代数幾何学用語一覧のソースを表示

'''代数幾何学用語一覧'''（だいすうきかがくようごいちらん、{{lang-en-short|glossary of algebraic geometry}}）では、代数幾何学で使われる用語を一覧にまとめる。

{{仮リンク|可換環論用語一覧|en|glossary of commutative algebra}}、{{仮リンク|古典的代数幾何学用語一覧|en|glossary of classical algebraic geometry}}、{{仮リンク|多元環論用語一覧|en|glossary of ring theory}}も参照。数論的な応用については{{仮リンク|数論幾何学とディオファントス幾何学の用語一覧|en|glossary of arithmetic and Diophantine geometry}}参照。

この記事では、簡単のために基底スキームについての明記をしばしば省略する。つまり、ある基底スキーム ''S'' 上のスキームのことを単にスキームと言ったり ''S'' 射のことを射と言ったりする。


{{horizontal TOC}}


== あ行 ==
; {{Visible anchor|アーベル}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#abelian|abelian]]）</span>
: 1. [[アーベル多様体]]は完備な群多様体のこと。複素多様体 <math>\mathbb{C}^n/\mathbb{Z}^{2n} </math>（代数多様体であるとき）や有限体 <math>\mathbb{F}_q</math> 上の楕円曲線 <math>E</math> など。
: 2. {{仮リンク|アーベル・スキーム|en|abelian scheme}}はアーベル多様体の平坦族のこと。

; {{Visible anchor|アフィン}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#affine|affine]]）</span>
: 1. [[アフィン空間]]とは、おおまかに言うと原点がどこか忘れたベクトル空間のこと。
: 2. [[アフィン多様体]]はアフィン空間の中の多様体。
: 3. [[アフィン・スキーム]]は[[環のスペクトル]]であるようなスキームのこと。
: 4. '''{{仮リンク|アフィン射|en|affine morphism}}'''は、任意の開アフィン部分集合の原像がアフィンになる射のこと。ケレン味のある言い方をすると、アフィン射とは、''O<sub>X</sub>'' 代数の層の[[環のスペクトル|大域的な '''Spec''']] を環のスペクトルと同様な方法でとることにより作られた射のこと。[[ベクトル束]]や[[有限射]]などが重要なアフィン射。
: 5. 射影空間の閉部分代数多様体 ''X'' 上の{{仮リンク|アフィン錐|en|affine cone}}は ''X'' の斉次座標環の Spec。

; {{Visible anchor|アラケロフ幾何}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#arakelov geometry|Arakelov geometry]]）</span>
: [[整数|有理整数環]] ℤ の Spec のコンパクト化上の代数幾何学。{{仮リンク|アラケロフ幾何|en|Arakelov geometry}}参照<ref>{{Cite arXiv|title = New Approach to Arakelov Geometry|eprint=0704.2030 |date = 2007-04-16|first = Nikolai|last = Durov}}</ref>。

; {{Visible anchor|アルティン}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#artinian|artinian]]）</span>
: 0次元かつネーターであること。スキームに対しても環に対しても使われる。

; {{Visible anchor|アルティン・スタック}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#artin stack|Artin stack]]）</span>
: [[代数的スタック]]の別名。

; {{Visible anchor|安定}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#stable|stable]]）</span>
: 1. [[安定曲線]]とは、おとなしい特異点を持つ曲線のこと。振る舞いのよい{{仮リンク|曲線のモジュライ空間|en|moduli space of curves}}を作るために使われる。
: 2. {{仮リンク|安定ベクトル束|en|stable vector bundle}}は、{{仮リンク|ベクトル束のモジュライ空間|en|moduli space of vector bundles}}を作るために使われる。

; {{Visible anchor|一元体上の代数幾何学}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#algebraic geometry over the field with one element|algebraic geometry over the field with one element]]）</span>
: 目標の１つは[[リーマン予想]]を証明すること<ref>{{Cite arxiv|title = An essay on the Riemann Hypothesis|arxiv = 1509.05576|date = 2015-09-18|first = Connes|last = Alain}}</ref>。「[[一元体]]」や参考文献<ref>
{{Cite arXiv|title = Mapping F_1-land:An overview of geometries over the field with one element|eprint=0909.0069 |date = 2009-08-31|first = Javier López|last = Peña|first2 = Oliver|last2 = Lorscheid}}
</ref><ref>
{{Cite arXiv|title = Remarks on zeta functions and K-theory over F1|eprint=math/0605429 |date = 2006-05-16|first = Anton|last = Deitmar}}
</ref><ref>
{{Cite arXiv|title = Homological Algebra for Commutative Monoids|eprint=1503.02309 |date = 2015-03-08|first = Jaret|last = Flores}}
</ref>を参照。

; {{Visible anchor|因子的}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#divisorial|divisorial]]）</span>
: 1. 正規多様体上の{{仮リンク|因子的層|en|divisorial sheaf}}とは、ある[[因子 (代数幾何学)|ヴェイユ因子]] ''D'' で ''O''<sub>''X''</sub>(''D'') とかける反射的層のこと。
: 2. {{仮リンク|因子的スキーム|en|divisorial scheme}}とは、可逆層の豊富族があるスキームのこと。豊富な可逆層があるスキームが基本的な例。

; {{Visible anchor|ヴェイユ因子}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#weil divisor|Weil divisor]]）</span>
: 余次元 1 のサイクルのこと。こちらのほうが標準的な呼び方。「[[因子 (代数幾何学)]]」参照。

; {{Visible anchor|ヴェイユ相互律}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#weil reciprocity|Weil reciprocity]]）</span>
: 「{{仮リンク|ヴェイユ相互律|en|Weil reciprocity}}」参照。

; {{Visible anchor|エタール}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#étale|étale]]）</span>
: 射 {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}}が[[エタール射|エタール]]とは、平坦かつ不分岐であること。同値な定義がいくつかある。<math> X </math> と <math> Y </math> が代数的閉[[可換体|体]]上の滑らかな多様体の場合には、エタール射であることと接ベクトル空間に同型写像 <math> df: T_{y} Y \rightarrow T_{f(y)} X</math> が誘導されることは同値であり、微分幾何学におけるエタール写像と同じ概念である。エタール射は重要な射の種類である。{{仮リンク|エタール位相|en|étale topology}}の定義に使われ、これから現在の代数幾何学の礎石の１つである[[エタール・コホモロジー]]が作られる。

; {{Visible anchor|円錐曲線}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#conic|conic]]）</span>
: 次数が 2 の[[代数曲線]]。

; {{Visible anchor|鉛筆}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#pencil|pencil]]）</span>
: 1 次元の線形系。

; {{Visible anchor|オイラー列}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#euler sequence|Euler sequence]]）</span>
: {{仮リンク|オイラー列|en|Euler sequence}}とは、層の完全系列
:: <math>0 \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1)^{\oplus (n+1)} \to T \mathbf{P}^n \to 0,</math>
: のこと。ここで、'''P'''<sup>''n''</sup> は体上の射影空間、最後のゼロではない項は{{仮リンク|接層|en|tangent sheaf}}。

== か行 ==
; {{Visible anchor|開}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#open|open]]）</span>
: 1. スキームの射 {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}}が'''開'''（'''閉'''）とは、基礎位相空間の写像が[[開写像|開]]（閉）であること。つまり、''Y'' の開部分スキームが ''X'' の開部分スキームに写されること（閉の場合も同様）。例えば、有限表示の平坦射は開で、固有写像は閉である。
: 2. スキーム ''X'' の'''開部分スキーム'''は、開部分集合 ''U'' に構造層 <math>\mathcal{O}_X|_U</math> をつけたもの<ref name="HartshorneII3">{{harvnb|Hartshorne|1977|loc=§II.3}}</ref>。

; {{Visible anchor|可逆層}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#invertible sheaf|invertible sheaf]]）</span>
: 階数が 1 の局所自由層。乗法群 <math>\mathbb{G}_m</math> の{{仮リンク|トルソ (代数幾何学)|label=トルソ|en|torsor (algebraic geometry)}}と言っても直線束と言っても同じこと。

; {{Visible anchor|カステルヌオヴォ・マンフォード正則数}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#castelnuovo–mumford regularity|Castelnuovo–Mumford regularity]]）</span>
:  スキーム ''S'' 上の射影空間 <math>f: \mathbf{P}^n_S \to S</math> 上の連接層 ''F'' の{{仮リンク|カステルヌオヴォ・マンフォード正則数|en|Castelnuovo–Mumford regularity}}は、全ての ''i'' > 0 に対して
:: <math>R^i f_*F(r-i) = 0</math>
: となる最小の整数 ''r'' のこと。

; {{Visible anchor|堅い}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#rigid|rigid]]）</span>
: {{仮リンク|無限小変形|en|infinitesimal deformation}}が自明なものしか存在しないこと。例えば、[[射影空間]]は <math>\operatorname{H}^1(\mathbf{P}^n, T_{\mathbf{P}^n}) = 0</math> なので堅い（{{仮リンク|小平スペンサー写像|en|Kodaira–Spencer map}}を使う）。

; {{Visible anchor|堅くする}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#rigidify|rigidify]]）</span>
: "自己同型を無くす"というような意味で使われる言葉。使用例："レベル構造をいれて堅くする。"

; {{Visible anchor|割線多様体}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#secant variety|secant variety]]）</span>
: {{仮リンク|割線多様体|en|secant variety}}とは、与えられた射影多様体 <math>V \subset \mathbb{P}^r</math> の全ての <math>\mathbb{P}^r</math> 内の割線の合併の閉包のこと。

; {{Visible anchor|ガブリエル・ローゼンバーグ再構成定理}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#gabriel–rosenberg reconstruction theorem|Gabriel–Rosenberg reconstruction theorem]]）</span>
: {{仮リンク|ガブリエル・ローゼンバーグ再構成定理|en|Gabriel–Rosenberg reconstruction theorem}}とは、スキーム ''X'' は ''X'' 上の[[準連接層]]の圏から復元できるという定理である<ref>
{{Cite arXiv|title = Tensor categorical foundations of algebraic geometry|eprint=1410.1716 |date = 2014-10-07|first = Martin|last = Brandenburg}}
</ref>。この定理は{{仮リンク|非可換代数幾何学|en|noncommutative algebraic geometry}}の出発点である。{{仮リンク|非可換スキーム|en|noncommutative scheme}}を定義するには、この定理を公理とし、その上の準連接層の圏を定義すればよいからだ。
: https://mathoverflow.net/q/16257 も参照。

; {{Visible anchor|カラビ・ヤウ}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#calabi–yau|Calabi–Yau]]）</span>
: [[カラビ・ヤウ多様体|カラビ・ヤウ計量]]とは、リッチ曲率がゼロであるケーラー計量のこと。

; {{Visible anchor|カルティエ}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#cartier|Cartier]]）</span>
: ''S'' 上のスキーム ''X'' の有効[[カルティエ因子]] ''D'' は、''X'' の閉部分スキームであって、''S'' 上平坦かつそのイデアル層が可逆（階数が1で局所自由）であるもの。

; {{Visible anchor|幾何学的商空間}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#geometric quotient|geometric quotient]]）</span>
: 群スキーム ''G'' の作用を持つスキーム ''X'' の{{仮リンク|幾何学的商空間|en|geometric quotient}}とは、ファイバーが軌道となるような良い商のこと。

; {{Visible anchor|幾何学的性質}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#geometric property|geometric property]]）</span>
: 体 ''k'' 上のスキーム ''X'' の性質が"{{仮リンク|幾何学的 (代数幾何学)|label=幾何学的|en|geometrically (algebraic geometry)}}"とは、任意の体の拡大 <math>E/k</math> についての <math>X_E = X \times_{\operatorname{Spec} k} {\operatorname{Spec} E}</math> で成り立つこと。

; {{Visible anchor|幾何学的点}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#geometric point|geometric point]]）</span>
: 代数的閉体のスペクトルのこと。

; {{Visible anchor|幾何種数}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#geometric genus|geometric genus]]）</span>
: 滑らかな ''n'' 次元射影多様体 ''X'' の{{仮リンク|幾何種数|en|geometric genus}}とは
::<math>\dim \Gamma(X, \Omega^n_X) = \dim \operatorname{H}^n(X, \mathcal{O}_X)</math>
: のこと。等号は[[セール双対性]]による。

