二次体のソースを表示

'''二次体''' (にじたい、{{lang-en-short|quadratic field}}) は、[[有理数]]体上、2次の[[代数体]]のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 ''d'' を用いて、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> と表現される。もし、''d'' > 0 である場合、'''実二次体''' (real quadratic field)、''d'' < 0 の場合、'''虚二次体''' (imaginary quadratic field) という。

== 性質 ==
=== 体論・環論 ===
*任意の二次体は、[[代数体#共役体|ガロア拡大体]]であり、[[ガロア群]]は[[巡回群]]となる。
*その[[整数環]]が[[ユークリッド環#ノルムユークリッド体|ノルムユークリッド整域]]となる二次体 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> は、''d'' = &minus;11, &minus;7, &minus;3, &minus;2, &minus;1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 だけである。
*その整数環が[[素元分解整域|一意分解整域]]となる虚二次体 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> は、''d'' = &minus;1, &minus;2, &minus;3, &minus;7, &minus;11, &minus;19, &minus;43, &minus;67, &minus;163 だけである。
*任意の二次体 ''K'' に対して、有理素数<ref>有理整数である素数のこと。</ref> ''p'' は、以下のいずれかを満たす。
#<math>(p) = \mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2</math> (<math>\mathfrak{p}_1,\ \mathfrak{p}_2</math> は、相異なる ''K'' の[[素イデアル]])。　(このとき、''p'' は、''K'' で'''完全分解'''であるという。)
#<math>(p) = \mathfrak{p}^2</math> (<math>\mathfrak{p}</math> は、''K'' の素イデアル)。　(このとき、''p'' は、''K'' で'''不分解'''であるという。)
#<math>(p)</math> は、''K'' の素イデアルである。　(このとき、''p'' は、''K'' で'''不分岐'''であるという。)

=== 二次体の判別式 ===
*二次体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> の[[代数体#判別式|判別式]]を ''D'' としたとき、
: <math> D = \begin{cases}d & (d\equiv 1 \mod 4),\\ 4d & (d\equiv 2, 3 \mod 4).\end{cases}</math>
従って、''d'' &equiv; 1 (mod 4) のときは、<math>\scriptstyle\{1,\ (1+\sqrt{d})/2 \}</math>、それ以外のときは、<math>\scriptstyle\{1,\ \sqrt{d}\}</math> が、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> の[[代数体#整数環|整基底]]となる。

=== 二次体の単数 ===
*''E<sub>K</sub>'' を、二次体 <math>\scriptstyle K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> の[[代数体#単数群|単数群]]としたとき、
#''d'' = &minus; 1 のとき：''E<sub>K</sub>'' = { ± 1, ± ''i'' } 。
#''d'' = &minus;3 のとき：''E<sub>K</sub>'' = { ± 1, ± ω, ± ω<sup>2</sup> } 　(ω = (&minus; 1 + √{{overline|&minus; 3}})/2) 。
#''d'' < 0 かつ、''d'' &ne; &minus; 1, &minus; 3 のとき：''E<sub>K</sub>'' = { ± 1 } 。
#''d'' > 0 のとき：<math>\scriptstyle E_K = \{\pm\varepsilon_0^n | n = 0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \ldots \}</math> 　(ε<sub>0</sub> は[[代数体#基本単数系|基本単数]])。

*''D'' を、二次体 <math>\scriptstyle K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> の判別式とし、自然数 ''x''<sup>*</sup>, ''y''<sup>*</sup> を、
:''x''<sup>2</sup> &minus; ''Dy''<sup>2</sup> = ± 4<ref>''x''<sup>2</sup> &minus; ''Dy''<sup>2</sup> = &minus; 4 に有理整数解を持たない場合に限り、''x''<sup>*</sup>, ''y''<sup>*</sup> を ''x''<sup>2</sup> &minus; ''Dy''<sup>2</sup> = 4 の解として選ぶ。</ref><ref>平方因子を持たない0, 1 以外の整数 ''a'' および、''c'' = ± 1, ± 4 に対して、''x''<sup>2</sup> &minus; ''ay''<sup>2</sup> = ''c'' の形の[[不定方程式]]を[[ペル方程式]]という。</ref>の最小の有理整数解としたとき、(''x''<sup>*</sup> + ''y''<sup>*</sup>√{{overline|''D''}})/2 は、''K'' の基本単数である。

