五十角形

五十角形（ごじゅうかくけい、ごじゅうかっけい、pentacontagon）は、多角形の一つで、50本の辺と50個の頂点を持つ図形である。内角の和は8640°、対角線の本数は1175本である。

正五十角形

正五十角形においては、中心角と外角は7.2°で、内角は172.8°となる。一辺の長さが a の正五十角形の面積 S は

S = \frac{50}{4} a^{2} \cot \frac{π}{50} ≃ 198.68181 a^{2}

$\cos (2 π / 50)$ を冪根で表すと

\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{50} = & \cos \frac{π}{25} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{2 + 2 \cos \frac{2 π}{25}} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt[5]{\frac{\sqrt{5} - 1}{4} + \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4} i} + \sqrt[5]{\frac{\sqrt{5} - 1}{4} - \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4} i}} \end{matrix}

別の表し方として

\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{50} = & \cos \frac{π}{25} = \frac{1}{2} (\sqrt[5]{\cos \frac{π}{5} + i \cdot \sin \frac{π}{5}} + \sqrt[5]{\cos \frac{π}{5} - i \cdot \sin \frac{π}{5}}) \\ = & \frac{1}{2} (\sqrt[5]{\cos \frac{2 π}{10} + i \cdot \sin \frac{2 π}{10}} + \sqrt[5]{\cos \frac{2 π}{10} - i \cdot \sin \frac{2 π}{10}}) \\ = & \frac{1}{2} (\sqrt[5]{\frac{\sqrt{5} + 1}{4} + i \cdot \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{4}} + \sqrt[5]{\frac{\sqrt{5} + 1}{4} - i \cdot \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{4}}) \end{matrix}

正五十角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。