; {{Visible anchor|軌道体}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#orbifold|orbifold]]）</span>
: 近年では、{{仮リンク|軌道体|en|orbifold}}は可微分多様体の圏上の{{仮リンク|ドリーニュ・マンフォード・スタック|en|Deligne–Mumford stack}}として定義されることが多い<ref>{{Cite arXiv|title = Global quotients among toric Deligne-Mumford stacks|eprint=1302.0385 |date = 2013-02-02|first = Megumi|last = Harada|first2 = Derek|last2 = Krepski}}</ref>。

; {{Visible anchor|帰納スキーム}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#ind-scheme|ind-scheme]]）</span>
: {{仮リンク|帰納スキーム|en|ind-scheme}}はスキームの閉埋入の帰納的極限。

; {{Visible anchor|既約}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#irreducible|irreducible]]）</span>
: スキーム ''X'' が''[[既約位相空間|既約]]''とは、位相空間として、片方が ''X'' そのものでない限り2つの閉部分集合の和集合としてかけないことをいう。アフィンスキームの素イデアルと点の対応を使うと、''X'' が既約であることと、''X'' が連結かつ環 A<sub>i</sub> は全て極小[[素イデアル|素因子]]をちょうど１つ持つことは[[同値]]であることが分かる。このことから、ちょうど１つの極小素因子を持つ環は{{仮リンク|既約環|label=既約|en|Irreducible ring}}と呼ばれる。任意のネータースキームは、一意的に有限個の空ではない極大既約閉部分集合（[[既約成分]]と呼ばれる）の和集合としてかける。[[アフィン空間]]と[[射影空間]]は既約だが、''Spec'' ''k''[''x,y'']/(''xy'') = [[Image:Reducible scheme.png|50px]] は既約ではない。

; {{Visible anchor|球面多様体}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#spherical variety|spherical variety]]）</span>
: {{仮リンク|球面多様体|en|spherical variety}}とは、正規 ''G'' 多様体（''G'' は連結な簡約群）であって ''G'' のボレル部分群による稠密な開軌道を持つもの。

; {{Visible anchor|強変換}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#strict transform|strict transform]]）</span>
: 閉部分スキーム ''Z'' に沿ってのブロー・アップ <math>\pi: \widetilde{X} \to X</math> と射 <math>f: Y \to X</math> が与えられたとする。''Y'' の{{仮リンク|強変換|en|strict transform}}（固有変換ともいう）とは、閉部分スキーム <math>f^{-1} Z</math> に沿っての ''Y'' のブロー・アップ <math>\widetilde{Y} \to Y</math> のこと。''f'' が閉埋入なら、誘導された写像 <math>\widetilde{Y} \hookrightarrow \widetilde{X}</math> も閉埋入である。

; {{Visible anchor|（局所）有限型|有限型|局所有限型}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#finite type (locally)|finite type (locally)]]）</span>
: 射 {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} が'''局所有限型'''とは、<math> X </math> にアフィン開集合 <math> \text{Spec }B </math> による被覆があり、 それぞれの逆像 <math>f^{-1}(\text{Spec }B)</math> がアフィン開集合 <math>\text{Spec }A</math> により被覆され、 全ての <math> A </math> が <math>B</math> 代数として有限生成であること。射 {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} が'''有限型'''とは、<math> X </math> にアフィン開集合 <math> \text{Spec }B </math> による被覆があり、全ての逆像 <math>f^{-1}(\text{Spec }B)</math> が有限個のアフィン開集合 <math>\text{Spec }A</math> により被覆され、それぞれの <math> A </math> が <math>B</math> 代数として有限生成であること。

; {{Visible anchor|局所一意化}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#local uniformization|local uniformization]]）</span>
: {{仮リンク|局所一意化|en|local uniformization}}は、[[付値環]]を使って弱い形での[[特異点解消]]を構成する方法。

; {{Visible anchor|局所的}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#local|local]]）</span>
: スキームの重要な性質の多くは''局所的な性格''を持っている。つまり、スキーム ''X'' がある性質 ''P'' を持つのは、''X'' の開部分スキーム ''X<sub>i</sub>'' による任意の被覆 ''X''= <math>\cup</math> ''X<sub>i</sub>'' において全ての ''X<sub>i</sub>'' が性質 ''P'' を持つとき、かつそのときに限る。普通は、１つの被覆についてチェックすれば十分で、全てについてチェックする必要はない。[[ザリスキー位相]]と{{仮リンク|エタール位相|en|étale topology}}のような他の位相を区別したいときは、''ザリスキー局所的''な性質ともいう。スキーム ''X'' とアフィン開部分スキーム ''Spec A<sub>i</sub>'' による被覆を考える。[[可換環|環]]と[[アフィン・スキーム]]の対応を使うと、局所的性質とは環 ''A<sub>i</sub>'' の性質である。性質 ''P'' が上述の意味で局所的であるのは、対応する環の性質が[[環の局所化|局所化]]に関して閉じているとき、かつそのときに限る。例えば、[[ネーター環]]のスペクトルで被覆されるものを''[[ネータースキーム|局所ネーター]]''スキームという。ネーター環の局所化は再びネーターであることから、局所ネーターというスキームの性質は上述の意味で局所的である（なのでこの名前がつけられている）。もう１つの例は、環が[[被約環|被約]]（ゼロでない[[冪零元]]を持たないこと）であることである。被約なら、その局所化もそうである。非局所的な性質の例は、''分離性''である（定義は後述 [[#分離的]]）。任意のアフィンスキームは分離的なので、任意のスキームは局所的には分離的である。しかし、アフィンスキームを病的な方法で貼り合わせると非分離的なスキームができあがる。次は、スキームに適用される環の局所的性質の（網羅的ではない）一覧である。''X'' =<math>\cup</math>'' Spec A<sub>i</sub>'' をスキームのアフィン開部分スキームによる被覆とする。簡単のために、以下では ''k'' を[[可換体|体]]とする。ほとんどの例は底が整数環 '''Z''' でも、あるいはより一般の底でも通用する。連結、既約、被約、整、正規、正則、コーエン・マコーレイ、局所ネーター、次元、鎖状。

; {{Visible anchor|局所完全交叉}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#local complete intersection|local complete intersection]]）</span>
: 局所環が[[完全交叉環]]であること。{{仮リンク|正則な埋込み|en|regular embedding}}も参照。

; {{Visible anchor|局所ネーター}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#locally noetherian|locally Noetherian]]）</span>
: ''A<sub>i</sub>'' が[[ネーター環]]。加えて、有限個のそのようなアフィンスペクトルで ''X'' を被覆することができるとき、スキームは''[[ネータースキーム|ネーター]]''であるという。ネーター環のスペクトルは[[ネーター的位相空間]]であるが、逆は正しくない。例えば、有限次元の代数幾何学におけるほとんどのスキームは局所ネーターであるが、<math>GL_\infty = \cup GL_n</math> はそうではない。

; {{Visible anchor|局所分解的}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#locally factorial|locally factorial]]）</span>
: 局所環が[[一意分解環]]であること。

; {{Visible anchor|局所有限型}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#locally of finite type|locally of finite type]]）</span>
: 射 {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} が'''局所有限型'''とは、<math> X </math> にアフィン開集合 <math> \text{Spec }B </math> による被覆があり、 逆像 <math>f^{-1}(\text{Spec }B)</math> はそれぞれアフィン開集合 <math>\text{Spec }A</math>によって被覆され、<math> A </math> は <math>B</math> 代数として有限生成であること。

; {{Visible anchor|曲線}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#curve|curve]]）</span>
: 1次元代数多様体。

; {{Visible anchor|曲面}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#surface|surface]]）</span>
: 2次元の代数多様体。

; {{Visible anchor|巨大}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#big|big]]）</span>
: ''n''  次元 ''X'' 上の{{仮リンク|巨大な直線束|en|big line bundle}} ''L'' とは、<math>\displaystyle \limsup_{l \to \infty} \operatorname{dim} \Gamma(X, L^l) / l^n > 0</math> が成り立つ直線束のこと。

; {{Visible anchor|クォートスキーム}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#quot scheme|Quot scheme]]）</span>
: {{仮リンク|クォートスキーム|en|Quot scheme}}は、射影スキーム上の局所自由層の商をパラメトライズする。

; {{Visible anchor|グラウエルト・リーメンシュナイダー消滅定理}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#grauert–riemenschneider vanishing theorem|Grauert–Riemenschneider vanishing theorem]]）</span>
: {{仮リンク|グラウエルト・リーメンシュナイダー消滅定理|en|Grauert–Riemenschneider vanishing theorem}}は[[小平消滅定理]]を高次順像層に拡張したもの。https://arxiv.org/abs/1404.1827 も参照。

; {{Visible anchor|倉西写像}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#kuranishi map|Kuranishi map]]）</span>
: {{仮リンク|倉西構造|en|Kuranishi structure}}参照。

; {{Visible anchor|クレパント}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#crepant|crepant]]）</span>
: 正規多様体の間の射 <math>f: X \to Y</math> が{{仮リンク|クレパント射|en|crepant morphism}}であるとは、<math>f^* \omega_Y = \omega_X</math> が成り立つこと。

; {{Visible anchor|グロタンディークの消滅定理}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#grothendieck's vanishing theorem|Grothendieck's vanishing theorem]]）</span>
: {{仮リンク|グロタンディークの消滅定理|en|Grothendieck's vanishing theorem}}は{{仮リンク|局所コホモロジー|en|local cohomology}}に関するもの。

; {{Visible anchor|群スキーム}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#group scheme|group scheme]]）</span>
: {{仮リンク|群スキーム|en|group scheme}}とは、スキームであってその点の集合が[[群_(数学)|群]]の構造を持つもの。

; {{Visible anchor|群多様体}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#group variety|group variety]]）</span>
: "滑らかな"代数群の古い呼び方。

; {{Visible anchor|形式}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#formal|formal]]）</span>{{要出典|date=2021年11月}}
: {{仮リンク|形式スキーム|en|formal scheme}}参照。

; {{Visible anchor|ケンプ消滅定理}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#kempf vanishing theorem|Kempf vanishing theorem]]）</span>
: {{仮リンク|ケンプ消滅定理|en|Kempf vanishing theorem}}は旗多様体の高次コホモロジーの消滅に関するもの。

; {{Visible anchor|コーエン・マコーレイ}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#cohen–macaulay|Cohen–Macaulay]]）</span>

: スキームがコーエン・マコーレイとは、全ての局所環が[[コーエン・マコーレー環]]であること。例：正則スキームと ''Spec k''[''x,y'']/(''xy'') はコーエン・マコーレイ。[[Image:Non cohen macaulay scheme thumb.png|50px]]はコーエン・マコーレイではない。

; {{Visible anchor|小平次元}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#kodaira dimension|Kodaira dimension]]）</span>
: 1. 半豊富な直線束 ''L'' の[[小平次元]]（[[飯高次元]]とも呼ばれる）とは、''L'' の切断環の Proj の次元のこと。
: 2. 正規多様体 ''X'' の小平次元とは、その標準層の小平次元のこと。

; {{Visible anchor|小平消滅定理}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#kodaira vanishing theorem|Kodaira vanishing theorem]]）</span>
: 「[[小平消滅定理]]」参照。

; {{Visible anchor|コックス環}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#cox ring|Cox ring]]）</span>
: 斉次座標環の一般化。「{{仮リンク|コックス環|en|Cox ring}}」参照。

; {{Visible anchor|固有}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#proper|proper]]）</span>
:射が'''[[固有射|固有]]'''とは、分離的かつ'''絶対閉'''（任意のファイバー積が閉写像であること）かつ有限型であること。射影的射は固有である。しかし逆は一般には正しくない。「{{仮リンク|完備多様体|en|complete variety}}」も参照。固有射の深い性質の1つは''{{仮リンク|シュタイン分解|en|Stein factorization}}''の存在である。つまり、ある中間的なスキームが存在して、このスキームへの連結ファイバーを持つ射と有限射に分解できる。

; {{Visible anchor|ゴレンシュタイン}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#gorenstein|Gorenstein]]）</span>
: 1. {{仮リンク|ゴレンシュタイン・スキーム|en|Gorenstein scheme}}とは、局所ネータースキームであってその局所環が[[ゴレンシュタイン環]]であるもの。
: 2. 正規多様体が ℚ-ゴレンシュタインとは、標準因子が ℚ-カルティエであること（コーエン・マコーレイである必要はない）。
: 3. 標準因子がカルティエのときに正規多様体をゴレンシュタインと呼ぶ人もいる。これは 1. とは不整合な使い方。

