代数のテンソル積のソースを表示

[[数学]]において、二つの [[環上の多元環|{{mvar|R}}-代数]]（多元環）の[[テンソル積]]には再び {{mvar|R}}-代数の構造を入れることができ、'''代数のテンソル積''' (tensor product of algebras) あるいはテンソル積多元環と呼ばれる対象が得られる。任意の環は {{mathbf|Z}}-代数と見ることができるから、{{math|''R'' {{coloneqq}} '''Z'''}} と取った特別の場合として'''環のテンソル積''' (tensor product of rings) が定まる{{sfnp|Lang|2002|pp=629&ndash;631}}。

== 定義 ==
{{mvar|R}} を[[可換環]]とし {{mvar|A}} と {{mvar|B}} を [[環上の多元環|{{mvar|R}}-代数]]とする。{{mvar|A}} と {{mvar|B}} はどちらも [[環上の加群|{{mvar|R}}-加群]]と見なせるから、それらの[[加群のテンソル積|テンソル積]]
:<math>A \otimes_R B</math>
を作れて、これは再び {{mvar|R}}-加群である。このテンソル積に次のように積を定義して代数の構造を与えることができる{{sfn|Kassel|1995|refname=Kassel1995S1KE_pToY98C_a|p= {{Google books quote|id=S1KE_pToY98C|page=32|text=we put an algebra structure on the tensor product|32}}}}{{sfn|Lang|2002|pp=629-630}}。すなわち、生成系となる {{math|''a'' &otimes; ''b'' (''a'' &isin; ''A'', ''b'' &isin; ''B'')}} の形の単純テンソルの間の積を
: <math>(a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2) = a_1a_2\otimes b_1b_2</math>
と定義し、これを線型性により {{math|''A'' ⊗{{sub|''R''}} ''B''}} の全体に拡張する。この積は {{mvar|R}}-双線型かつ結合的で、{{math|1{{sub|''A''}} ⊗ 1{{sub|''B''}}}} によって与えられる単位元を持つ{{sfn|Kassel|1995|refname=Kassel1995S1KE_pToY98C_b|p= {{Google books quote|id=S1KE_pToY98C|page=32|text=Its unit is|32}}}}ことが容易にわかる。ここで {{math|1{{sub|''A''}}}} と {{math|1{{sub|''B''}}}} はそれぞれ {{mvar|A}} と {{mvar|B}} の単位元である。{{mvar|A}} と {{mvar|B}} がともに可換であればそのテンソル積も可換である。

このテンソル積により[[多元環の圏|すべての {{mvar|R}}-代数の圏]] {{mvar|R}}-{{mathbf|Alg}} は{{仮リンク|対称モノイド圏|en|symmetric monoidal category}}になる。

== 基本的な例 ==
{{mvar|R}} を可換環、{{mvar|n, m}} を正の整数、{{mvar|G, H}} を群とする。
* [[多項式環]]のテンソル積：{{math|''R''[''x''] &otimes;{{sub|''R''}} ''R''[''y''] &cong; ''R''[''x'', ''y'']}}.
* {{mvar|n}} と {{mvar|m}} の[[最大公約数]]を {{mvar|d}} とするとき {{math|'''Z'''/(''n'') &otimes;{{sub|'''Z'''}} '''Z'''/(''m'') &cong; '''Z'''/(''d'')}}.
* [[全行列環]]のテンソル積：{{math|''M''{{sub|''n''}}(''R'') &otimes;{{sub|''R''}} ''M''{{sub|''m''}}(''R'') &cong; ''M''{{sub|''nm''}}(''R'')}}.
* [[群環]]のテンソル積：{{math|''R''[''G''] &otimes;{{sub|''R''}} ''R''[''H''] &cong; ''R''[''G'' &times; ''H'']}}.

