五十六角形

五十六角形（ごじゅうろくかくけい、ごじゅうろっかっけい、pentacontahexagon）は、多角形の一つで、56本の辺と56個の頂点を持つ図形である。内角の和は9720°、対角線の本数は1484本である。

正五十六角形

正五十六角形においては、中心角と外角は6.428571…°で、内角は173.571428…°となる。一辺の長さが a の正五十六角形の面積 S は

S = 14 a^{2} \cot \frac{π}{56} a^{2}

関係式: $\begin{matrix} x_{1} = 2 \cos \frac{2 π}{56} + 2 \cos \frac{50 π}{56} + 2 \cos \frac{18 π}{56} = \frac{\sqrt{14} - \sqrt{2}}{2} \\ x_{2} = 2 \cos \frac{10 π}{56} + 2 \cos \frac{26 π}{56} + 2 \cos \frac{22 π}{56} = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{2}}{2} \\ x_{3} = 2 \cos \frac{54 π}{56} + 2 \cos \frac{6 π}{56} + 2 \cos \frac{38 π}{56} = \frac{- \sqrt{14} + \sqrt{2}}{2} \\ x_{4} = 2 \cos \frac{46 π}{56} + 2 \cos \frac{30 π}{56} + 2 \cos \frac{34 π}{56} = \frac{- \sqrt{14} - \sqrt{2}}{2} \end{matrix}$

三次方程式の係数を求めると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{56} \cdot 2 \cos \frac{50 π}{56} + 2 \cos \frac{50 π}{56} \cdot 2 \cos \frac{18 π}{56} + 2 \cos \frac{18 π}{56} \cdot 2 \cos \frac{2 π}{56} \\ = 2 \cos \frac{26 π}{28} + 2 \cos \frac{22 π}{28} + 2 \cos \frac{10 π}{28} + 2 \cos \frac{6 π}{7} + 2 \cos \frac{4 π}{7} + 2 \cos \frac{2 π}{7} = - \sqrt{7} - 1 = \sqrt{2} x_{4} \\ 2 \cos \frac{2 π}{56} \cdot 2 \cos \frac{50 π}{56} \cdot 2 \cos \frac{18 π}{56} = x_{4} - \sqrt{2} = x_{4} + x_{1} + x_{4} = x_{1} + 2 x_{4} \end{matrix}

解と係数の関係より

u^{3} - x_{1} u^{2} + \sqrt{2} x_{4} u - (x_{1} + 2 x_{4}) = 0

変数変換

u = v + x_{1} / 3

整理すると

v^{3} - \frac{7 + 2 \sqrt{7}}{3} v + \frac{(7 + 2 \sqrt{7}) (5 \sqrt{2} + \sqrt{14})}{54} = 0

三角関数、逆三角関数を用いた解は

u_{1} = \frac{\sqrt{14} - \sqrt{2}}{6} + \frac{2 \sqrt{7 + 2 \sqrt{7}}}{3} \cos (\frac{1}{3} \arccos (- \frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{14}}{4 \sqrt{7 + 2 \sqrt{7}}}))

平方根、立方根で表すと

u_{1} = \frac{\sqrt{14} - \sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{7 + 2 \sqrt{7}}}{3} \sqrt[3]{- \frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{14}}{4 \sqrt{7 + 2 \sqrt{7}}} + i \frac{\sqrt{48 + 12 \sqrt{7}}}{4 \sqrt{7 + 2 \sqrt{7}}}} + \frac{\sqrt{7 + 2 \sqrt{7}}}{3} \sqrt[3]{- \frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{14}}{4 \sqrt{7 + 2 \sqrt{7}}} - i \frac{\sqrt{48 + 12 \sqrt{7}}}{4 \sqrt{7 + 2 \sqrt{7}}}}

$\cos (2 π / 56)$ を平方根と立方根で表すと

\cos \frac{2 π}{56} = \frac{\sqrt{14} - \sqrt{2}}{12} + \frac{\sqrt{7 + 2 \sqrt{7}}}{6} \sqrt[3]{- \frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{14}}{4 \sqrt{7 + 2 \sqrt{7}}} + i \frac{\sqrt{48 + 12 \sqrt{7}}}{4 \sqrt{7 + 2 \sqrt{7}}}} + \frac{\sqrt{7 + 2 \sqrt{7}}}{6} \sqrt[3]{- \frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{14}}{4 \sqrt{7 + 2 \sqrt{7}}} - i \frac{\sqrt{48 + 12 \sqrt{7}}}{4 \sqrt{7 + 2 \sqrt{7}}}}

\cos \frac{2 π}{56} = \frac{\sqrt{14} - \sqrt{2}}{12} + \frac{1}{6} \sqrt[3]{- \frac{49 \sqrt{2} + 17 \sqrt{14}}{4} + i \frac{\sqrt{6048 + 2268 \sqrt{7}}}{4}} + \frac{1}{6} \sqrt[3]{- \frac{49 \sqrt{2} + 17 \sqrt{14}}{4} - i \frac{\sqrt{6048 + 2268 \sqrt{7}}}{4}}

\cos \frac{2 π}{56} = \frac{\sqrt{14} - \sqrt{2}}{12} + \frac{1}{12} \sqrt[3]{- 98 \sqrt{2} - 34 \sqrt{14} + i \cdot 12 \sqrt{168 + 63 \sqrt{7}}} + \frac{1}{12} \sqrt[3]{- 98 \sqrt{2} - 34 \sqrt{14} - i \cdot 12 \sqrt{168 + 63 \sqrt{7}}}

正五十六角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正五十六角形は折紙により作図可能である。