; {{Visible anchor|コンパクト化}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#compactification|compactification]]）</span>
: 例えば「{{仮リンク|永田のコンパクト化定理|en|Nagata's compactification theorem}}」参照。

== さ行 ==
; {{Visible anchor|鎖状}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#catenary|catenary]]）</span>
: スキームが[[鎖状環|鎖状]]とは、2つの既約な閉部分スキームの間の鎖が全て同じ長さであること。体上の多様体などほぼ全てがこれであり、鎖状でない例を作るのは困難。

; {{Visible anchor|ザリスキー・リーマン空間}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#zariski–riemann space|Zariski–Riemann space]]）</span>
: {{仮リンク|ザリスキー・リーマン空間|en|Zariski–Riemann space}}とは、局所環付き空間であって、その点が付値環であるもの。

; {{Visible anchor|算術種数}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#arithmetic genus|arithmetic genus]]）</span>
: ''r'' 次元射影多様体 ''X'' の{{仮リンク|算術種数|en|arithmetic genus}}とは、<math>(-1)^r (\chi(\mathcal{O}_X) - 1)</math> のこと。

; {{Visible anchor|次元}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#dimension|dimension]]）</span>
: {{仮リンク|代数多様体の次元|label=次元|en|dimension of an algebraic variety}}は、既約閉部分スキームの鎖の最大の長さと定義される、大域的な性質である。スキームが既約であれば局所的である。これは位相にのみ依存し、構造層には依存しない。「[[大局次元]]」も参照。例：{{仮リンク|同次元スキーム|en|equidimensional scheme}}は、次元 0 のものは[[アルティン環|アルティン]]スキーム、1 のものは[[代数曲線]]、2 のものは[[代数曲面]]。

; {{Visible anchor|次数}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#degree|degree]]）</span>
: 1. 完備多様体上の直線束 ''L'' の次数は、整数 ''d'' で <math>\chi(L^{\otimes m}) = {d \over n!} m^n + O(m^{n-1})</math> が成り立つもの。
: 2. 体 ''k'' 上の完備多様体 <math>f: X \to \operatorname{Spec} k</math> 上のサイクル ''x'' の次数は <math>f_*(x) \in A_0(\operatorname{Spec} k) = \mathbb{Z}</math>。
: 3. 有限射の次数については「[[代数多様体の射#有限射の次数]]」参照。

; {{Visible anchor|支配的}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#dominant|dominant]]）</span>
: 射 {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} が'''[[多様体の射|支配的]]'''とは、像 ''f''(''X'') が[[稠密集合|稠密]]であること。アフィンスキームの射 ''Spec A'' → ''Spec B'' が稠密であることと、対応する写像 ''B'' → ''A'' の核が ''B'' のベキ零根基に含まれることは同値。

; {{Visible anchor|射}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#morphism|morphism]]）</span>
: 1. [[多様体の射]]は局所的に多項式
: 2. [[概型#スキーム|スキームの射]]は[[局所環付き空間]]としての射
: 3. スタックの（''S'' スキームの圏上の）射 <math>f: F \to G</math> とは、<math>P_G \circ f = P_F</math> となる関手のこと。ここで <math>P_F, P_G</math> は基底の圏への構造写像。

; {{Visible anchor|ジャーブ}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#gerbe|gerbe]]）</span>
: {{仮リンク|ジャーブ|en|gerbe}}とは、おおまかに言うと[[スタック (層理論)|スタック]]であって局所的に空ではなく中の2つの対象が局所同型であるようなもの。

; {{Visible anchor|射影公式}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#projection formula|projection formula]]）</span>
: {{仮リンク|射影公式|en|projection formula}}とは、与えられた、スキームの射 <math>f:X \to Y</math>、<math> \mathcal{O}_X</math> 加群 <math>\mathcal{F}</math>、有限階数の[[局所自由層|局所自由]] <math>\mathcal{O}_Y</math> 加群 <math>\mathcal{E}</math> に対して、自然同型
::<math>f_* (F \otimes f^* E) = (f_* F) \otimes E</math>
:が成り立つという公式である。一言でいうと、<math>f_*</math> は局所自由層の作用に関して線形である。

; {{Visible anchor|射影束}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#projective bundle|projective bundle]]）</span>
: ''E'' をスキーム ''X'' 上の局所自由層とする。''E'' の{{仮リンク|射影束|en|projective bundle}} '''P'''(''E'') とは、''E'' の双対の対称代数の大域的 Proj
::<math>\mathbf{P}(E) = \mathbf{Proj}(\operatorname{Sym}_{\mathcal{O}_X}(E^{\vee}))</math>
:のこと。この定義が今では標準的なもの（例えば、フルトンの『Intersection theory』）であるが、EGA やハーツホーンにおけるものとは異なる。これらでは双対を取っていない。

; {{Visible anchor|射影的}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#projective|projective]]）</span>
: 1. [[射影多様体]]は、射影空間の閉部分代数多様体のこと。
: 2. スキーム ''S'' 上の[[射影スキーム]]とは、''S'' スキームであって構造射がある射影空間 <math>\mathbf{P}^N_S \to S</math> の閉部分スキームを介して分解できるもののこと。
: 3. 射影的射はアフィン射と同様に定義される。{{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} が'''[[射影多様体|射影的]]'''とは、[[射影空間]] <math> \mathbb{P}^{n}_X := \mathbb{P}^n \times_{\mathrm{Spec}\mathbb Z} X</math> への閉埋入とこの射影空間から <math> X </math> への射影に分解できることをいう<ref>{{harvnb|Hartshorne|1977|loc=II.4}}</ref>。この定義は [[代数幾何原論|EGA]] II.5.5.2. における定義より制約の強いものである。後者では、<math> f </math> が射影的であることを、準連接次数付き ''O<sub>X</sub>'' 代数 <math>\mathcal S</math>の{{仮リンク|大域的Proj|label=大域的 '''Proj'''|en|global Proj}} で、しかも <math>\mathcal S_1</math> が有限生成かつこれにより <math>\mathcal S</math> が生成されることと定義している。<math>X</math> がアフィン、あるいはより一般に準コンパクトかつ分離的かつ豊富層が存在するならば、2つの定義は一致する<ref>
[[Éléments de géométrie algébrique|EGA]], II.5.5.4(ii).
</ref>。例えば、<math>X</math> が環 <math>A</math> 上の射影空間 <math>\mathbb P^n_A</math> の開部分スキームの場合などである。

; {{Visible anchor|射影的に正規}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#projectively normal|projectively normal]]）</span>
: 「[[#正規]]」参照。

; {{Visible anchor|弱正規}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#weakly normal|weakly normal]]）</span>
: スキームが弱正規とは、自身への有限な双有理射が同型写像になること。

; {{Visible anchor|終}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#final|final]]）</span>
: グロタンディークの基本的なアイデアの１つは、'''関係性'''を重視すること、つまりスキームそれ自身ではなく射を考えることであった。スキームの圏は整数環 <math> \mathbb{Z} </math> のスペクトルを[[終対象]]として持つ。したがって、任意のスキーム <math> S </math> は一意的な方法で <math> \textrm{Spec} (\mathbb{Z}) </math> '''上'''にある。

; {{Visible anchor|シューベルト}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#schubert|Schubert]]）</span>
: 1. {{仮リンク|シューベルト・セル|en|Schubert cell}}とは、グラスマン多様体 <math>\operatorname{Gr}(d, n)</math> 上の、標準的な[[ボレル部分群]] ''B''（上三角行列のなす群）の軌道のこと。
: 2. {{仮リンク|シューベルト多様体|en|Schubert variety}}とは、シューベルト・セルの閉包のこと。

; {{Visible anchor|種数}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#genus|genus]]）</span>
: 「[[#算術種数]]」と「[[#幾何種数]]」参照。

; {{Visible anchor|種数公式}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#genus formula|genus formula]]）</span>
: 射影平面の中の結節曲線についての{{仮リンク|種数公式|en|genus formula}}とは、曲線の種数は
:: <math>g = (d-1)(d-2)/2 - \delta</math>
: で計算できるという公式。ここで、''d'' は曲線の次数、δ は結節点の数（曲線が滑らかなら0）である。

; {{Visible anchor|準コンパクト}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#quasi-compact|quasi-compact]]）</span>
: 射 {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} が''[[準コンパクト射|準コンパクト]]''とは、ある（全て、と言っても同じこと） ''X'' のアフィン開被覆 ''U<sub>i</sub>'' = ''Spec B<sub>i</sub>'' が存在して、原像 ''f''<sup>−1</sup>(''U<sub>i</sub>'') が[[準コンパクト]]になること。

; {{Visible anchor|純次元}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#pure dimension|pure dimension]]）</span>
: スキームが純次元 ''d'' を持つとは、各既約成分の次元が ''d'' であること。

; {{Visible anchor|準射影}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#quasi-projective|quasi-projective]]）</span>
: {{仮リンク|準射影多様体|en|quasi-projective variety}}とは、局所的に閉な射影空間の部分代数多様体のこと。

; {{Visible anchor|準分離的}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#quasi-separated|quasi-separated]]）</span>
: 射 {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} が'''{{仮リンク|準分離的|en|quasi-separated}}'''（ '''''Y'' は  ''X''''' 上準分離的ともいう）とは、対角射 {{nowrap|''Y'' → ''Y'' ×<sub>''X''</sub>''Y''}} が準コンパクトであること。スキーム ''Y'' が'''準分離的'''とは、''Y'' が Spec('''Z''') 上準分離的であること<ref>{{harvnb|Grothendieck|Dieudonné|1964|loc=1.2.1}}</ref>。

; {{Visible anchor|準有限}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#quasi-finite|quasi-finite]]）</span>
: 射 {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} が'''有限ファイバー'''とは、全ての点 <math> x \in X </math> のファイバーが有限集合であること。射が'''[[準有限射|準有限]]'''とは、有限型かつ有限ファイバーであること。

; {{Visible anchor|準連接}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#quasi-coherent|quasi-coherent]]）</span>
: ネータースキーム ''X'' 上の準連接層とは、[[加群の層|''O''<sub>''X''</sub> 加群の層]]で局所的に加群で与えられるもののこと。

; {{Visible anchor|商スタック}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#quotient stack|quotient stack]]）</span>
: {{仮リンク|商スタック|en|quotient stack}}は、スキームや多様体の商を一般化したもの。通常 [''X''/''G''] と表記される。

; {{Visible anchor|随伴公式}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#adjunction formula|adjunction formula]]）</span>
: 1. ''X'' を代数多様体、''D'' をその上の有効なカルティエ因子とし、ともに{{仮リンク|双対化層|en|dualizing sheaf}} <math>\omega_D, \omega_X</math> があったとする。このとき、
::: <math>\omega_D = (\omega_X \otimes \mathcal{O}_X(D))|_D</math>
:: が成り立つ。これを[[随伴公式_(代数幾何学)|随伴公式]]という。
: 2. ''X'' と ''D'' が滑らかであれば、この公式は次と同値:
::: <math>K_D = (K_X + D)|_D</math>
:: ここで <math>K_D, K_X</math> は ''D'' と ''X'' の[[標準因子]]。

{{quote box
|align = right
|width=33%
|quote=グロタンディークから見れば、スキームには前史などなく、ただスキームに対する抵抗の歴史だけがあった。...グロタンディークがスキームの定義をどのように見つけたかについて、歴史上の疑問は何もない。それは空気の中にあったのだ。セールは「誰もスキームを発明していません」と言った（1995年の会話）。疑問なのは、グロタンディークがなぜこの定義を使って、セールの80ページの論文を約1000ページの[[代数幾何原論]]に"単純化"する必要があると信ずるに至ったのか、だ。
|source=[http://www.landsburg.com/grothendieck/mclarty1.pdf]
}}
; {{Visible anchor|スキーム}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#scheme|scheme]]）</span>
: [[概型|スキーム]]とは、局所的には[[可換環]]の[[環のスペクトル|スペクトル]]である[[局所環付き空間]]のこと。

;{{Visible anchor|スタック|スタック|園}}<span style="font-weight: normal">（[[:en:Glossary of algebraic geometry#stack|stack]]）</span>
: [[スタック (層理論)|スタック]]は自己同型を持つ点の集合をパラメトライズする。

