二十八角形

二十八角形（にじゅうはちかくけい、にじゅうはちかっけい、icosioctagon）は、多角形の一つで、28本の辺と28個の頂点を持つ図形である。内角の和は4680°、対角線の本数は350本である。

正二十八角形

正二十八角形においては、中心角と外角は12.857…°で、内角は167.142…°となる。一辺の長さが a の正二十八角形の面積 S は

S = \frac{28}{4} a^{2} \cot \frac{π}{28} ≃ 62.12672 a^{2}

$\cos (2 π / 28)$ を平方根と立方根で表すと

\cos \frac{2 π}{28} = \cos \frac{π}{14} = \sqrt{\frac{1 + \cos \frac{2 π}{14}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{12} \sqrt{3 (20 + 2 \sqrt[3]{28 - 84 i \sqrt{3}} + 2 \sqrt[3]{28 + 84 i \sqrt{3}})})}

別の表し方として

\cos \frac{2 π}{28} = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2 \cdot \cos \frac{2 π}{7}}} = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2 \cdot \frac{1}{6} (\sqrt{7} \cdot \sqrt[3]{\frac{1 + 3 \sqrt{3} \cdot i}{2 \sqrt{7}}} + \sqrt{7} \cdot \sqrt[3]{\frac{1 - 3 \sqrt{3} \cdot i}{2 \sqrt{7}}} - 1)}}

関係式: $\begin{matrix} α = 2 \cos \frac{2 π}{28} + 2 \cos \frac{6 π}{28} + 2 \cos \frac{18 π}{28} = \sqrt{7} \\ β = 2 \cos \frac{10 π}{28} + 2 \cos \frac{26 π}{28} + 2 \cos \frac{22 π}{28} = - \sqrt{7} \end{matrix}$

三次方程式の係数を求めると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{28} \cdot 2 \cos \frac{6 π}{28} + 2 \cos \frac{6 π}{28} \cdot 2 \cos \frac{18 π}{28} + 2 \cos \frac{18 π}{28} \cdot 2 \cos \frac{2 π}{28} = 0 \\ 2 \cos \frac{2 π}{28} \cdot 2 \cos \frac{6 π}{28} \cdot 2 \cos \frac{18 π}{28} = - \sqrt{7} \end{matrix}

解と係数の関係より

x^{3} - \sqrt{7} x^{2} + \sqrt{7} = 0

変数変換

x = y + \frac{\sqrt{7}}{3}

整理すると

y^{3} - \frac{7}{3} y + \frac{13 \sqrt{7}}{27} = 0

三角関数、逆三角関数を用いた解は

x = \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{2 \sqrt{7}}{3} \cos (\frac{1}{3} \arccos \frac{- 13}{14})

平方根、立方根で表すと

x = \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \sqrt[3]{\frac{- 13}{14} + i \frac{3 \sqrt{3}}{14}} + \frac{\sqrt{7}}{3} \sqrt[3]{\frac{- 13}{14} - i \frac{3 \sqrt{3}}{14}}

$\cos (2 π / 28)$ を平方根と立方根で表すと

\cos \frac{2 π}{28} = \frac{\sqrt{7}}{6} + \frac{\sqrt{7}}{6} \sqrt[3]{\frac{- 13}{14} + i \frac{3 \sqrt{3}}{14}} + \frac{\sqrt{7}}{6} \sqrt[3]{\frac{- 13}{14} - i \frac{3 \sqrt{3}}{14}}

正二十八角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正二十八角形は折紙により作図可能である。