二次閉体のソースを表示

[[数学]]における[[可換体|体]]が'''二次拡大で閉じている'''または'''二次的に閉じている''' ({{en|''quadratically closed''}}; '''二次閉''') あるいは'''二次閉体'''（にじへいたい、{{lang-en-short|''quadratically closed field''}}）であるとは、その体の任意の元の平方根がその体の中でとれることを言う{{sfn|Lam|2005|p=33}}{{sfn|Rajwade|1993|p=230}}。

== 例と反例 ==
* [[複素数]]体は二次閉体である。より一般に、任意の[[代数閉体]]は二次閉である。
* [[実数]]体は二次的に閉じていない。なんとなれば {{math|&minus;1}} の平方根は存在しない。
* 任意の非負整数 {{mvar|n}} に亘る[[有限体]] <math display="inline">\mathbb{F}_{5^{2^n}}</math> の合併は二次閉だが代数閉でない体の例となる{{sfn|Lam|2005|p=34}}。
* [[作図可能数]]体は二次閉だが代数閉でない{{sfn|Lam|2005|p=220}}。

== 性質 ==
* 体が二次閉となるための必要十分条件は{{ill2|普遍不変量|en|universal invariant}}が {{math|1}} に等しいことである。
* 任意の二次閉体は{{ill2|ピタゴラス体|en|Pythagorean field}}だが逆は成り立たない（例えば、実数体 {{mathbf|R}} はピタゴラスである）。ただし、任意の非[[形式的に実|形式的実]]ピタゴラス体は二次閉である{{sfn|Rajwade|1993|p=230}}。
* 体が二次閉となるための必要十分条件は、その{{ill2|ヴィット–グロタンディエック環|en|Witt–Grothendieck ring}}が次元写像により {{mathbf|Z}} に同型となることである{{sfn|Lam|2005|p=34}}。
* 形式的実{{ill2|ユークリッド体|en|Euclidean field}} {{mvar|E}} は二次閉でない（{{math|−1}} は {{mvar|E}} の平方元でない）が、二次拡大体 {{math|''E''({{sqrt|−1}})}} は二次閉となる{{sfn|Lam|2005|p=220}}。
* [[有限次拡大]] {{mvar|E/F}} で {{mvar|E}} が二次閉となるとき、{{math|−1}} は {{mvar|F}} の平方元かつ {{mvar|F}} が二次閉となるか、さもなくば {{math|−1}} は {{mvar|F}} の非平方元かつ {{mvar|F}} はユークリッドである。この「下降」定理 ("going-down theorem") は{{ill2|ディラー–ドレスの定理|en|Diller–Dress theorem}}から帰結することができる{{sfn|Lam|2005|p=270}}。

== 二次閉包 ==
体 {{mvar|F}} の'''二次閉包''' (''quadratic closure'') とは {{mvar|F}} を含む二次閉体であって、かつ {{mvar|F}} を含む任意の二次閉体へ埋め込むことができるものを言う。かってな体 {{mvar|F}} に対して、その二次閉包は {{mvar|F}} の代数閉包 {{math|''F''{{sup|alg}}}} の部分体として構成することができ、それは {{math|''F''{{sup|alg}}}} における {{mvar|F}} から任意の{{ill2|二次拡大|en|quadratic extension}}を繰り返して得られる体（二次拡大の塔）すべての合併である{{sfn|Lam|2005|p=220}}。

; 例
:* 実数体 {{mathbf|R}} の二次閉包は複素数体 {{mathbf|C}} である{{sfn|Lam|2005|p=220}}。
:* 五元体 {{math|'''F'''{{sub|5}}}} の二次閉包は二次拡大塔 <math display="inline">\mathbb{F}_{5^{2^n}}</math> の合併である{{sfn|Lam|2005|p=220}}。
:* 有理数体 {{mathbf|Q}} の二次閉包は作図可能数体である。

== 注 ==
=== 出典 ===
{{reflist}}
== 参考文献 ==
* {{cite book | title=Introduction to Quadratic Forms over Fields | volume=67 | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | first=Tsit-Yuen | last=Lam | authorlink=Tsit Yuen Lam | publisher=American Mathematical Society | year=2005 | isbn=0-8218-1095-2 | zbl=1068.11023 | mr = 2104929 }}
* {{cite book | title=Squares | volume=171 | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | first=A. R. | last=Rajwade | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1993 | isbn=0-521-42668-5 | zbl=0785.11022 }}

== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|urlname=QuadraticClosure|title=quadratic closure}}
* {{SpringerEOM|urlname=Quadratically_closed_field|title=Quadratically closed field}}

{{DEFAULTSORT:にしへいたい}}
[[Category:体論]]
[[Category:数学に関する記事]]