<math>\scriptstyle d\le 14</math> に対する基本単数
{|border="1" cellpadding="2" cellspacing="0"
!style="width:10%"|''d''!!2!!3!!5!!6!!7!!10!!11!!13!!14
|-style="vertical-align:middle;"
|
基本単数
|
<math>1+\sqrt{2}</math> 
|
<math>2+\sqrt{3}</math> 
|
<math>(1+\sqrt{5})/2</math> 
|
<math>5+2\sqrt{6}</math> 
|
<math>8+3\sqrt{7}</math> 
|
<math>3+\sqrt{10}</math> 
|
<math>10+3\sqrt{11}</math> 
|
<math>(3+\sqrt{13})/2</math> 
|
<math>15+4\sqrt{14}</math> 
|}

=== 二次体と円分体 ===
*任意の二次体 ''K'' に対して、ある整数 ''n'' が存在して、 <math>\scriptstyle K\sub\mathbb{Q}(\zeta_n)</math> 。ここで、<math>\zeta_n</math> は、1 の原始 ''n'' 乗根である<ref>''n'' として、''K'' の判別式の絶対値とすると、このことが成立する。</ref>。
:特に、''n'' = 2<sup>''q''</sup> (''q'' &ge; 3) とすれば、円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_n)</math> には、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{-1}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{2}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{-2})</math> が含まれる。
*上記のことは、[[クロネッカー・ウェーバーの定理|クロネッカー＝ウェーバーの定理]]の特別な場合である。さらに、基礎体を有理数体ではなく、虚二次体にしたときに同様なことが言えるかを問うたのが、[[クロネッカーの青春の夢]](の特別な場合)である。

== 二次体と初等整数論 ==
二次体と初等整数論との関係を述べる。

=== 平方剰余の相互法則 ===
<math>\left(\frac{a}{p}\right)</math> を[[ルジャンドル記号]]とすると、次が成立する。

*平方因子を持たない素数 ''a'' と、''2a'' と互いに素な素数 ''p'' に対して、
:<math>\left(\frac{a}{p}\right) = 1</math> <math>\Longleftrightarrow</math> <math>(p)</math> は、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{a})</math> 上で、相異なる2つの素イデアルの積で表される。

:*このことから、二次体上で、どの様な素数が2つの素イデアルで分解されるかを考察することで、[[平方剰余の相互法則]]、[[平方剰余の相互法則#相互法則|第1補充法則]]、[[平方剰余の相互法則#相互法則|第2補充法則]]を示すことができる。

=== 二次形式 ===
有理整数係数の[[二次形式|二元二次形式]]の類数を ''H''(''D'') (''D'' は、二次形式の判別式) とし、
二次体 <math>\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{D})</math> の(代数体としての)類数を、''h<sub>K</sub>'' とすると、''H''(''D'') = ''h<sub>K</sub>'' である。つまり、有理整数係数の二元二次形式の類と、二次形式の判別式で作られる二次体のイデアル類とは、一対一の対応を付けることができる。

== 二次体の類数 ==
=== ディリクレの類数公式 ===
二次体 ''K'' の判別式を ''D'' とし、''&chi;'' を <math>\scriptstyle (\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^{\times}</math> に対する[[レオポルト・クロネッカー|クロネッカー]]の指標<ref><math>\scriptstyle\left(\frac{\cdot}{D}\right)</math> をクロネッカーの記号としたとき、<math>\scriptstyle\chi(n) = \left(\frac{n}{D}\right)</math> で与えられる[[ディリクレ指標]]のことを、クロネッカーの指標という。</ref>とする。''K'' に対する [[ディリクレのL関数|ディリクレの L 関数]]を用いて、''K'' の[[代数体#類数|類数]] ''h<sub>K</sub>'' は
:<math>h_K = \frac{1}{\kappa}L(1, \chi)</math>
で与えられる。ただし、&kappa; は、
:<math>\kappa = \begin{cases} \frac{2\log\varepsilon_0}{\sqrt{D}} & (D > 0),\\ \frac{2\pi}{w\sqrt{-D}} & (D < 0),\end{cases}</math>
で与えられる 0 でない実数である。ここで、''w'' は、''K'' に含まれる 1 のベキ根の数、''&epsilon;<sub>0</sub>'' は、''K'' の[[代数体#基本単数系|基本単数]]とする。

さらに上式は、以下の形で有限和の形で表現することが可能である。

*''K'' が実二次体のとき
:<math>h_K = -\frac{1}{2\log\varepsilon_0}\sum_{a=1}^{d-1}\chi(a)\log\sin\frac{a\pi}{d}</math>.
*''K'' が虚二次体のとき
:<math>h_K = -\frac{w}{2d}\sum_{a=1}^{d-1}\chi(a)a</math>.

