二十六角形のソースを表示

[[ファイル:Regular polygon 26.svg|300px|サムネイル|右|正二十六角形]]
'''二十六角形'''（にじゅうろくかくけい、にじゅうろっかっけい、icosihexagon）は、[[多角形]]の一つで、26本の[[辺]]と26個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は4320°、[[対角線]]の本数は299本である。

== 正二十六角形 ==
正二十六角形においては、中心角と外角は13.846…°で、内角は166.153…°となる。一辺の長さが a の正二十六角形の面積 S は
:<math>S = \frac{26}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{26} \simeq 53.53232 a^2</math>

<math>\cos (2\pi/26)</math>を平方根と立方根で表すと
:<math>\cos\frac{2\pi}{26}=\cos\frac{\pi}{13}=\frac{1}{12}\sqrt{72+72\cdot\cos\frac{2\pi}{13}}=\frac{1}{12}\sqrt{72+72\cdot\frac{1}{12}\left(\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}+12\sqrt{-39}}+\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}-12\sqrt{-39}}+\sqrt{13}-1\right)}=0.970941...</math>

;求め方
以下のようにα、βを置く
:<math>\begin{align}
\alpha =& 2\cos\frac{2\pi}{26}+2\cos\frac{6\pi}{26}+2\cos\frac{18\pi}{26} \\
\beta =& 2\cos\frac{14\pi}{26}+2\cos\frac{10\pi}{26}+2\cos\frac{22\pi}{26} \\
\end{align}</math>

和と差の平方を求めると
:<math>\begin{align}
\alpha + \beta = 1 \\
\left(\alpha - \beta \right)^2 = 13 \\
\end{align}</math>

α-βを求めると（α > βより）
:<math>\alpha - \beta = \sqrt{13} </math>

よって
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{26}+2\cos\frac{6\pi}{26}+2\cos\frac{18\pi}{26} =& \frac{1+\sqrt{13}}{2} \\
2\cos\frac{14\pi}{26}+2\cos\frac{10\pi}{26}+2\cos\frac{22\pi}{26} =& \frac{1-\sqrt{13}}{2} \\
\end{align}</math>

一方
:<math>\begin{align}
\left( 2\cos\frac{2\pi}{26} + \omega \cdot 2\cos\frac{6\pi}{26} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{18\pi}{26} \right)^3 =& 2+2\sqrt{13} + 6 \cdot \frac{-3-\sqrt{13}}{2} + 3\omega \cdot (2+\sqrt{13}) + 3\omega^2 \cdot (2) = \frac {-26-5\sqrt{13}+3\sqrt{39} i}{2} \\
\left( 2\cos\frac{2\pi}{26} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{6\pi}{26} + \omega \cdot 2\cos\frac{18\pi}{26} \right)^3 =& 2+2\sqrt{13} + 6 \cdot \frac{-3-\sqrt{13}}{2} + 3\omega^2 \cdot (2+\sqrt{13}) + 3\omega \cdot (2) = \frac {-26-5\sqrt{13}-3\sqrt{39} i}{2} \\
\end{align}</math>
両辺の立方根を求めると
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{26} + \omega \cdot 2\cos\frac{6\pi}{26} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{18\pi}{26}  =& \sqrt[3]{ \frac {-26-5\sqrt{13}+3\sqrt{39} i}{2} } \\
2\cos\frac{2\pi}{26} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{6\pi}{26} + \omega \cdot 2\cos\frac{18\pi}{26}  =& \sqrt[3]{ \frac {-26-5\sqrt{13}-3\sqrt{39} i}{2} } \\
\end{align}</math>

<math>\cos (2\pi/26)</math>を平方根と立方根で表すと
:<math>
\cos\frac{2\pi}{26}=\frac{1+\sqrt{13}}{12}+\frac{1}{6}\sqrt[3]{ \frac {-26-5\sqrt{13}+3\sqrt{39} i}{2} }+\frac{1}{6}\sqrt[3]{ \frac {-26-5\sqrt{13}-3\sqrt{39} i}{2} }
</math>

=== 正二十六角形の作図 ===
正二十六角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正二十六角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[十三角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:にしゆうろくかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{Geometry-stub}}