二次閉体

数学における体が二次拡大で閉じているまたは二次的に閉じている (テンプレート:En; 二次閉) あるいは二次閉体（にじへいたい、テンプレート:Lang-en-short）であるとは、その体の任意の元の平方根がその体の中でとれることを言うテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

例と反例

体が二次閉となるための必要十分条件はテンプレート:Ill2がテンプレート:Math に等しいことである。
任意の二次閉体はテンプレート:Ill2だが逆は成り立たない（例えば、実数体テンプレート:Mathbf はピタゴラスである）。ただし、任意の非形式的実ピタゴラス体は二次閉であるテンプレート:Sfn。
体が二次閉となるための必要十分条件は、そのテンプレート:Ill2が次元写像によりテンプレート:Mathbf に同型となることであるテンプレート:Sfn。
形式的実テンプレート:Ill2 テンプレート:Mvar は二次閉でない（テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の平方元でない）が、二次拡大体テンプレート:Math は二次閉となるテンプレート:Sfn。
有限次拡大テンプレート:Mvar でテンプレート:Mvar が二次閉となるとき、テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の平方元かつテンプレート:Mvar が二次閉となるか、さもなくばテンプレート:Math はテンプレート:Mvar の非平方元かつテンプレート:Mvar はユークリッドである。この「下降」定理 ("going-down theorem") はテンプレート:Ill2から帰結することができるテンプレート:Sfn。

体テンプレート:Mvar の二次閉包 (quadratic closure) とはテンプレート:Mvar を含む二次閉体であって、かつテンプレート:Mvar を含む任意の二次閉体へ埋め込むことができるものを言う。かってな体テンプレート:Mvar に対して、その二次閉包はテンプレート:Mvar の代数閉包テンプレート:Math の部分体として構成することができ、それはテンプレート:Math におけるテンプレート:Mvar から任意のテンプレート:Ill2を繰り返して得られる体（二次拡大の塔）すべての合併であるテンプレート:Sfn。

例