.83147 a^{2}

$\cos (2 π / 21)$ を平方根と立方根で表すことが可能である。

\cos \frac{2 π}{21} = \cos (\frac{2 π}{3} - \frac{4 π}{7})

\cos \frac{2 π}{21} = \frac{1 + \sqrt{21} + \sqrt[3]{154 - 30 \sqrt{21} + (42 \sqrt{3} - 18 \sqrt{7}) i} + \sqrt[3]{154 - 30 \sqrt{21} + (18 \sqrt{7} - 42 \sqrt{3}) i}}{12}

Σcos(2kπ/(2n+1))=-1/2の関係式から

2 \cos \frac{2 π}{21} + 2 \cos \frac{4 π}{21} + 2 \cos \frac{6 π}{21} + 2 \cos \frac{8 π}{21} + 2 \cos \frac{10 π}{21} + 2 \cos \frac{12 π}{21} + 2 \cos \frac{14 π}{21} + 2 \cos \frac{16 π}{21} + 2 \cos \frac{18 π}{21} + 2 \cos \frac{20 π}{21} = - 1

ここで、以下の関係式を使って

\begin{matrix} 2 \cos \frac{14 π}{21} = 2 \cos \frac{2 π}{3} = - 1 \\ 2 \cos \frac{6 π}{21} + 2 \cos \frac{12 π}{21} + 2 \cos \frac{18 π}{21} = 2 \cos \frac{2 π}{7} + 2 \cos \frac{4 π}{7} + 2 \cos \frac{6 π}{7} = - 1 \end{matrix}

整理すると

2 \cos \frac{2 π}{21} + 2 \cos \frac{4 π}{21} + 2 \cos \frac{8 π}{21} + 2 \cos \frac{10 π}{21} + 2 \cos \frac{16 π}{21} + 2 \cos \frac{20 π}{21} = 1

以下のように定義すると

\begin{matrix} α = 2 \cos \frac{2 π}{21} + 2 \cos \frac{8 π}{21} + 2 \cos \frac{10 π}{21} \\ β = 2 \cos \frac{4 π}{21} + 2 \cos \frac{16 π}{21} + 2 \cos \frac{20 π}{21} \end{matrix}

以下の値が求められる。

\begin{matrix} α + β = 1 \\ (α - β)^{2} = 21 \\ α - β = \sqrt{21} \end{matrix}

解と係数の関係を求め、三次方程式を解くことにより $\cos (2 π / 21)$ が求められる。

正二十一角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正二十一角形は折紙により作図可能である。