; {{Visible anchor|整}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#integral|integral]]）</span>
: 被約かつ既約なスキームは''整''と呼ばれる。局所ネータースキームに対しては、整であることと[[整域]]のスペクトルで被覆できる連結スキームであることは同値である。（厳密に言えば、2つの整スキームの[[非交和]]は整ではないので、これは局所的性質ではない。しかし、既約なスキームについては、これは局所的性質である。）例：スキーム ''Spec k''[''t'']/''f'' は ''f'' が[[既約多項式]]なら整。''Spec A''×''B'' は（''A'', ''B'' ≠ 0 なら）整ではない。

; {{Visible anchor|正規}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#normal|normal]]）</span>
: 1. 局所環が[[整閉整域]]である整スキームのことを''{{仮リンク|正規スキーム|label=正規|en|normal scheme}}''という。例えば、全ての正則スキームは正規だが、特異点のある曲線は正規ではない。
: 2. 滑らかな曲線 <math>C \subset \mathbf{P}^r</math> が ''k'' 正規とは、次数 ''k'' の超曲面が完備線形系 <math>|\mathcal{O}_C(k)|</math> を切断すること。全ての ''k'' > 0 に対して ''k'' 正規であるとき、[[射影的に正規]]という。"曲線は、埋め込みに対応する線形系が完備であるとき射影的に正規"といってもいい。"線形正規"は 1 正規と同義。
: 3. 閉部分代数多様体 <math>X \subset \mathbf{P}^r</math> が射影的に正規とは、''X'' 上の[[#アフィン|アフィン被覆]]が{{仮リンク|正規スキーム|en|normal scheme}}であること。つまり、''X'' の斉次座標環が整閉整域であること。これは 2. における定義と整合的である。

; {{Visible anchor|正規交差}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#normal crossings|normal crossings]]）</span>
: 「{{仮リンク|正規交差|en|normal crossings}}」参照。

; {{Visible anchor|正規生成}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#normally generated|normally generated]]）</span>
: 代数多様体 ''X'' 上の直線束 ''L'' が[[斉次座標環|正規生成]]とは、全ての整数 ''n'' > 0 に対し自然な写像 <math>\Gamma(X, L)^{\otimes n} \to \Gamma(X, L^{\otimes n})</math> が全射であること。

; {{Visible anchor|性質P}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#property p|property P]]）</span>
: '''P''' をスキームの性質で、基底変換してもこの性質が失われないようなものとする。例えば、"有限型"、"固有"、"滑らか"、"エタール"などである。このとき、表現可能な射 <math>f: F \to G</math> が性質 '''P''' を持つとは、任意の <math>B \to G</math> （''B'' はスキーム）に対して、基底変換 <math>F \times_G B \to B</math> が性質 '''P''' を持つことをいう。

; {{Visible anchor|生成点}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#generic point|generic point]]）</span>
: 稠密な点。

; {{Visible anchor|正則}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#regular|regular]]）</span>
: {{仮リンク|正則スキーム|en|regular scheme}}とは、局所環が[[正則局所環]]であるスキームのこと。例：体上の{{仮リンク|滑らかなスキーム|label=滑らかな代数多様体|en|smooth scheme}}は正則。一方、''Spec k''[''x,y'']/(''x''<sup>2</sup>+''x''<sup>3</sup>-''y''<sup>2</sup>)==[[Image:Non regular scheme thumb.png|50px]] は正則ではない。

; {{Visible anchor|正則関数}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#regular function|regular function]]）</span>
: 代数多様体から[[アフィン直線]]への[[代数多様体の射|射]]。

; {{Visible anchor|正則埋入}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#regular embedding|regular embedding]]）</span>
: {{仮リンク|閉埋入|en|closed immersion}} <math>i: X \hookrightarrow Y</math> が{{仮リンク|正則埋入|en|regular embedding}}であるとは、''X'' の任意の点に対して ''Y'' のあるアフィン近傍が存在し、そこにおける ''X'' のイデアルが[[正則列]]で生成されること。''i'' が正則埋入なら、''i'' の{{仮リンク|余法層|en|conormal sheaf}}、つまり ''X'' のイデアル層を <math>\mathcal{I}</math> と置くと <math>\mathcal{I}/\mathcal{I}^2</math> で定義される層は局所自由である。

; {{Visible anchor|セール双対性}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#serre duality|Serre duality]]）</span>
: 「[[#双対化層]]」参照。

; {{Visible anchor|セールの条件 ''S''<sub>''n''</sub>}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry|Serre's conditions ''S''<sub>''n''</sub>]]）</span>
: {{仮リンク|セールの正規性条件|en|Serre's conditions on normality}}参照。https://mathoverflow.net/q/22228 も参照。

; {{Visible anchor|絶対（強、普遍的）|絶対|強|普遍的}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#universally|universally]]）</span>
: 射がある性質を絶対的に（もしくは強く、普遍的に）持つとは、その射の全ての基底変換が同じ性質を持つことを言う。例：[[鎖状環|強鎖状]]、絶対閉射（普遍的閉と訳されることもある）。

; {{Visible anchor|切断環}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#section ring|section ring]]）</span>
: スキーム ''X'' 上の直線束 ''L'' の{{仮リンク|切断環|en|section ring}}（切断の環ともいう）とは、次数付き環 <math>\oplus_0^\infty \Gamma(X, L^n)</math> のこと。

; {{Visible anchor|接ベクトル空間}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#tangent space|tangent space]]）</span>
: 「[[ザリスキー接空間]]」参照。

; {{Visible anchor|線形化}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#linearization|linearization]]）</span>
: {{仮リンク|同変層|en|equivariant sheaf}}/ベクトル束の構造についての他の言い方。

; {{Visible anchor|像}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#image|image]]）</span>
: {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} をスキームの射としたとき、''f'' の'''スキーム論的像'''とは、次の[[普遍性]]を満たす一意に定まる''閉''部分スキーム {{nowrap|''i'' : ''Z'' → ''X''}} のことをいう。
:# ''f'' は ''i'' を経由する
:# {{nowrap|''j'' : ''Z''′ → ''X''}} を ''X'' の任意の閉部分スキームで ''f'' が ''j'' を経由するものとしたとき、''i'' もまた ''j'' を経由する<ref>{{harvnb|Hartshorne|1977|loc=Exercise II.3.11(d)}}</ref><ref>[http://www.math.columbia.edu/algebraic_geometry/stacks-git/morphisms.pdf The Stacks Project], Chapter 21, §4.</ref>
: この概念は ''f'' の通常の集合論的像 ''f''(''Y'') とは異なる。例えば、''Z'' の基礎位相空間は常に ''X'' における ''f''(''Y'') のザリスキー閉包を含む（が必ずしも一致しない）。それゆえ、''Y'' が ''X'' の任意の開（そして閉ではない）部分スキームで ''f'' が包含写像なら、''Z'' は ''f''(''Y'') とは異なる。''Y'' が被約なら、''Z'' は被約閉部分スキームの構造をいれた ''f''(''Y'') のザリスキー閉包になる。しかし一般的には、''f'' が準コンパクトでない限り ''Z'' の構成は ''X'' 上局所的ではない。

; {{Visible anchor|双対化層}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#dualizing sheaf|dualizing sheaf]]）</span>
: 純次元 ''n'' の射影的な[[コーエン・マコーレー環|コーエン・マコーレイ・スキーム]]上の{{仮リンク|双対化層|en|dualizing sheaf}}とは、''X'' 上の連接層<math>\omega</math> であって ''X'' 上の任意の局所自由層 ''F'' に対して
::<math>H^{n-i}(X, F^{\vee} \otimes \omega) \simeq H^i(X, F)^*</math>
: を満たすもの。''X'' が滑らかな射影多様体の場合には、[[標準層]]がこれにあたる。

; {{Visible anchor|双対化複体}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#dualizing complex|dualizing complex]]）</span>
: 「{{仮リンク|連接双対性|en|Coherent duality}}」参照。

; {{Visible anchor|双有理射}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#birational morphism|birational morphism]]）</span>
: [[双有理幾何学|双有理射]]とは、スキームの射で、ある稠密な開部分集合に制限すると同型写像となるもの。ブローアップが典型例。

== た行 ==
; {{Visible anchor|大域切断によって生成される層}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#sheaf generated by global sections|sheaf generated by global sections]]）</span>
: 大域切断の集合で全ての点における層の茎が張られる層のこと。「[[加群の層]]」参照。

; {{Visible anchor|退化}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#degeneration|degeneration]]）</span>
: 1. スキーム ''X'' がスキーム <math>X_0</math>（''X'' の極限という）に{{仮リンク|退化 (代数幾何学)|label=退化|en|degeneration (algebraic geometry)}}するとは、{{仮リンク|生成ファイバー|en|generic fiber}}（一般ファイバーとも）が ''X'' かつ{{仮リンク|特殊ファイバー|en|special fiber}}が <math>X_0</math> であるようなスキーム <math>\pi: Y \to \mathbf{A}^1</math> が存在することをいう。
: 2. {{仮リンク|平坦退化|en|flat degeneration}}は、<math>\pi</math> が平坦であるような退化のこと。

; {{Visible anchor|退化軌跡}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#degeneracy locus|degeneracy locus]]）</span>
: 代数多様体 ''X'' 上のベクトル束の写像 <math>f: E \to F</math> （束の全空間の間の ''X'' 射のこと）が与えられたとき、{{仮リンク|退化軌跡|en|degeneracy locus}}とは次の（スキーム論的な）軌跡のことをいう。
::<math>X_k(f) = \{ x \in X | \operatorname{rk}(f(x)) \le k \}</math>

; {{Visible anchor|対称多様体}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#symmetric variety|symmetric variety]]）</span>
: {{仮リンク|対称空間|en|symmetric space}}の類似物。「{{仮リンク|対称多様体|en|symmetric variety}}」参照。

; {{Visible anchor|対数幾何学}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#logarithmic geometry|logarithmic geometry]]）</span>
; {{Visible anchor|対数構造}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#log structure|log structure]]）</span>
: {{仮リンク|対数構造|en|log structure}}参照。フォンテーヌ、イリュジー、加藤によるもの。

{{quote box
|align = right
|width=33%
|quote=19世紀、代数幾何学は数学の中心であった。アーベル、リーマン、ワイエルシュトラスの輝かしい成果、クラインとポアンカレの重要な論文の多くは代数幾何学に関するものであった。しかし、19世紀から20世紀に時代が移る中、急に代数幾何学は疑いの目で見られるようになった。 ...当時発展していた代数幾何学の思考方法は、数学の不可逆的な変化となった集合論的、公理論的精神からあまりにもかけ離れていた。 ...20世紀の半ば頃、代数幾何学は再構築プロセスを大部分完了させ、再びかつての地位を取り戻すことができた。
|source=From the preface to I.R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry.}}
; {{Visible anchor|代数幾何学}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#algebraic geometry|algebraic geometry]]）</span>
: [[代数幾何学]]は代数方程式の解を研究する数学の分野。

; {{Visible anchor|代数幾何原論（EGA）|代数幾何原論|EGA}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#''éléments de géométrie algébrique''|''Éléments de géométrie algébrique'']]）</span>
: [[代数幾何原論|代数幾何原論（EGA）]]は、代数多様体の一般化である[[スキーム]]の概念を用いて代数幾何学の基礎を構築しようとした、未完に終わった試みである。''[[Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie|Séminaire de géométrie algébrique]]'' では EGA で扱われなかったものが取り上げられている。代数幾何学の標準的な参考文献の１つ。

; {{Visible anchor|代数空間}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#algebraic space|algebraic space]]）</span>
: {{仮リンク|代数空間|en|algebraic space}}は、スキームの{{仮リンク|エタール同値関係|en|étale equivalence relation}}による商のこと。

; {{Visible anchor|代数群}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#algebraic group|algebraic group]]）</span>
: [[代数群]]は、[[群_(数学)|群]]でもある代数多様体で、群演算が多様体の射となっているもののこと。

; {{Visible anchor|代数多様体}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#algebraic variety|algebraic variety]]）</span>
: 体 ''k'' 上の[[代数多様体]]とは、<math>\operatorname{Spec}(k)</math> 上有限型かつ整かつ分離的なスキーム。''k'' が代数的閉体と仮定しない場合には少し病的なことが起こる。例えば、<math>\operatorname{Spec} \mathbb{C} \times_{\mathbb{R}} \operatorname{Spec} \mathbb{C}</math> は、座標環 <math>\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}</math> が[[整域]]ではないので多様体ではなくなる。

