二十八角形のソースを表示

[[ファイル:Regular polygon 28.svg|300px|サムネイル|右|正二十八角形]]
'''二十八角形'''（にじゅうはちかくけい、にじゅうはちかっけい、icosioctagon）は、[[多角形]]の一つで、28本の[[辺]]と28個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は4680°、[[対角線]]の本数は350本である。

== 正二十八角形 ==
正二十八角形においては、中心角と外角は12.857…°で、内角は167.142…°となる。一辺の長さが a の正二十八角形の面積 S は
:<math>S = \frac{28}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{28} \simeq 62.12672 a^2</math>

<math>\cos (2\pi/28)</math>を平方根と立方根で表すと
:<math>
\cos\frac{2\pi}{28} = \cos\frac{\pi}{14} = \sqrt{\frac{1+\cos\frac{2\pi}{14}}{2}}= \sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{12}\sqrt{3\left(20+2\sqrt[3]{28-84i\sqrt{3}}+2\sqrt[3]{28+84i\sqrt{3}}\right)} \right)}
</math>

別の表し方として
:<math>\cos\frac{2\pi}{28} = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+2\cdot\cos\frac{2\pi}{7}}} = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+2\cdot \frac{1}{6} \left( \sqrt{7} \cdot \sqrt[3]{ \frac{ 1+3 \sqrt{3} \cdot i}{2 \sqrt{7}} } + \sqrt{7} \cdot \sqrt[3]{ \frac{ 1-3 \sqrt{3} \cdot i}{2 \sqrt{7}} } - 1 \right)}}</math>

;関係式
:<math>\begin{align}
& \alpha = 2\cos\frac{2\pi}{28}+2\cos\frac{6\pi}{28}+2\cos\frac{18\pi}{28} = \sqrt{7} \\
& \beta = 2\cos\frac{10\pi}{28}+2\cos\frac{26\pi}{28}+2\cos\frac{22\pi}{28} = -\sqrt{7} \\
\end{align}</math>

三次方程式の係数を求めると
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{28} \cdot 2\cos\frac{6\pi}{28} + 2\cos\frac{6\pi}{28} \cdot 2\cos\frac{18\pi}{28} + 2\cos\frac{18\pi}{28} \cdot 2\cos\frac{2\pi}{28} = 0 \\
& 2\cos\frac{2\pi}{28} \cdot 2\cos\frac{6\pi}{28} \cdot 2\cos\frac{18\pi}{28} = -\sqrt{7} \\
\end{align}</math>

解と係数の関係より
:<math>
x^3-\sqrt{7}x^2+\sqrt{7}=0
</math>

変数変換
:<math>
x=y+\frac{\sqrt{7}}{3}
</math>

整理すると
:<math>
y^3-\frac{7}{3}y+\frac{13\sqrt{7}}{27}=0
</math>

三角関数、逆三角関数を用いた解は
:<math>
x=\frac{\sqrt{7}}{3}+\frac{2\sqrt{7}}{3}\cos\left( \frac{1}{3}\arccos{\frac{-13}{14}} \right)
</math>

平方根、立方根で表すと
:<math>
x=\frac{\sqrt{7}}{3}+\frac{\sqrt{7}}{3}\sqrt[3]{\frac{-13}{14}+i\frac{3\sqrt{3}}{14}}+\frac{\sqrt{7}}{3}\sqrt[3]{\frac{-13}{14}-i\frac{3\sqrt{3}}{14}}
</math>

<math>\cos (2\pi/28)</math>を平方根と立方根で表すと
:<math>
\cos\frac{2\pi}{28}=\frac{\sqrt{7}}{6}+\frac{\sqrt{7}}{6}\sqrt[3]{\frac{-13}{14}+i\frac{3\sqrt{3}}{14}}+\frac{\sqrt{7}}{6}\sqrt[3]{\frac{-13}{14}-i\frac{3\sqrt{3}}{14}}
</math>

=== 正二十八角形の作図 ===
正二十八角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正二十八角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[七角形]]
* [[十四角形]]
* [[二十一角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:にしゆうはちかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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