二重メルセンヌ数のソースを表示

'''二重メルセンヌ数'''（にじゅうメルセンヌすう）は、[[数学]]において以下の形で表される[[メルセンヌ数]]である。

: <math>M_{M_p} = 2^{2^p-1}-1</math>（''p''は素数）

== 例 ==
二重メルセンヌ数の最初の4項は以下の通り<ref name="Caldwell">Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/mersenne/index.html#unknown ''Mersenne Primes: History, Theorems and Lists''] at the [[Prime Pages]].</ref> {{OEIS|id=A077586}}:

: <math>M_{M_2} = M_3 = 7 </math>
: <math>M_{M_3} = M_7 = 127 </math>
: <math>M_{M_5} = M_{31} = 2147483647 </math>
: <math>M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727 </math>

== 二重メルセンヌ素数 ==
二重メルセンヌ数であり、かつ素数である数は'''二重メルセンヌ素数'''と呼ばれる。メルセンヌ数 ''M''<sub>''p''</sub> は ''p'' が素数である場合のみ素数となるため（証明は[[メルセンヌ数]]参照）、二重メルセンヌ素数 <math>M_{M_p}</math>は ''M''<sub>''p''</sub> それ自体がメルセンヌ素数となる場合のみ素数となる。''M''<sub>''p''</sub> が素数となる''p''の最初の値において、''p'' = 2, 3, 5, 7のとき<math>M_{M_{p}}</math>は素数となり、''p'' = 13, 17, 19および31のときの <math>M_{M_{p}}</math>の陽因数が見つかっている。
{| class="wikitable"
!<math>p</math>
!<math>M_{p} = 2^p-1</math>
!<math>M_{M_{p}} = 2^{2^p-1}-1</math>
!<math>M_{M_{p}}</math>の素因数分解
|-
|2
|[[3]]
|素数
|7
|-
|3
|[[7]]
|素数
|127
|-
|5
|[[31]]
|素数
|2147483647
|-
|7
|[[127]]
|素数
|170141183460469231731687303715884105727
|-
|11
|素数ではない
|素数ではない
|47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × ...
|-
|13
|[[メルセンヌ数|8191]]
|素数ではない
|338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × ...
|-
|17
|[[メルセンヌ数|131071]]
|素数ではない
|231733529 × 64296354767 × ...
|-
|19
|[[メルセンヌ数|524287]]
|素数ではない
|62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × ...
|-
|23
|素数ではない
|素数ではない
|2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × ...
|-
|29
|素数ではない
|素数ではない
|1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × ...
|-
|31
|{{ill2|2147483647|en|2147483647}}
|素数ではない
|295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × ...
|-
|37
|素数ではない
|素数ではない
|-
|41
|素数ではない
|素数ではない
|-
|43
|素数ではない
|素数ではない
|-
|47
|素数ではない
|素数ではない
|-
|53
|素数ではない
|素数ではない
|-
|59
|素数ではない
|素数ではない
|-
|61
|[[メルセンヌ数|2305843009213693951]]
|不明
|（4×10<sup>33</sup>より小さい素因数はない）
|}
次の二重メルセンヌ素数の最小の候補は、<math>M_{M_{61}}</math>= 2<sup>2305843009213693951</sup> − 1である。この数はおよそ1.695{{E|694127911065419641}}であるため、現在知られている[[素数判定|素数判定法]]で扱うには大きすぎる。4×10<sup>33</sup>より小さい素因数はない<ref>Tony Forbes, [http://anthony.d.forbes.googlepages.com/mm61prog.htm A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008]. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019&nbsp;+&nbsp;1)×(2<sup>61</sup>&nbsp;−&nbsp;1), above 4×10<sup>33</sup>. Retrieved on 2008-10-22.</ref>。現在知られている4つ以外に二重メルセンヌ素数はおそらくないと考えられている<ref name="Caldwell"/><ref>[http://www.ams.org/journals/mcom/1955-09-051/S0025-5718-1955-0071444-6/S0025-5718-1955-0071444-6.pdf I. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p.&nbsp;120-121] [retrieved 2012-10-19]</ref>。

<math>M_{M_{p}}</math>（''p''は''n''番目の素数）の素因数は以下の通り

: 7, 127, 2147483647, [[170141183460469231731687303715884105727]], 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... （次は4×10<sup>33</sup>より大きい） {{OEIS|id=A263686}}

== カタラン・メルセンヌ数予想 ==
<math>M_p</math>の代わりに <math>M(p)</math>と書く。二重メルセンヌ数は、これを再帰的に定義した数列の特別な場合である。

: 2, ''M''(2), ''M''(''M''(2)), ''M''(''M''(''M''(2))), ''M''(''M''(''M''(''M''(2)))), ... {{OEIS|id=A007013}}

これを'''カタラン・メルセンヌ数'''という<ref>{{MathWorld|title=Double Mersenne number|name=DoubleMersennenumber}}</ref>。カタランは、1876年にされた[[エドゥアール・リュカ|リュカ]]による''M''(127)=''M''(''M''(''M''(''M''(2)))) の素数の発見ののちに、この数列を思いついた<ref name="Caldwell"/><ref>{{Cite journal|year=1876|title=Questions proposées|url=https://archive.org/stream/nouvellecorresp01mansgoog#page/n353/mode/2up|journal=Nouvelle correspondance mathématique|volume=2|pages=94–96}} (probably collected by the editor). Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92: </ref>。 カタランは、「ある限度まで」は素数であると推測した。最初の5項（''M''<sub>127</sub>未満）は素数であるが、それ以上の数は非常に大きいため、素数であることを（妥当な時間内に）証明する既知の方法はない。しかし、''M''<sub>''M''<sub>127</sub></sub> が素数でない場合、小さい素数''p''をいくつか[[合同算術|法にする]]ことで''M''<sub>''M''<sub>127</sub></sub> を計算して見つけることができる（再帰的[[冪剰余]]を用いる。結果の残差が0の場合、''p''は''M''<sub>''M''<sub>127</sub></sub> の因数であるため、その素数性を反証できる。''M''<sub>''M''<sub>127</sub></sub> は[[メルセンヌ数]]であるため、その素因数''p''は、2·''k''·''M''<sub>127</sub>+1の形でなければならない）。

== 関連項目 ==

* [[カニンガム鎖]]
* [[二重指数関数]]
* [[フェルマー数]]
* [[完全数]]
* {{仮リンク|Wieferich素数|en|Wieferich prime}}

== 脚注 ==
<references group="" responsive=""></references>

== 関連文献 ==

* {{Citation|title=[[:en:History of the Theory of Numbers|History of the Theory of Numbers]]|year=1971|last=Dickson|first1=L. E.|author-link=L. E. Dickson|origyear=1919|place=New York|publisher=Chelsea Publishing|isbn=}}.

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Double Mersenne Number|urlname=DoubleMersenneNumber}}
* Tony Forbes, [http://anthony.d.forbes.googlepages.com/mm61.htm A search for a factor of MM61].
* [https://web.archive.org/web/20141015012140/http://www.garlic.com/~wedgingt/MMPstats.txt Status of the factorization of double Mersenne numbers]
* [http://www.doublemersennes.org Double Mersennes Prime Search]
* [http://www.mersenneforum.org/forumdisplay.php?f=99 Operazione Doppi Mersennes]

{{素数の分類}}
{{Classes of natural numbers}}
[[Category:整数の類]]
[[Category:未査読の翻訳があるページ]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
{{デフォルトソート:にしゆうめるせんぬすう}}