五十角形のソースを表示

[[ファイル:Regular polygon 50.svg|300px|サムネイル|右|正五十角形]]
'''五十角形'''（ごじゅうかくけい、ごじゅうかっけい、pentacontagon）は、[[多角形]]の一つで、50本の[[辺]]と50個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は8640°、[[対角線]]の本数は1175本である。

== 正五十角形 ==
正五十角形においては、中心角と外角は7.2°で、内角は172.8°となる。一辺の長さが a の正五十角形の面積 S は
:<math>S = \frac{50}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{50} \simeq 198.68181 a^2</math>

<math>\cos (2\pi/50)</math>を冪根で表すと
:<math>\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{50} =& \cos\frac{\pi}{25} \\
=& \frac{1}{2}\sqrt{2+2\cos\frac{2\pi}{25}}\\
=& \frac{1}{2}\sqrt{2+ \sqrt[5] {\frac { \sqrt {5}-1}{4}+\frac { \sqrt {10+2\sqrt{5}}}{4}i} + \sqrt[5] {\frac { \sqrt {5}-1}{4}-\frac { \sqrt {10+2\sqrt{5}}}{4}i} }
\end{align}</math>

別の表し方として
:<math>\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{50} =& \cos\frac{\pi}{25} = \frac {1}{2} \left( \sqrt[5] {\cos\frac{\pi}{5}+i\cdot\sin\frac{\pi}{5}} + \sqrt[5] {\cos\frac{\pi}{5}-i\cdot\sin\frac{\pi}{5}} \right) \\
=& \frac {1}{2} \left( \sqrt[5] {\cos\frac{2\pi}{10}+i\cdot\sin\frac{2\pi}{10}} + \sqrt[5] {\cos\frac{2\pi}{10}-i\cdot\sin\frac{2\pi}{10}} \right) \\
=& \frac {1}{2} \left( \sqrt[5] {\frac{\sqrt{5}+1}{4}+i\cdot\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}} + \sqrt[5] {\frac{\sqrt{5}+1}{4}-i\cdot\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}} \right) \\
\end{align}</math>

=== 正五十角形の作図 ===
正五十角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[二十五角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:こしゆうかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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