; {{Visible anchor|代数多様体のグロタンディーク環}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#grothendieck ring of varieties|Grothendieck ring of varieties]]）</span>
: {{仮リンク|代数多様体のグロタンディーク環|en|Grothendieck ring of varieties}}とは、代数多様体の同型類で生成される自由アーベル群を関係式
::<math>[X] = [Z] + [X - Z]</math>
: で割ったもの。ここで ''Z'' は代数多様体 ''X'' の閉部分代数多様体である。乗法は
::<math>[X] \cdot [Y] = [X \times Y].</math>
: と定義する。

; {{Visible anchor|代数的集合}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#algebraic set|algebraic set]]）</span>
: 体 ''k'' 上の[[代数的集合]]は、<math>\operatorname{Spec}(k)</math> 上有限型な被約かつ分離的なスキームのこと。既約な代数的集合は代数多様体と呼ばれる。

; {{Visible anchor|代数的スキーム}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#algebraic scheme|algebraic scheme]]）</span>
: 体上有限型で分離的なスキームのこと。代数多様体は被約かつ既約な代数的スキーム。

; {{Visible anchor|代数的ベクトル束}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#algebraic vector bundle|algebraic vector bundle]]）</span>
: 有限階数の[[局所自由層]]。

; {{Visible anchor|楕円曲線}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#elliptic curve|elliptic curve]]）</span>
: [[楕円曲線]]とは、種数 1 の滑らかな[[射影曲線]]のこと。

; {{Visible anchor|多重種数}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#plurigenus|plurigenus]]）</span>
: 滑らかな射影多様体の第 ''n'' [[標準環|多重種数]]とは、<math>\dim \Gamma(X, \omega_X^{\otimes n})</math> のこと。[[ホッジ数]]も参照。

; {{Visible anchor|多様体}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#variety|variety]]）</span>
: 代数多様体と同じ意味。

; {{Visible anchor|単純}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#simple|simple]]）</span>
: 「単純点」は「滑らかな点」の古い言い方。

; {{Visible anchor|チャウ群}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#chow group|Chow group]]）</span>
: 滑らかな多様体 ''X'' の ''k'' 次[[周群|チャウ群]] <math>A_k(X)</math> は、''k'' 次元閉部分代数多様体で生成された自由アーベル群（''k'' [[代数的サイクル|サイクル]]の群）を{{仮リンク|有理同値|en|rational equivalence}}で割ったもの。

; {{Visible anchor|中心ファイバー}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#central fiber|central fiber]]）</span>
: 1. 特殊ファイバーのこと。

; {{Visible anchor|超楕円}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#hyperelliptic|hyperelliptic]]）</span>
: 曲線が[[超楕円曲線]]とは、''g''<sup>1</sup><sub>2</sub> であること（つまり、次元 1 かつ次数 2 の線形系が存在すること）

; {{Visible anchor|超平面束}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#hyperplane bundle|hyperplane bundle]]）</span>
: {{仮リンク|セールのねじり層|en|Serre's twisting sheaf}} <math>\mathcal{O}_X(1)</math> の別名。これは{{仮リンク|トートロジー的直線束|en|tautological line bundle}}の双対でもあるので、こう呼ばれる。

; {{Visible anchor|定理}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#theorem|theorem]]）</span>
: 「{{仮リンク|ザリスキーの主定理|en|Zariski's main theorem}}」、「{{仮リンク|形式関数定理|en|theorem on formal functions}}」、「{{仮リンク|コホモロジー基底変換定理|en|cohomology base change theorem}}」、「[[:Category:代数幾何学の定理]]」などを参照。

; {{Visible anchor|点}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#point|point]]）</span>
:スキーム <math> S </math> は[[局所環付き空間]]なので、基礎となる[[位相空間]]を持っている。しかし <math>S</math> の点には次の三種類の意味がある。
:# 基礎位相空間の点 <math>P</math>。
:# <math>S</math> の <math>T</math> 値点。<math>T</math> は任意のスキーム。<math>T</math> から <math>S</math> への射のこと。
:# 幾何学的点。<math> S </math> が[[可換体|体]] <math> K </math> の <math> \textrm{Spec}(K) </math> 上定義され（かつこれへの射を備えており）ているとき、<math>K</math> の[[代数的閉包]] <math> \overline{K} </math> のスペクトラム <math> \textrm{Spec} (\overline{K}) </math> から <math> S </math> への射へのことをいう。
: 幾何学的点が古典的な意味での点に最も近いもので、例えば[[複素多様体]]であるような[[代数多様体]]の場合、これが通常の意味での点に対応する。基礎空間の点 <math> P </math> は（[[ザリスキー]]や[[アンドレ・ヴェイユ]]の意味での）{{仮リンク|生成点|en|generic point}}の類似物も含んでいる。これは通常の意味での点に特殊化できる。<math> T </math> 値点は、[[米田の補題]]により <math> S </math> を{{仮リンク|表現可能関手|en|representable functor}} <math> h_{S} </math> だと思う方法である。古くから、[[射影幾何学]]では元の対象を改善し幾何学を単純化するために点を付け加えるということを行ってきた。例えば、複素数の点を付け加え、[[無限遠直線]]を付け加えてきた。<math>T</math> 値点はこれをさらに大きく進めたものである。広く普及している{{仮リンク|グロタンディークの関係性重視の観点|label=グロタンディークのアプローチ|en|Grothendieck's relative point of view}}の一部として、射の'''ファイバー'''にも対応する3つの概念がある。1つ目は素朴な点の{{仮リンク|逆像|en|inverse image}}に対応する。残りの2つは、2つの射の[[ファイバー積]]により対応するものが得られる。例えば、射 <math> S^{\prime} \to S </math>の'''幾何学的ファイバー'''は
::<math> S^{\prime} \times_{S} \textrm{Spec}(\overline{K}) </math>
:である。スキームのファイバー積は[[代数のテンソル積]]（[[アフィンスキーム]]の場合のファイバー積はテンソル積により得られる）の一般化であり、（一度理解してしまえば）とても便利に使える演算である。

; {{Visible anchor|同変交叉理論}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#equivariant intersection theory|equivariant intersection theory]]）</span>
: http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf の chapter II 参照。

; {{Visible anchor|導来代数幾何学}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#derived algebraic geometry|derived algebraic geometry]]）</span>
: [[可換環]]の代わりに（[[:en:commutative ring spectrum|commutative]]）[[:en:ring spectrum|ring spectra]]を使う代数幾何学。[[導来代数幾何学]]参照。

; {{Visible anchor|トートロジー的直線束}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#tautological line bundle|tautological line bundle]]）</span>
: 射影スキーム ''X'' の{{仮リンク|トートロジー的直線束|en|tautological line bundle}}とは、{{仮リンク|セールのねじり層|en|Serre's twisting sheaf}} <math>\mathcal{O}_X(1)</math> の双対のこと。つまり <math>\mathcal{O}_X(-1)</math>。

; {{Visible anchor|トーラス}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#torus|torus]]）</span>
: {{仮リンク|代数的輪環群|label=分裂トーラス|en|algebraic torus}}とは、有限個の[[乗法群]] <math>\mathbb{G}_m</math> の積のこと。

; {{Visible anchor|トーラス埋込み}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#torus embedding|torus embedding]]）</span>
: [[トーリック多様体]]の古い言い方。

; {{Visible anchor|トーリック多様体}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#toric variety|toric variety]]）</span>
: [[トーリック多様体]]とは、トーラスの作用を持つ正規多様体であって、トーラスを稠密な開集合軌道として持つもの。

; {{Visible anchor|特異点解消}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#resolution of singularities|resolution of singularities]]）</span>
: スキーム ''X'' の[[特異点解消]]とは、固有な[[双有理幾何学|双有理射]] <math>\pi: Z \to X</math> であって ''Z'' が{{仮リンク|滑らかなスキーム|label=滑らかな|en|smooth scheme}}であるもの。

; {{Visible anchor|特殊}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#special|special]]）</span>
: 滑らかな曲線 ''C'' 上の因子 ''D'' が{{仮リンク|特殊因子|label=特殊|en|special divsor}}とは、特殊指数と呼ばれる数値 <math>h^0(\mathcal{O}(K - D))</math> が正であること。

; {{Visible anchor|トロピカル幾何学}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#tropical geometry|tropical geometry]]）</span>
: 区分的に線形な代数幾何学の一種。「[[トロピカル幾何学]]」参照。

== な行 ==
; {{Visible anchor|滑らかな}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#smooth|smooth]]）</span>
: 1.
{{main|滑らかな射}}
: エタール射の高次元類似物が滑らかな射。滑らかな射には多くの同値な定義がある。次は射 {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} が滑らかであることの同値な定義。
::1) 任意の ''y'' &isin; ''Y'' に対し ''y'' のアフィン開近傍 ''V'' と ''x''=''f''(''y'') のアフィン開近傍 ''U'' が存在し、''f'' を ''V'' に制限したものは ''U'' 上の[[アフィン空間|アフィン ''n'' 空間]] へのエタール射と射影の合成でかける。
::2) ''f'' は平坦かつ局所的に有限表示かつ ''Y'' の全ての幾何学的点 <math>\bar{y}</math>（代数的閉体のスペクトル <math>k(\bar{y})</math> から ''Y'' への射）に対し幾何学的ファイバー <math>X_{\bar{y}}:=X\times_Y \mathrm{Spec} (k(\bar{y}))</math> は <math>k(\bar{y})</math> 上の（古典的な代数幾何学での意味で）滑らかな ''n'' 次元多様体。
: 2. 完全体 ''k'' 上の{{仮リンク|滑らかなスキーム|en|smooth scheme}}とは、''k'' 上局所有限型の{{仮リンク|正則スキーム|en|regular scheme}} ''X'' のこと。
: 3. 体 ''k'' 上の滑らかなスキームとは、幾何的に滑らか、つまり <math>X \times_k \overline{k}</math> が滑らかなスキーム ''X'' のこと。

; {{Visible anchor|ネフ}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#nef|nef]]）</span>
: {{仮リンク|ネフ直線束|en|nef line bundle}}参照。

== は行 ==
; {{Visible anchor|旗多様体}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#flag variety|flag variety]]）</span>
: [[旗多様体]]はベクトル空間の{{仮リンク|旗 (線型代数学)|label=旗|en|Flag (linear algebra)}}をパラメトライズするもの。

; {{Visible anchor|反射的層}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#reflexive sheaf|reflexive sheaf]]）</span>
: 連接層が{{仮リンク|反射的層|label=反射的|en|reflexive sheaf}}とは、2回双対をとった層への標準写像が同型写像になること。

; {{Visible anchor|ピカール群}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#picard group|Picard group]]）</span>
: ''X'' の[[ピカール群]]とは、''X'' 上の直線束の同型類全体に[[テンソル積]]で乗法を定義した群のこと。

; {{Visible anchor|非常に豊富}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#very ample|very ample]]）</span>
: 多様体 ''X'' 上の直線束 ''L'' が[[豊富な直線束|非常に豊富]]とは、ある ''X'' の射影空間への埋め込みが存在して、''L'' は射影空間上のセールのねじり層 ''O''(1) の制限になっていること。

; {{Visible anchor|非特異}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#nonsingular|nonsingular]]）</span>
: "滑らか"の古風な言い方。{{仮リンク|滑らかなスキーム|en|smooth variety}}におけるのと同様。

; {{Visible anchor|被約|被約スキーム}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#reduced|reduced]]）</span>
: 1. 可換環 <math>R</math> が[[被約環|被約]]とは、非零なベキ零元を持たない、つまりベキ零根基が零イデアルである <math>\sqrt{(0)} = (0)</math> こと。<math>R</math> が被約とは <math>\operatorname{Spec}(R)</math> が被約スキームであること、と言い換えることもできる。
: 2. スキーム X が被約とは、その茎 <math>\mathcal{O}_{X,x}</math> が被約環であること。X が被約とは、各開部分集合 <math>U \subset X</math> に対して <math>\mathcal{O}_X(U)</math> が被約環であること、つまり <math>X</math> は非零なベキ零切断を持たないこととも言い換えられる。

; {{Visible anchor|表現可能な射}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#representable morphism|representable morphism]]）</span>
: スタックの射 <math>F \to G</math> で、スキーム ''B'' からの任意の射 <math>B \to G</math> に対して基底変換 <math>F \times_G B</math> が代数空間であるもの。"代数空間"を"スキーム"で置き換えた主張が成り立つとき、強表現可能という。

