二十六角形

二十六角形（にじゅうろくかくけい、にじゅうろっかっけい、icosihexagon）は、多角形の一つで、26本の辺と26個の頂点を持つ図形である。内角の和は4320°、対角線の本数は299本である。

正二十六角形

正二十六角形においては、中心角と外角は13.846…°で、内角は166.153…°となる。一辺の長さが a の正二十六角形の面積 S は

S = \frac{26}{4} a^{2} \cot \frac{π}{26} ≃ 53.53232 a^{2}

$\cos (2 π / 26)$ を平方根と立方根で表すと

\cos \frac{2 π}{26} = \cos \frac{π}{13} = \frac{1}{12} \sqrt{72 + 72 \cdot \cos \frac{2 π}{13}} = \frac{1}{12} \sqrt{72 + 72 \cdot \frac{1}{12} (\sqrt[3]{104 - 20 \sqrt{13} + 12 \sqrt{- 39}} + \sqrt[3]{104 - 20 \sqrt{13} - 12 \sqrt{- 39}} + \sqrt{13} - 1)} = 0.970941 . . .

以下のようにα、βを置く

\begin{matrix} α = & 2 \cos \frac{2 π}{26} + 2 \cos \frac{6 π}{26} + 2 \cos \frac{18 π}{26} \\ β = & 2 \cos \frac{14 π}{26} + 2 \cos \frac{10 π}{26} + 2 \cos \frac{22 π}{26} \end{matrix}

和と差の平方を求めると

\begin{matrix} α + β = 1 \\ {(α - β)}^{2} = 13 \end{matrix}

α-βを求めると（α > βより）

α - β = \sqrt{13}

よって

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{26} + 2 \cos \frac{6 π}{26} + 2 \cos \frac{18 π}{26} = & \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \\ 2 \cos \frac{14 π}{26} + 2 \cos \frac{10 π}{26} + 2 \cos \frac{22 π}{26} = & \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \end{matrix}

一方

\begin{matrix} {(2 \cos \frac{2 π}{26} + ω \cdot 2 \cos \frac{6 π}{26} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{18 π}{26})}^{3} = & 2 + 2 \sqrt{13} + 6 \cdot \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2} + 3 ω \cdot (2 + \sqrt{13}) + 3 ω^{2} \cdot (2) = \frac{- 26 - 5 \sqrt{13} + 3 \sqrt{39} i}{2} \\ {(2 \cos \frac{2 π}{26} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{6 π}{26} + ω \cdot 2 \cos \frac{18 π}{26})}^{3} = & 2 + 2 \sqrt{13} + 6 \cdot \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2} + 3 ω^{2} \cdot (2 + \sqrt{13}) + 3 ω \cdot (2) = \frac{- 26 - 5 \sqrt{13} - 3 \sqrt{39} i}{2} \end{matrix}

両辺の立方根を求めると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{26} + ω \cdot 2 \cos \frac{6 π}{26} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{18 π}{26} = & \sqrt[3]{\frac{- 26 - 5 \sqrt{13} + 3 \sqrt{39} i}{2}} \\ 2 \cos \frac{2 π}{26} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{6 π}{26} + ω \cdot 2 \cos \frac{18 π}{26} = & \sqrt[3]{\frac{- 26 - 5 \sqrt{13} - 3 \sqrt{39} i}{2}} \end{matrix}

$\cos (2 π / 26)$ を平方根と立方根で表すと

\cos \frac{2 π}{26} = \frac{1 + \sqrt{13}}{12} + \frac{1}{6} \sqrt[3]{\frac{- 26 - 5 \sqrt{13} + 3 \sqrt{39} i}{2}} + \frac{1}{6} \sqrt[3]{\frac{- 26 - 5 \sqrt{13} - 3 \sqrt{39} i}{2}}

正二十六角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正二十六角形は折紙により作図可能である。