五胞体数のソースを表示

[[Image:Pentatope of 70 spheres animation.gif|frame|right|n=5のときの五胞体数である70個の[[球]]。最初の5つの[[三角錐数]]に等しい個数の球を順番に「3次元的な段」として重ねたものである]]
'''五胞体数'''（ごほうたいすう、{{lang-en-short|pentatope number}}）は、点を右図のように[[五胞体]]の形に並べたとき、そこに含まれる点の総数にあたる[[自然数]]である。[[三角錐数]]を 1 から小さい順に加えた数と定義してもよい。例:15(=1 + 4 + 10)、70(=1 + 4 + 10 + 20 + 35)

''n'' 番目の五胞体数 P<sub>''n''</sub> は 1 から ''n'' 番目までの三角錐数 {{sfrac|''n''(''n'' + 1)(''n'' + 2)|6}} までの和に等しいので
:<math> \begin{align} P_n &= \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)(k+2)}{6}\\ &= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24} \end{align}</math>

また[[組み合わせ]]の記号を用いると <math>P_n = {}_{n+3}{\rm C}_{4}</math> となる。

五胞体数を小さい順に列記すると
:[[1]], [[5]], [[15]], [[35]], [[70]], [[126]], [[210]], [[330]], [[495]], [[715]], [[1001]], 1365, 1820, 2380, 3060, …（{{OEIS|A332}}）

3つの連続する五胞体数のうち2つは[[五角数]]である。なぜなら 3''n'' &minus; 2 番目の五胞体数は {{sfrac|(3''n''<sup>2</sup> &minus; ''n'')|2}} 番目の五角数であり、3''n'' &minus; 1 番目の五胞体数は {{sfrac|(3''n''<sup>2</sup> + ''n'')|2}} 番目の五角数だからである。

[[パスカルの三角形]]では左上（または右上）から5列目の数が五胞体数にあたる。

五胞体数の[[逆数]]の[[総和]]は
:<math>\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{24}} &= 24 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{6} \left(\frac{1}{k} - \frac{3}{k+1} +\frac{3}{k+2} - \frac{1}{k+3}\right)\\ &= 4 \left(\frac{1}{1} - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)\\ &= \frac{4}{3}\end{align}</math>
となる。

== 関連項目 ==
* [[図形数]]
* [[五胞体]]
* [[三角錐数]]
* [[五角数]]
* [[パスカルの三角形]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=PentatopeNumber|title=Pentatope Number}}

{{DEFAULTSORT:こほうたいすう}}
[[Category:図形数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]