; {{Visible anchor|標準}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#canonical|canonical]]）</span>
: 1. ''n'' 次元正規多様体 ''X'' 上の[[標準層]]とは、<math>\omega_X = i_* \Omega_U^n</math> のこと。ここで、''i'' は{{仮リンク|滑らかな部分|en|smooth locus}} ''U'' の包含写像で、<math>\Omega_U^n</math> は ''U'' 上の ''n'' 次の微分形式の層。基礎体の標数が 0 なら、正規性を仮定する代わりに ''i'' を特異点解消で置き換えてもよい。<!-- why not normalization? -->
: 2. 正規多様体 ''X'' 上の{{仮リンク|標準因子類|en|canonical class}} <math>K_X</math> は、<math>\mathcal{O}_X(K_X) = \omega_X</math> となるような因子類のこと。
: 3. [[標準因子]]は、標準因子類 <math>K_X</math> の代表元。これも同じ記号で表される。[[well-defined]] ではない。
: 4. 正規多様体 ''X'' の[[標準環]]は、[[標準層]]の切断から得られる環。

; {{Visible anchor|標準モデル}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#canonical model|canonical model]]）</span>
: {{仮リンク|標準モデル|en|canonical model (algebraic geometry)}}は標準環（有限生成と仮定）の {{仮リンク|Proj構成|label=Proj|en|Proj construction}}。

; {{Visible anchor|ヒルベルト多項式}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#hilbert polynomial|Hilbert polynomial]]）</span>
: 体上の射影スキーム ''X'' の[[ヒルベルト多項式]]とは、オイラー標数 <math>\chi(\mathcal{O}_X(s))</math> のこと。

; {{Visible anchor|ファイバー}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#fiber|fiber]]）</span>
: スキームの射 <math>f: X \to Y</math> が与えられたとき、''y'' 上の ''f'' のファイバーとは、集合としての原像 <math>f^{-1}(y) = \{x \in X|f(x)=y\}</math> のこと。ファイバー積 <math>X \times_Y \{y\}</math> として ''y'' の[[剰余体]]上のスキームとして自然な構造を持つ。ここで、''y'' の剰余体の Spec である <math>\{y\}</math> は、自然に ''Y'' 上のスキームとしての構造を持っている。

; {{Visible anchor|ファイバー積}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#fiber product|fiber product]]）</span>
: 1. 圏論における「[[引き戻し_(圏論)|引き戻し]]」の別名。
: 2. 与えられた <math>f: F \to G, g:H \to G</math> に対するスタック <math>F \times_G H</math>。これの ''B'' 上の対象は3つ組 (''x'',''y'', ψ) で、''x'' は ''F''(''B'') に含まれるもの、''y'' は ''H''(''B'') に含まれるもの、ψ は ''G''(''B'') における同型写像 <math>f(x) \overset{\sim}\to g(y)</math> である。(''x'',''y'',ψ) から (''x' '',''y' '',ψ') への射は射の組 <math>\alpha: x \to x', \beta: y \to y'</math> であって <math>\psi' \circ f(\alpha) = g(\beta) \circ \psi</math> を満たすものである。自然な射影による四角形の図式は可換<u>ではない</u>が、自然な同型による違いを除いて可換、つまり{{仮リンク|2可換|en|2-commute}}である。

; {{Visible anchor|ファノ}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#fano|Fano]]）</span>
: [[ファノ多様体]]とは、滑らかな[[射影多様体]] ''X'' であって反標準層 <math>\omega_X^{-1}</math> が豊富であるもの。

; {{Visible anchor|不分岐}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#unramified|unramified]]）</span>
: <math> y </math> を <math> Y </math> の点とし、局所環の射
::<math>f^\# \colon \mathcal{O}_{X, f(y)} \to \mathcal{O}_{Y, y}</math>
: を考える。<math> \mathfrak{m} </math> を <math> \mathcal{O}_{X,f(y)} </math> の極大イデアルとし、
::<math>\mathfrak{n} = f^\#(\mathfrak{m}) \mathcal{O}_{Y,y}</math>
: を <math> \mathfrak{m} </math> の <math>\mathcal{O}_{Y,y} </math> における像で生成されたイデアルとする。射 <math> f </math> が'''{{仮リンク|不分岐射|label=不分岐|en|unramified morphism}}'''（resp. '''G 不分岐'''）とは、局所有限型（resp. 局所有限表示）かつ <math> Y </math> の全ての点 <math> y </math> に対して <math> \mathfrak{n} </math> が <math> \mathcal{O}_{Y,y} </math> の極大イデアルで、誘導される写像
::<math>\mathcal{O}_{X,f(y)}/\mathfrak{m} \to \mathcal{O}_{Y,y}/\mathfrak{n} </math>
:が[[有限次拡大|有限次]][[分離拡大]]であることを言う<ref>
The notion G-unramified is what is called "unramified" in EGA, but we follow Raynaud's definition of "unramified", so that [[Closed immersion|closed immersions]] are unramified.  See [http://stacks.math.columbia.edu/tag/02G4 Tag 02G4 in the Stacks Project] for more details.
</ref>。これは[[代数的整数論]]における[[分岐_(数学)|不分岐拡大]]の幾何学版であり、一般化にもなっている。

; {{Visible anchor|部分スキーム}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#subscheme|subscheme]]）</span>
: 特に条件をつけず ''X'' の'''部分スキーム'''と言ったときは、''X'' の開部分スキームの閉部分スキームのこと。

; {{Visible anchor|普遍}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#universal|universal]]）</span>
: 1. [[モジュライ空間|モジュライ関手]] ''F'' があるスキームもしくは代数空間 ''M'' で表現可能であったとき、{{仮リンク|普遍対象|en|universal object}}とは ''F''(''M'') の要素で恒等射 ''M'' → ''M''（これは ''M'' の ''M'' 値点である）に対応するもののこと。''F'' の値が（付加的な構造とセットの）曲線の同型類なら、普遍対象は{{仮リンク|曲線のモジュライ|label=普遍曲線|en|Moduli of curves}}（万有曲線という訳語もある）ともいう。{{仮リンク|トートロジー束|en|tautological bundle}}も普遍対象の例の1つと言える。
: 2. <math>\mathcal{M}_{g}</math> を種数 ''g'' の滑らかな射影曲線のモジュライ空間、<math>\mathcal{C}_g = \mathcal{M}_{g, 1}</math> を種数 ''g'' の1標点付きの滑らかな射影曲線のモジュライ空間とする。忘却写像
::<math>\pi: \mathcal{C}_{g} \to \mathcal{M}_{g}</math>
: を普遍曲線と呼んでいる文献も多い。

; {{Visible anchor|プリュッカー埋め込み}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#plücker embedding|Plücker embedding]]）</span>
: {{仮リンク|プリュッカー埋め込み|en|Plücker embedding}}とは、{{仮リンク|グラスマン多様体|en|Grassmannian variety}}の射影空間への{{仮リンク|閉埋入|en|closed embedding}}のこと。

; {{Visible anchor|ブロー・アップ}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#blow-up|blow-up]]）</span>
: [[ブローアップ (数学)|ブロー・アップ]]は、閉部分スキームを有効なカルティエ因子に置き換える双有理変換。正確には、ネータースキーム ''X'' の閉部分スキーム <math>Z \subset X</math> に対し、''Z'' に沿っての ''X'' のブロー・アップとは、固有射 <math>\pi: \widetilde{X} \to X</math> で (1) <math>\pi^{-1}(Z) \hookrightarrow \widetilde{X}</math> が有効なカルティエ因子（例外因子と呼ばれる）で、(2) <math>\pi</math> は(1)に関して普遍となるもの。具体的には、''Z'' に対応するイデアル層についての <math>O_X</math> のリース代数の相対的な Proj をとることにより作られる。

; {{Visible anchor|分離的}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#separated|separated]]）</span>
: {{仮リンク|分離射|en|separated morphism}}とは、射 <math> f </math> であって <math> f </math> と <math> f </math> の[[ファイバー積]]の[[対角線]]が閉部分スキームとなるもの。{{仮リンク|対角射 (代数幾何学)|label=対角射|en|diagonal morphism (algebraic geometry)}}が''{{仮リンク|閉埋入|en|closed immersion}}''である、とも言い換えられる。

; {{Visible anchor|分類スタック}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#classifying stack|classifying stack]]）</span>
: {{仮リンク|トルソ (代数幾何学)|en|torsor (algebraic geometry)}}についての[[分類空間]]の代数幾何における類似物。{{仮リンク|分類スタック|en|classifying stack}}参照。

; {{Visible anchor|閉}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#closed|closed]]）</span>
: スキーム ''X'' の'''閉部分スキーム'''とは次のように作られるもの。''J'' を <math>\mathcal{O}_X</math> {{仮リンク|イデアル層|label=イデアル|en|sheaf of ideals}}である[[準連接層]]とする。{{仮リンク|商層|en|quotient sheaf}} <math>\mathcal{O}_X/J</math> の{{仮リンク|層の台|label=台|en|support of a sheaf}}は ''X'' の閉部分集合 ''Z'' であり、<math>(Z,(\mathcal{O}_X/J)|_Z)</math> はスキームになる。これを'''[[準連接層|準連接]]{{仮リンク|イデアル層|en|sheaf of ideals}} ''J'' により定義される閉部分スキーム'''という<ref>
{{harvnb|Grothendieck|Dieudonné|1960|loc=4.1.2 and 4.1.3}}
</ref>。開部分集合と違って閉部分スキームの定義がこのような構成による理由は、スキームの閉部分集合の部分スキームとしての構造は複数あるからである。

; {{Visible anchor|平坦}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#flat|flat]]）</span>
: 射 <math> f </math> が[[平坦射|平坦]]とは、茎に誘導される環準同型が[[平坦加群|平坦]]であること。射 {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} を <math> X </math> の点でパラメータづけられたスキームの族と考えたとき、平坦性の幾何的な意味は、ファイバー <math>f^{-1}(x)</math> があまり乱暴には変化しないということ。

; {{Visible anchor|ベーレント関数}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#behrend function|Behrend function]]）</span>
: （良い）スタック ''X'' の{{仮リンク|ベーレント関数|en|Behrend function}}に関する{{仮リンク|重み付きオイラー標数|en|weighted Euler characteristic}}は、''X'' の{{仮リンク|仮想基本類|en|virtual fundamental class}}の次数。

; {{Visible anchor|ベーレントの跡公式}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#behrend's trace formula|Behrend's trace formula]]）</span>
: {{仮リンク|ベーレントの跡公式|en|Behrend's trace formula}} は{{仮リンク|グロタンディークの跡公式|en|Behrend's trace formula}}を一般化したもの。ともに ''l'' 進コホモロジーの{{仮リンク|数論的フロベニウスと幾何学的フロベニウス|label=フロベニウス|en|Arithmetic and geometric Frobenius}}の跡を計算する公式。

; {{Visible anchor|偏極}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#polarization|polarization]]）</span>
: 射影空間への埋め込み。

; {{Visible anchor|変形}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#deformation|deformation]]）</span>
: <math>S \to S'</math> をスキームの射、''X'' を ''S'' スキームとする。''S''<nowiki>'</nowiki> スキーム ''X''<nowiki>'</nowiki> が ''X'' の変形であるとは、''X''<nowiki>'</nowiki> の引き戻しが ''X'' であることをいう。''X''<nowiki>'</nowiki> が[[平坦射|平坦]]であることを仮定することが多い。

; {{Visible anchor|ポアンカレ留数写像}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#poincaré residue map|Poincaré residue map]]）</span>
: {{仮リンク|ポアンカレ留数|en|Poincaré residue}}参照。

; {{Visible anchor|法}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#normal|normal]]）</span>
: 1. ''X'' をスキーム ''Y'' の閉部分スキーム、''I'' を対応するイデアル層とする。''X'' の{{仮リンク|法層|en|normal sheaf}}とは、<math>(I/I^2)^* = \mathcal{H}om_{\mathcal{O}_Y}(I/I^2, \mathcal{O}_Y)</math> のこと。''X'' の ''Y'' への埋め込みが{{仮リンク|正則埋入|label=正則|en|regular embedding}}なら、これは局所自由であり、{{仮リンク|法束|en|normal bundle}}と呼ばれる。
: 2. ''X'' への{{仮リンク|法束#代数幾何学|label=法錐|en|Normal bundle#Algebraic geometry}}とは、<math>\operatorname{Spec}_X(\oplus_0^{\infty} I^n/I^{n+1})</math> のこと。''X'' が ''Y'' に正則に埋め込まれてるなら、法錐は ''X'' への法束の全空間 <math>\operatorname{Spec}_X(\mathcal{S}ym(I/I^2))</math> と同型。

