二重メルセンヌ数

二重メルセンヌ数（にじゅうメルセンヌすう）は、数学において以下の形で表されるメルセンヌ数である。

$M_{M_p}=2^{2^p-1}-1$（pは素数）

例

二重メルセンヌ数の最初の4項は以下の通り テンプレート:OEIS:

$M_{M_2}=M_3=7$

$M_{M_3}=M_7=127$

$M_{M_5}=M_{31}=2147483647$

$M_{M_7}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727$

二重メルセンヌ素数

二重メルセンヌ数であり、かつ素数である数は二重メルセンヌ素数と呼ばれる。メルセンヌ数 M_p は p が素数である場合のみ素数となるため（証明はメルセンヌ数参照）、二重メルセンヌ素数 $M_{M_p}$は M_p それ自体がメルセンヌ素数となる場合のみ素数となる。M_p が素数となるpの最初の値において、p = 2, 3, 5, 7のとき$M_{M_p}$は素数となり、p = 13, 17, 19および31のときの $M_{M_p}$の陽因数が見つかっている。

$p$	$M_p=2^p-1$	$M_{M_p}=2^{2^p-1}-1$	$M_{M_p}$の素因数分解
2	3	素数	7
3	7	素数	127
5	31	素数	2147483647
7	127	素数	170141183460469231731687303715884105727
11	素数ではない	素数ではない	47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × ...
13	8191	素数ではない	338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × ...
17	131071	素数ではない	231733529 × 64296354767 × ...
19	524287	素数ではない	62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × ...
23	素数ではない	素数ではない	2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × ...
29	素数ではない	素数ではない	1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × ...
31	テンプレート:Ill2	素数ではない	295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × ...
37	素数ではない	素数ではない
41	素数ではない	素数ではない
43	素数ではない	素数ではない
47	素数ではない	素数ではない
53	素数ではない	素数ではない
59	素数ではない	素数ではない
61	2305843009213693951	不明	（4×1033より小さい素因数はない）

次の二重メルセンヌ素数の最小の候補は、$M_{M_{61}}$= 2^{2305843009213693951} − 1である。この数はおよそ1.695テンプレート:Eであるため、現在知られている素数判定法で扱うには大きすぎる。4×10³³より小さい素因数はない。現在知られている4つ以外に二重メルセンヌ素数はおそらくないと考えられている。

$M_{M_p}$（pはn番目の素数）の素因数は以下の通り

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... （次は4×10³³より大きい） テンプレート:OEIS

カタラン・メルセンヌ数予想

$M_p$の代わりに $M(p)$と書く。二重メルセンヌ数は、これを再帰的に定義した数列の特別な場合である。

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... テンプレート:OEIS

これをカタラン・メルセンヌ数という。カタランは、1876年にされたリュカによるM(127)=M(M(M(M(2)))) の素数の発見ののちに、この数列を思いついた。 カタランは、「ある限度まで」は素数であると推測した。最初の5項（M₁₂₇未満）は素数であるが、それ以上の数は非常に大きいため、素数であることを（妥当な時間内に）証明する既知の方法はない。しかし、M_M127 が素数でない場合、小さい素数pをいくつか法にすることでM_M127 を計算して見つけることができる（再帰的冪剰余を用いる。結果の残差が0の場合、pはM_M127 の因数であるため、その素数性を反証できる。M_M127 はメルセンヌ数であるため、その素因数pは、2·k·M₁₂₇+1の形でなければならない）。

関連項目

• カニンガム鎖
• 二重指数関数
• フェルマー数
• 完全数
• テンプレート:仮リンク

関連文献

• テンプレート:Citation.

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• Tony Forbes, A search for a factor of MM61.
• Status of the factorization of double Mersenne numbers
• Double Mersennes Prime Search
• Operazione Doppi Mersennes