五胞体数

n=5のときの五胞体数である70個の球。最初の5つの三角錐数に等しい個数の球を順番に「3次元的な段」として重ねたものである

五胞体数（ごほうたいすう、テンプレート:Lang-en-short）は、点を右図のように五胞体の形に並べたとき、そこに含まれる点の総数にあたる自然数である。三角錐数を 1 から小さい順に加えた数と定義してもよい。例:15(=1 + 4 + 10)、70(=1 + 4 + 10 + 20 + 35)

n 番目の五胞体数 P_n は 1 から n 番目までの三角錐数 テンプレート:Sfrac までの和に等しいので

$\begin{array}{cc}{P}_n& =\sum _{k=1}^n\frac{k(k+1)(k+2)}{6}\\ & =\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}\end{array}$

また組み合わせの記号を用いると $P_n={}_{n+3}{\mathrm{C}}_4$ となる。

五胞体数を小さい順に列記すると

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365, 1820, 2380, 3060, …（テンプレート:OEIS）

3つの連続する五胞体数のうち2つは五角数である。なぜなら 3n − 2 番目の五胞体数は テンプレート:Sfrac 番目の五角数であり、3n − 1 番目の五胞体数は テンプレート:Sfrac 番目の五角数だからである。

パスカルの三角形では左上（または右上）から5列目の数が五胞体数にあたる。

五胞体数の逆数の総和は

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{24}}& =24\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{6}(\frac{1}{k}-\frac{3}{k+1}+\frac{3}{k+2}-\frac{1}{k+3})\\ & =4(\frac{1}{1}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})\\ & =\frac{4}{3}\end{array}$

となる。

関連項目

• 図形数
• 五胞体
• 三角錐数
• 五角数
• パスカルの三角形

外部リンク

• テンプレート:MathWorld