== さらなる性質 ==
{{mvar|A}} や {{mvar|B}} から {{math|''A'' ⊗{{sub|''R''}} ''B''}} への次で与えられる自然な準同型が存在する{{sfn|Kassel|1995|refname=Kassel1995S1KE_pToY98C_c|p={{Google books quote|id=S1KE_pToY98C|page=32|text=get algebra morphisms|32}}}}：
: <math>A\hookrightarrow A\otimes B;\; a\mapsto a\otimes 1_B,</math>
: <math>B\hookrightarrow A\otimes B;\; b\mapsto 1_A\otimes b.</math>
これらの写像によりテンソル積は可換 {{mvar|R}}-代数の圏 {{mvar|R}}-{{mathbf|CAlg}} における[[余積]]となる。しかしテンソル積はすべての {{mvar|R}}-代数の圏 {{mvar|R}}-{{mathbf|Alg}} においては余積'''ではなく'''、この圏における余積はより一般的な代数の[[自由積]]によって与えられる。それにも関わらず非可換代数のテンソル積は余積に似た[[普遍性]]により記述できる：
; （代数の）テンソル積の普遍性: 任意の {{mvar|R}}-代数 {{mvar|X}} に対し、{{mvar|R}}-代数の準同型 {{math|''f'': ''A'' → ''X''}} および {{math|''g'': ''B'' → ''X''}} が元ごとに可換である限りにおいて、{{mvar|R}}-代数の準同型 {{math|''φ'': ''A'' &otimes; ''B'' → ''X''}} で {{math|''f''(''a'') {{=}} ''φ''(''a'' &otimes; 1)}} および {{math|''g''(''b'') {{=}} ''φ''(1 &otimes; ''b'')}} を任意の {{math|''a'' &isin; ''A'', ''b'' &isin; ''B''}} に対して満たすものがただ一つ存在する。
すなわち、式で書けば、[[自然同型|自然な同型]]
: <math>\begin{align} &\operatorname{Hom}_{R\textbf{-Alg}}(A\otimes B,X) \\ &\qquad \cong \lbrace (f,g)\in \operatorname{Hom}_{R\textbf{-Alg}}(A,X)\times \operatorname{Hom}_{R\textbf{-Alg}}(B,X) \mid [f(a),g(b)] = 0\ (\forall a\in A,\, \forall b\in B)\rbrace\end{align}</math>
が成立する（右辺の {{math|[ , ]}} は[[交換子]]）。

== 応用 ==
代数のテンソル積は[[代数幾何学]]において常時使用される。可換 {{mvar|R}}-代数の圏の[[逆圏]] {{math|''R''-'''CAlg'''{{sup|opp}}}}（アフィンスキームの圏 {{math|'''Sch'''(''R'')}} の部分圏と見なせる）において[[アフィンスキーム]]の[[引き戻し (圏論)|引き戻し]]（[[ファイバー積]]とも呼ばれる）を提供する。

== 注 ==
{{reflist|25em}}

== 参考文献 ==
* {{Citation| last1=Kassel| first1=Christian| date=1995| title=Quantum groups| volume = 155| series=Graduate texts in mathematics | publisher=Springer| isbn= 978-0-387-94370-1 |ref=harv}}.
* {{cite book |last=Lang |first=Serge |title=Algebra |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=21 |publisher=Springer |year=2002 |origyear=first published in 1993 |ISBN=0-387-95385-X |ref=harv}}

==関連項目==
*[[係数拡大]]
*[[加群のテンソル積]]
*[[体のテンソル積]]
*[[線型無関連]]

== 外部リンク ==
* {{nlab|urlname=tensor+product+of+algebras|title=tensor product of algebras}}
* {{PlanetMath|urlname=TensorProductOfAlgebras|title=tensor product of algebras}}
* <!--{{ProofWiki|urlname=Definition:Tensor_Product_of_Algebras|title=Definition:Tensor Product of Algebras}}-->{{ProofWiki|urlname=Definition:Tensor_Product|title=Definition:Tensor Product}}
* {{SpringerEOM|urlname=Tensor_product#Tensor_product_of_two_algebras|title=Tensor product|first=A.L. |last=Onishchik}}

{{DEFAULTSORT:たいすうのてんそるせき}}
[[Category:多元環]]
[[Category:環論]]
[[Category:可換環論]]
[[Category:多重線型代数]]
[[Category:数学に関する記事]]