ただし、&epsilon;<sub>0</sub> は、''K'' の基本単数、''d'' = |''D''|、''w'' は、''K'' に含まれる 1 のベキ根の数とする。

これらの式を総称して'''ディリクレの類数公式'''<ref>L関数を用いない式に対して、ディリクレの類数公式ということもある。</ref>という。

類数を表す式は、他にも、[[デデキントゼータ関数|デデキントのゼータ関数]]の <math>s = 1</math> での[[留数]]で表現するものも知られている。

<math>\zeta_K(s)</math> を、二次体 ''K'' のデデキントのゼータ関数とすると、以下の式が成立する。
:<math>\kappa h_K = \operatorname{Res}_{s=1}\zeta_K(s)</math>。
ただし、&kappa; は、上記、ディリクレの類数公式で与えられた &kappa; である。

=== 類数に関するガウスの予想 ===
{{main|類数問題}}
[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]は、二元二次形式の研究により、二次形式の類数について、いくつかの予想を残している。今日、これらを総称して、類数に関する'''ガウスの予想'''という。特に、予想4 のことをガウスの予想とすることも多い。
ここでは、ガウスが挙げた予想について、二次体での言葉に翻訳して述べる。

#''K'' を二次体とし、''D<sub>K</sub>'', ''h<sub>K</sub>'' を ''K'' の判別式、類数としたとき、<math>\scriptstyle |D_K|\to\infty</math> ならば、<math>\scriptstyle h_K\to\infty</math> である。
#類数が 1 である実二次体は、無限に存在する。
#与えられた自然数 ''k'' に対して、類数が ''k'' である虚二次体は有限個しか存在しない。
#類数が 1 である虚二次体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{-d})</math> は、''d'' が以下の場合に限る。
::1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

予想 1 について。

予想が成立することは、1934年にハイルブロン (H. Heilbronn) が証明し、[[カール・ジーゲル|ジーゲル]] (C. L. Siegel) により、類数の増大度について、以下の様な結果が得られた。
:<math>\lim_{|D_K|\to\infty}\frac{\log h_K}{\log\sqrt{|D_K|}} = 1</math>。

予想 2 について。

現在でも、この予想が成立するか否かは不明である。もっと一般に、類数が 1 である代数体が無限に存在するかも分かっていない。

予想 3 について。

1973年に、ザギエ (D. Zagier) とグロス (B. Gross) によって、予想が成り立つことが証明された。

予想 4 について。

この予想は、まず、ヘーグナー (K. Heegner) によって、この予想が成立することが証明されたが、彼の証明には、不備があり、その誤りが訂正されたのは1968年である。そのため、この予想を最初に証明したのは、[[アラン・ベイカー|ベイカー]] (A. Baker) とスターク (H. M. Stark) であるとされる。(1966年の証明)

その後、類数が 2 である虚二次体 がベイカーとスタークにより解決され、現在までに、類数が100以下の虚二次体が決定している。

== 注釈 ==
<references />

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書|last=河田|first=敬義|year=1992|title=数論 -古典数論から類体論へ-|publisher=岩波書店|location=東京}}
*{{Cite book|和書|last=ノイキルヒ|first=J.|translator=足立恒雄(監修)・梅垣敦紀|year=2003|title=代数的整数論|publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京|location=東京}}
*{{Cite journal|last=Watkins|first=M.|title=Class numbers of imaginary quadratic fields|journal=Math. Comp.|volume=73|year=2004|pages=907-938}}

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Class Number|urlname=ClassNumber}} (類数が 25 以下の虚二次体のリストアップされている。しかし、''d'' が二次体の判別式であることに注意)
*[http://sps.nus.edu.sg/~limchuwe/stuffs/class_num.html List of Class Numbers] (''d'' < 1000 の虚二次体の類数のリスト)

== 関連項目 ==
*[[二次形式]]
*[[代数体]]
*[[円分体]]
*[[ガロア拡大での素イデアルの分解]]

{{DEFAULTSORT:にしたい}}
[[Category:体論]]
[[Category:代数的整数論]]
[[Category:数学に関する記事]]