; {{Visible anchor|豊富}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#ample|ample]]）</span>
: 射影多様体上の直線束が[[豊富な直線束|豊富]]とは、何度かテンソル巾をとると非常に豊富になること。

; {{Visible anchor|ホッジ束}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#hodge bundle|Hodge bundle]]）</span>
: （種数を固定した）{{仮リンク|曲線のモジュライ空間|en|moduli space of curves}}上の{{仮リンク|ホッジ束|en|Hodge bundle}}とは、簡単にいうと、ベクトル束であって曲線 ''C'' 上のファイバーがベクトル空間 <math>\Gamma(C, \omega_C)</math> であるもの。

; {{Visible anchor|本質的に有限型}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#essentially of finite type|essentially of finite type]]）</span>
: 有限型スキームの局所化。

== ま行 ==
; {{Visible anchor|埋入}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#immersion|immersion]]）</span>
: '''埋入''' {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} は部分スキームの同型写像を経由する写像のこと。'''開埋入'''は開部分スキームとの同型写像を経由するもの、'''{{仮リンク|閉埋入|en|closed immersion}}'''は閉部分スキームとの同型写像を経由するもの<ref>{{harvnb|Grothendieck|Dieudonné|1960|loc=4.2.1}}</ref>。''f'' が閉埋入であることと、これが ''Y'' の基礎位相空間から ''X'' の基礎位相空間の閉部分集合への同相写像を誘導し射 <math>f^\sharp: \mathcal{O}_X \to f_* \mathcal{O}_Y</math> が全射になることは同値である<ref name="HartshorneII3"/>。埋入の合成はまた埋入になる<ref>{{harvnb|Grothendieck|Dieudonné|1960|loc=4.2.5}}</ref>。書籍『Algebraic Geometry』（ハーツホーン著）や 『Algebraic Geometry and Arithmetic Curves』（Q. Liu著）では、開埋入に閉埋入を合成したものとして埋入を定義している。この意味での埋入は上述の意味での埋入になるが、逆は正しくない。更に、この定義のもとでは、2つの埋入の合成は必ずしも埋入とはならない。しかし、''f'' が準コンパクトであれば、この2つの定義は同値である<ref>Q. Liu, ''Algebraic Geometry and Arithmetic Curves'', exercise 2.3</ref>。なお、開埋入は位相空間の意味での像で完全に決まるが、閉埋入はそうではない。<math>\operatorname{Spec} A/I</math> と <math>\operatorname{Spec} A/J</math> は同相だが同型ではないことがある。例えば、''I'' が ''J'' の根基で、''J'' が根基イデアルではない場合など。スキームとしての構造に言及することなくスキームの閉部分集合に言及した場合には、いわゆる''被約''スキームの構造をいれて考えていることが多い。つまり、その閉部分集合で消える全ての関数からなる一意的な根基イデアルに対応するスキーム構造で考えている。

{{quote box
|align = right
|width=33%
|quote=モジュライに関する過去の研究の大部分、特に[Mum65]以降のものは、精密モジュライや粗モジュライ空間の構築に力点を置いていた。しかし最近では、代数多様体の族の研究、つまりモジュライ関手とモジュライスタックの研究に力点が移ってきている。主なタスクは、どのような対象が「良い」族を形成するかを理解することだ。「良い族」の概念が確立されると、粗モジュライ空間の存在はほぼ自動的に従う。粗モジュライ空間はもはや基本的な対象ではなく、モジュライ関手やモジュライスタックに潜んでいるある種の情報を保持しておくだけの便利な方法にすぎない。
|source=Kollár, János, [https://web.math.princeton.edu/~kollar/book/chap1.pdf Chapter 1], "Book on Moduli of Surfaces".}}
; {{Visible anchor|モジュライ}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#moduli|moduli]]）</span>
: 例えば[[モジュライ空間]]参照。

; {{Visible anchor|森の極小モデルプログラム}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#mori's minimal model program|Mori's minimal model program]]）</span>
: [[極小モデル|森の極小モデルプログラム]]は、3次元以上の代数多様体の[[双有理幾何学|双有理分類]]を目指す{{仮リンク|研究計画|en|research program}}。

== や行 ==
; {{Visible anchor|ヤコビ多様体}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#jacobian variety|Jacobian variety]]）</span>
: 射影曲線 ''X'' の[[ヤコビ多様体]]とは、[[ピカール多様体]] <math>\operatorname{Pic}(X)</math> の次数ゼロ部分のこと。

; {{Visible anchor|有限}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#finite|finite]]）</span>
: 射 {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} が'''有限'''とは、<math>X</math> にアフィン開集合 <math> \text{Spec }B </math> による被覆があり、<math> f^{-1}(\text{Spec }B) </math> がアフィンで、これを <math> \text{Spec }A </math> とかくと、<math> A </math> が <math> B </math> 上有限生成加群となっていること。[[有限射]]参照。有限射は準有限だが、有限なファイバーを持つ射は必ずしも準有限とは限らず、また有限型の射は多くの場合準有限ではない。

; {{Visible anchor|有限表示}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#finite presentation|finite presentation]]）</span>
: ''Y'' の点 ''y'' に対し、射 ''f'' が '''''y'' で有限表示'''（'''''y'' で有限に表示される'''ともいう）とは、''f(y)'' のアフィン開近傍 ''U'' と ''y'' のアフィン開近傍 ''V'' が存在して、''f''(''V'')&nbsp;⊆&nbsp;''U'' かつ <math>\mathcal{O}_Y(V)</math> が <math>\mathcal{O}_X(U)</math> 上{{仮リンク|有限表示代数|en|finitely presented algebra}}であること。射 ''f'' が'''局所有限表示'''とは、''Y'' の全ての点で有限表示であること。''X'' が局所ネーターなら、''f'' が局所有限表示であることと局所有限型であることは同値<ref>{{harvnb|Grothendieck|Dieudonné|1964|loc=§1.4}}</ref>。射 {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} が'''有限表示'''（'''''Y'' は ''X'' 上有限表示'''ともいう）とは、局所有限表示かつ準コンパクトかつ準分離的であること。''X'' が局所ネーターなら、''f'' が有限表示であることと有限型であることは同値<ref>{{harvnb|Grothendieck|Dieudonné|1964|loc=§1.6}}</ref>。

; {{Visible anchor|有限ファイバー}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#finite fibers|finite fibers]]）</span>
: 射 {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} が'''有限ファイバー'''を持つとは、任意の点 <math> x \in X </math> のファイバーが有限集合であること。射が'''[[準有限射|準有限]]'''とは、有限型かつ有限ファイバーを持つこと。

; {{Visible anchor|有理}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#rational|rational]]）</span>
: 1. 代数的閉体上、代数多様体が[[有理多様体|有理]]であるとは、射影空間と双有理同値であること。例えば、[[有理曲線]]や[[有理曲面]]とは、<math>\mathbb{P}^1, \mathbb{P}^2</math> と双有理同値であるもののこと。
: 2. 体 ''k'' と相対的なスキーム ''X'' → ''S'' に対し、''X'' の [[有理点|''k'' 有理点]]とは、''S'' 射 <math>\operatorname{Spec}(k) \to X</math> のこと。

; {{Visible anchor|有理関数}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#rational function|rational function]]）</span>
: [[代数多様体の函数体|関数体]] <math>k(X) = \varinjlim k[U]</math> の要素のこと。ここで、極限は（既約）代数多様体 ''X'' の開部分集合 ''U'' の座標環全てを渡るようにとる。[[函数体_(スキーム論)|函数体]]も参照。

; {{Visible anchor|有理正規曲線}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#rational normal curve|rational normal curve]]）</span>
: {{仮リンク|有理正規曲線|en|rational normal curve}}とは、次の写像の像のこと。
::<math>\mathbf{P}^1 \to \mathbf{P}^d, \, (s:t) \mapsto (s^d : s^{d-1} t : \cdots : t^d)</math>.
:''d'' = 3 のときは{{仮リンク|ねじれ3次曲線|en|twisted cubic}}ともいう。

; {{Visible anchor|有理特異点}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#rational singularities|rational singularities]]）</span>
: 標数0の体上の代数多様体 ''X'' が{{仮リンク|有理特異点|en|rational singularities}}を持つとは、特異点解消 <math>f:X' \to X</math> であって <math>f_*(\mathcal{O}_{X'}) = \mathcal{O}_X</math> かつ <math>R^i f_*(\mathcal{O}_{X'}) = 0, \, i \ge 1</math> であるようなものが存在することをいう。

== ら行 ==
; {{Visible anchor|リーマン・フルヴィッツの公式}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#riemann–hurwitz formula|Riemann–Hurwitz formula]]）</span>
: <math>\pi:X \to Y</math> を滑らかな射影曲線の間の分離的（separable）な有限射とする。<math>\pi</math> が[[分岐 (数学)|馴分岐]]（暴分岐が無い）、例えば標数0の体上で考えているのであれば、π の次数と ''X'' と ''Y'' の種数と[[分岐 (数学)|分岐指数]]を関係付ける[[リーマン・フルヴィッツの公式]]
:: <math>2g(X) - 2 = \operatorname{deg}(\pi) (2g(Y) - 2) + \sum_{y \in Y} (e_y - 1)</math>
:が成り立つ。今日では、この公式は π が馴分岐と仮定しなくても成り立つ次のより一般的な公式
:: <math>K_X \sim \pi^*K_Y + R</math>
:の帰結と理解されている。ここで、<math>\sim</math> は[[因子 (代数幾何学)|線形同値]]を表し、<math>R = \sum_{P \in X} \operatorname{length}_{\mathcal{O}_P} (\Omega_{X/Y})P</math> は相対余接層の因子（{{仮リンク|共役差積|en|different (mathematics)}}）<math>\Omega_{X/Y}</math> である。

; {{Visible anchor|リーマン・ロッホ公式}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#riemann–roch formula|Riemann–Roch formula]]）</span>
: 1. ''L'' を種数 ''g'' の滑らかな射影曲線上の次数 ''d'' の直線束とする。[[リーマン・ロッホの定理|リーマン・ロッホ公式]]とは、''L'' の[[オイラー標数]]が次で計算できるという公式。
::<math>\chi(L) = d - g + 1</math>
:例えば、この公式から標準因子 ''K'' の次数は 2''g'' - 2 であることが分かる。
: 2. {{仮リンク|グロタンディーク・リーマン・ロッホ公式|en|Grothendieck–Riemann–Roch formula}}はグロタンディークによる一般化。<math>\pi:X \to S</math> を滑らかな ''X'' と ''S'' の間の固有射とし、''E'' を ''X'' 上のベクトル束としたとき、有理[[周群|チャウ群]]における等式
::<math>\operatorname{ch}(\pi_! E) \cdot \operatorname{td}(S) = \pi_*(\operatorname{ch}(E) \cdot \operatorname{td}(X))</math>
: が成り立つというもの。ここで、<math>\pi_! = \sum_i (-1)^i R^i \pi_*</math>、<math>\operatorname{ch}</math> は[[チャーン類#チャーン指標|チャーン指標]]、<math>\operatorname{td}</math> は接束の[[トッド類]]、<math>\pi_*</math> は（複素数体上であれば）{{仮リンク|ファイバー方向の積分|en|integration along fibers}}である。基底 ''S'' が点、''X'' が種数 ''g'' の滑らかな曲線、''E'' が直線束 ''L'' であれば、左辺はオイラー標数になり、右辺は <math>\pi_*(e^{c_1(L)}(1-c_1(T^*X)/2)) = \operatorname{deg}(L) - g + 1</math> となる。

; {{Visible anchor|良商}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#good quotient|good quotient]]）</span>
: 群スキーム ''G'' 作用を持つスキーム ''X'' の{{仮リンク|良商|en|good quotient}}とは、不変射 <math>f: X \to Y</math> であって <math>(f_* \mathcal{O}_X)^G = \mathcal{O}_Y</math> を満たすもの。

; {{Visible anchor|ループ群}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#loop group|loop group]]）</span>
: {{仮リンク|ループ群|en|loop group}}参照。この記事は代数幾何学でのループ群に触れてないので、{{仮リンク|ind-scheme|en|ind-scheme}}も参照。

; {{Visible anchor|ルロン数}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#lelong number|Lelong number]]）</span>
: {{仮リンク|ルロン数|en|Lelong number}}参照。

; {{Visible anchor|レベル構造}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#level structure|level structure]]）</span>
: http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf 参照。

