五十六角形のソースを表示

{{複数の問題
|特筆性=2022年6月5日 (日) 12:43 (UTC)
|出典の明記=2022年6月5日 (日) 12:43 (UTC)
|独自研究=2022年6月5日 (日) 12:43 (UTC)
}}
[[ファイル:Regular polygon 56.svg|300px|サムネイル|右|正五十六角形]]
'''五十六角形'''（ごじゅうろくかくけい、ごじゅうろっかっけい、pentacontahexagon）は、[[多角形]]の一つで、56本の[[辺]]と56個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は9720°、[[対角線]]の本数は1484本である。

== 正五十六角形 ==
正五十六角形においては、中心角と外角は6.428571…°で、内角は173.571428…°となる。一辺の長さが a の正五十六角形の面積 S は
:<math>S = 14a^2 \cot \frac{\pi}{56}a^2</math>

;関係式
:<math>\begin{align}
& x_1 = 2\cos\frac{2\pi}{56}+2\cos\frac{50\pi}{56}+2\cos\frac{18\pi}{56} = \frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2} \\
& x_2 = 2\cos\frac{10\pi}{56}+2\cos\frac{26\pi}{56}+2\cos\frac{22\pi}{56} = \frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2} \\
& x_3 = 2\cos\frac{54\pi}{56}+2\cos\frac{6\pi}{56}+2\cos\frac{38\pi}{56} = \frac{-\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2} \\
& x_4 = 2\cos\frac{46\pi}{56}+2\cos\frac{30\pi}{56}+2\cos\frac{34\pi}{56} = \frac{-\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2} \\
\end{align}</math>

三次方程式の係数を求めると
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{56} \cdot 2\cos\frac{50\pi}{56} + 2\cos\frac{50\pi}{56} \cdot 2\cos\frac{18\pi}{56} + 2\cos\frac{18\pi}{56} \cdot 2\cos\frac{2\pi}{56} \\
& = 2\cos\frac{26\pi}{28} +2\cos\frac{22\pi}{28} +2\cos\frac{10\pi}{28} +2\cos\frac{6\pi}{7}+2\cos\frac{4\pi}{7}+2\cos\frac{2\pi}{7} = -\sqrt{7} -1 =\sqrt{2}x_4\\
& 2\cos\frac{2\pi}{56} \cdot 2\cos\frac{50\pi}{56} \cdot 2\cos\frac{18\pi}{56} = x_4 - \sqrt{2} = x_4 +x_1+x_4 =x_1+2x_4\\
\end{align}</math>

解と係数の関係より
:<math>
u^3-x_1u^2+\sqrt{2}x_4 u-(x_1+2x_4)=0
</math>

変数変換
:<math>
u=v+x_1/3
</math>

整理すると
:<math>
v^3-\frac{7+2\sqrt{7}}{3}v+\frac{(7+2\sqrt{7})(5\sqrt{2}+\sqrt{14})}{54}=0
</math>

三角関数、逆三角関数を用いた解は
:<math>
u_1=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{6}+\frac{2\sqrt{7+2\sqrt{7}}}{3}\cos\left( \frac{1}{3}\arccos \left( -\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{14}}{4\sqrt{7+2\sqrt{7}}} \right)\right)
</math>

平方根、立方根で表すと
:<math>
u_1=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{6}+\frac{\sqrt{7+2\sqrt{7}}}{3} \sqrt[3]{-\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{14}}{4\sqrt{7+2\sqrt{7}}}+i\frac{\sqrt{48+12\sqrt{7}}}{4\sqrt{7+2\sqrt{7}}}}+\frac{\sqrt{7+2\sqrt{7}}}{3} \sqrt[3]{-\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{14}}{4\sqrt{7+2\sqrt{7}}}-i\frac{\sqrt{48+12\sqrt{7}}}{4\sqrt{7+2\sqrt{7}}}}
</math>

<math>\cos (2\pi/56)</math>を平方根と立方根で表すと
:<math>
\cos\frac{2\pi}{56}=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{12}+\frac{\sqrt{7+2\sqrt{7}}}{6} \sqrt[3]{-\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{14}}{4\sqrt{7+2\sqrt{7}}}+i\frac{\sqrt{48+12\sqrt{7}}}{4\sqrt{7+2\sqrt{7}}}}+\frac{\sqrt{7+2\sqrt{7}}}{6} \sqrt[3]{-\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{14}}{4\sqrt{7+2\sqrt{7}}}-i\frac{\sqrt{48+12\sqrt{7}}}{4\sqrt{7+2\sqrt{7}}}}
</math>

:<math>
\cos\frac{2\pi}{56}=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{12}+\frac{1}{6} \sqrt[3]{-\frac{49\sqrt{2}+17\sqrt{14}}{4}+i\frac{\sqrt{6048+2268\sqrt{7}}}{4}}+\frac{1}{6} \sqrt[3]{-\frac{49\sqrt{2}+17\sqrt{14}}{4}-i\frac{\sqrt{6048+2268\sqrt{7}}}{4}}
</math>

:<math>
\cos\frac{2\pi}{56}=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{12}+\frac{1}{12} \sqrt[3]{-98\sqrt{2}-34\sqrt{14}+i\cdot 12\sqrt{168+63\sqrt{7}}}+\frac{1}{12} \sqrt[3]{-98\sqrt{2}-34\sqrt{14}-i\cdot 12\sqrt{168+63\sqrt{7}}}
</math>

=== 正五十六角形の作図 ===
正五十六角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正五十六角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[七角形]]
* [[十四角形]]
* [[二十八角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:こしゆうろくかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{Geometry-stub}}