; {{Visible anchor|連結}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#connected|connected]]）</span>
:  スキームが連結とは、位相空間として''[[連結空間|連結]]''であること。[[連結空間|連結成分]]であることは[[既約成分]]であることよりも緩い条件であるため、任意の既約スキームは連結であるが、逆は正しくない。[[アフィンスキーム]] ''Spec(R)'' が連結であることと、環 ''R'' が 0 と 1 以外の[[冪等|ベキ等元]]を持たないことは[[同値]]である。このような環も'''連結環'''という。例：[[アフィン空間]]と[[射影空間]]は連結スキーム。''Spec''(''k''[''x'']×''k''[''x'']) は連結ではない。

; {{Visible anchor|連接層}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#coherent sheaf|coherent sheaf]]）</span>
: ネータースキーム ''X'' 上の[[連接層]]とは、準連接層であって ''O''<sub>''X''</sub> 加群として有限生成であるもの。

== わ行 ==

== 英数 ==
; {{Visible anchor|''F'' 正則|F正則}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#''f''-regular|''F''-regular]]）</span>
: {{仮リンク|フロベニウス射|en|Frobenius morphism}}に関係するもの<ref>{{Cite arXiv|title = Frobenius Splitting in Commutative Algebra|eprint=1409.1169 |date = 2014-09-03|first = Karen E.|last = Smith|first2 = Wenliang|last2 = Zhang}}</ref>。

; {{Visible anchor|G束}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#g-bundle|G-bundle]]）</span>
: 主 G 束。

; {{Visible anchor|GIT商}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#git quotient|GIT quotient]]）</span>
: {{仮リンク|GIT商|en|GIT quotient}} <math>X / \! / G</math> とは、<math>X = \operatorname{Spec} A</math> のときは <math>\operatorname{Spec}(A^G)</math>、<math>X = \operatorname{Proj} A</math> のときは <math>\operatorname{Proj}(A^G)</math> である。

<!-- not sure how to put r and d in parallel -->
; {{Visible anchor|g<sup>r</sup><sub>d</sub>.}}</span>
: 曲線 ''C'' とその上の因子 ''D'' と部分ベクトル空間 <math>V \subset H^0(C, \mathcal{O}(D))</math> が与えられたとき、線形系 <math>\mathbb{P}(V)</math> が g<sup>r</sup><sub>d</sub> であるとは、''V'' の次元が ''r''+1 かつ ''D'' の次数が ''d'' であること。そのような線形系が存在するとき、''C'' が g<sup>r</sup><sub>d</sub> を持つという。

; {{Visible anchor|klt|川又ログ端末的}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#klt|klt]]）</span>
: "[[標準特異点|川又ログ端末的]]"の省略形。

; {{Visible anchor|''p'' 可除群|p可除群}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#''p''-divisible group|''p''-divisible group]]）</span>
: 「{{仮リンク|p可除群|label=''p'' 可除群|en|p-divisible group}}」参照。アーベル多様体の捩じれ点のようなもの。

; {{Visible anchor|Proj}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#proj|Proj]]）</span>
: 「{{仮リンク|Proj構成|en|Proj construction}}」参照。

; {{Visible anchor|Q-分解的}}<span style='font-weight: normal'>（[[:en:Glossary of algebraic geometry#q-factorial|Q-factorial]]）</span>
: 正規多様体が <math>\mathbb{Q}</math>-分解的とは、全ての <math>\mathbb{Q}</math>-ヴェイユ因子が <math>\mathbb{Q}</math>-カルティエであること。

== 記号 ==
; {{Visible anchor|<math>\eta</math>|η}}
: {{仮リンク|生成点|en|generic point}}。例：整アフィンスキームの零イデアルに対応する点。

; {{Visible anchor|''F''(''n''), ''F''(''D'')|F(n)|F(d)}}
: 1. ''X'' を射影スキーム、<math>\mathcal{O}_X(1)</math> を{{仮リンク|セールのねじり層|en|Serre's twisting sheaf}}、''F'' を <math>\mathcal{O}_X</math> 加群とする。<math>F(n) = F \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(n)</math> と定義する。
: 2. ''X'' を任意のスキーム、''D'' をその上のカルティエ因子、''F'' を <math>\mathcal{O}_X</math> 加群とする。<math>F(D) = F \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(D)</math> と定義する。''D'' がヴェイユ因子で ''F'' が反射的なら、''F''(''D'') をその反射的包（reflexive hull）で置き換える。これも ''F''(''D'') と表記される。

; {{Visible anchor|<nowiki>|</nowiki>''D''<nowiki>|</nowiki>}}
: 代数的閉体 ''k'' 上の正規完備<!-- the completeness is just to ensure a linear system is finite-dimensional -->代数多様体 ''X'' 上の[[因子 (代数幾何学)|ヴェイユ因子]] ''D'' の{{仮リンク|完備線形系|en|complete linear system}}。つまり、<math>|D| = \mathbf{P}(\Gamma(X, \mathcal{O}_X(D)))</math> のこと。<nowiki>|</nowiki>''D''<nowiki>|</nowiki> の ''k'' 有理点の集合と、''D'' と線形同値な ''X'' 上の有効ヴェイユ因子の集合は1対1に対応する<ref>証明: ''D'' を ''X'' 上のヴェイユ因子とする。''D<nowiki>'</nowiki>'' ~ ''D'' なら、''X'' 上のゼロではない有理関数 ''f'' で ''D'' + (''f'') <nowiki>=</nowiki> ''D<nowiki>'</nowiki>'' となるものが存在し、''D<nowiki>'</nowiki>'' が有効なら ''f'' は ''O''<sub>''X''</sub>(''D'') の切断である。逆向きも同様である。□</ref>。''D'' が ''k'' 上の完備多様体上の[[カルティエ因子]]の場合も同じように定義する。

; {{Visible anchor|[X/G]}}
: 群スキーム ''G'' の作用による代数空間 ''X'' の{{仮リンク|商スタック|en|quotient stack}}。

; {{Visible anchor|<math>X/\!/G</math>}}
: {{仮リンク|群スキームの作用|label=群スキーム ''G'' の作用|en|action of a group scheme}}によるスキーム ''X'' の{{仮リンク|GIT商|en|GIT quotient}}。

; {{Visible anchor|''L''<sup>''n''</sup>}}
: ''L'' の ''n'' テンソルベキを通常意味するが、''L'' の自己交点数を意味する場合もある、やや曖昧な記号。''X'' の構造層 <math>L = \mathcal{O}_X</math> の場合には、<math>\mathcal{O}_X</math> の ''n'' 個のコピーの直和。

; {{Visible anchor|<math>\mathcal{O}_X(-1)</math>}}
: {{仮リンク|トートロジー的直線束|en|tautological line bundle}}。{{仮リンク|セールのねじり層|en|Serre's twisting sheaf}} <math>\mathcal{O}_X(1)</math> の双対。

; {{Visible anchor|<math>\mathcal{O}_X(1)</math>}}
: {{仮リンク|セールのねじり層|en|Serre's twisting sheaf}}。{{仮リンク|トートロジー的直線束|en|tautological line bundle}} <math>\mathcal{O}_X(-1)</math> の双対。超平面束ともいう。

; {{Visible anchor|<math>\mathcal{O}_X(D)</math>}}
: 1. ''D'' が ''X'' 上の{{仮リンク|有効カルティエ因子|en|effective Cartier divisor}}のとき、''D'' のイデアル層の逆。
: 2. ほとんどの場合、<math>\mathcal{O}_X(D)</math> はカルティエ因子の群から ''X'' のピカール群 <math>\operatorname{Pic}(X)</math>（''X'' 上の直線束の同型類のなす群）への自然な群準同型による ''D'' の像。
: 3. 一般には、<math>\mathcal{O}_X(D)</math> は（{{仮リンク|正規スキーム|en|normal scheme}}上の）{{仮リンク|ヴェイユ因子|en|Weil divisor}} ''D'' に対応する層。局所自由とは限らないが、{{仮リンク|反射的層|label=反射的|en|reflexive sheaf}}である。
: 4. ''D'' が ℚ-因子なら、<math>\mathcal{O}_X(D)</math> は ''D'' の整数部の <math>\mathcal{O}_X</math>。

; {{Visible anchor|<math>\Omega_X^p</math>}}
: 1. <math>\Omega_X^1</math> は ''X'' 上の[[ケーラー微分]]の層。
: 2. <math>\Omega_X^p</math> は <math>\Omega_X^1</math> の ''p'' 個の外積べキ。

; {{Visible anchor|<math>\Omega_X^p(\log D)</math>}}
: 1. ''p'' が 1 のときは、''X'' 上の ''D'' に沿っての{{仮リンク|対数的ケーラー微分|en|logarithmic Kähler differential}}（雑に言うと、因子 ''D'' で1位の極を持つ微分形式）の層。
: 2. <math>\Omega_X^p(\log D)</math> は <math>\Omega_X^1(\log D)</math> の ''p'' 個の外積べキ。

; {{Visible anchor|'''P'''(''V'')}}
: 曖昧な記号。伝統的には、有限次元 ''k'' ベクトル空間 ''V'' の{{仮リンク|射影化|en|projectivization}}。つまり
:: <math>\mathbf{P}(V) = \operatorname{Proj}(k[V]) = \operatorname{Proj}(\operatorname{Sym}(V^*))</math>
: のこと（{{仮リンク|多項式関数の環|en|ring of polynomial functions}} ''k''[''V''] の {{仮リンク|Proj構成|label=Proj|en|Proj construction}}）で、これの ''k'' 点は ''V'' の中の直線に対応する。一方、ハーツホーンや EGA では、'''P'''(''V'') は ''V'' の対称代数の Proj。

; {{Visible anchor|Spec(''R'')}}
: 環 ''R'' の全ての素イデアルの集合にザリスキー位相を備えさせたもの。''R'' の[[環のスペクトル|スペクトル]]という。

; {{Visible anchor|Spec<sub>''X''</sub>(''F'')}}
: ''O''<sub>''X''</sub> 代数 ''F'' の{{仮リンク|相対Spec|label=相対 Spec|en|relative Spec}}。'''Spec'''(''F'')、もしくは単に Spec(''F'') とも表記される。

; {{Visible anchor|Spec<sup>an</sup>(''R'')}}
: 環 ''R'' の全ての付値の集合にある弱い位相をいれたもの。''R'' の{{仮リンク|ベルコヴィッチ・スペクトル|en|Berkovich spectrum}}という{{要出典|date=2021年11月}}。

== 脚注 ==

{{Reflist|30em}}

== 参考文献 ==

*{{Citation | last1=Fulton | first1=William | author1-link=William Fulton (mathematician) | title=Intersection theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics] | isbn=978-3-540-62046-4|mr=1644323 | year=1998 | volume=2 | doi=10.1007/978-1-4612-1700-8| doi-access=free }}
*{{EGA | book=I}}
*{{EGA | book=II}}
*{{EGA | book=III-1}}
*{{EGA | book=III-2}}
*{{EGA | book=IV-1}}
*{{EGA | book=IV-2}}
*{{EGA | book=IV-3}}
*{{EGA | book=IV-4}}
*{{Hartshorne AG}}
*{{仮リンク|János Kollár|label=Kollár, János|en|János Kollár}}, "Book on Moduli of Surfaces" available at his website [https://web.math.princeton.edu/~kollar/]
*Martin's Olsson's course notes written by Anton, https://web.archive.org/web/20121108104319/http://math.berkeley.edu/~anton/written/Stacks/Stacks.pdf
*A [http://www.math.uzh.ch/index.php?pr_vo_det&key1=1287&key2=580&no_cache=1 book] worked out by many authors.

== 関連項目 ==

*{{仮リンク|数論幾何学とディオファントス幾何学の用語一覧|en|glossary of arithmetic and Diophantine geometry}}
*{{仮リンク|古典的代数幾何学用語一覧|en|glossary of classical algebraic geometry}}
*{{仮リンク|微分幾何学と位相幾何学の用語一覧|en|Glossary of differential geometry and topology}}
*{{仮リンク|リーマン幾何学と計量幾何学の用語一覧|en|Glossary of Riemannian and metric geometry}}
*{{仮リンク|複素曲面と代数曲面の一覧|en|List of complex and algebraic surfaces}}
*{{仮リンク|曲面の一覧|en|List of surfaces}}
*{{仮リンク|曲線の一覧|en|List of curves}}

[[Category:数学の一覧]]
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:スキーム論]]
[[Category:数学に関する記事]]
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