代数拡大のソースを表示

[[抽象代数学]]において、[[体の拡大]] {{math|''L''/''K''}} は次を満たすときに'''代数的'''（{{lang-en-short|algebraic}}）であると言う。{{mvar|L}} のすべての元は {{mvar|K}} 上[[代数的な元|代数的]]である、すなわち、{{mvar|L}} のすべての元は {{mvar|K}} 係数のある {{math|0}} でない[[多項式]]の根である。代数的でない体の拡大、すなわち[[超越元]]を含む場合は、'''超越的''' (transcendental) と言う。

例えば、体の拡大 {{math|'''R'''/'''Q'''}}, すなわち[[有理数]]体の拡大としての[[実数]]体は、超越的であるのに対し、体の拡大 {{math|'''C'''/'''R'''}} や {{math|'''Q'''({{sqrt|2}})/'''Q'''}} は代数的である。ここで {{math|'''C'''}} は[[複素数]]体である。

すべての超越拡大は無限次元の拡大である。言い換えるとすべての有限次拡大は代数的ということになる<ref>See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.</ref>。しかしながら逆は正しくない。無限次代数拡大が存在する。例えば、[[代数的数]]体は有理数体の無限次代数拡大である。

{{mvar|a}} が {{mvar|K}} 上代数的であれば、{{mvar|K}} 係数の {{mvar|a}} による多項式全体の集合 {{math|''K''[''a'']}} は環であるだけでなく体である：{{mvar|K}} 上有限次の {{mvar|K}} の代数拡大である。逆もまた正しく、{{math|''K''[''a'']}} が体ならば {{mvar|a}} は {{mvar|K}} 上代数的である。特別な場合として、{{math|1=''K'' = '''Q'''}} が有理数体のときは、{{math|'''Q'''[''a'']}} は[[代数体]]の例である。

非自明な代数拡大をもたない体は[[代数的閉体]]と呼ばれる。例は[[複素数]]体である。すべての体は代数的閉であるような代数拡大をもつ（これは[[代数的閉包]]と呼ばれる）が、これを一般に証明するには[[選択公理]]が必要である。

拡大 {{math|''L''/''K''}} が代数的であることと {{mvar|L}} のすべての部分 {{mvar|K}}-代数が体であることは同値である。

== 性質 ==
代数拡大のクラスは{{仮リンク|体拡大の distinguished class|en|distinguished class of field extensions}} をなす。すなわち、以下の3つの性質が成り立つ<ref>Lang (2002) p.&nbsp;228</ref>。
# {{mvar|E}} が {{mvar|F}} の代数拡大であり {{mvar|F}} が {{mvar|K}} の代数拡大であれば、{{mvar|E}} は {{mvar|K}} の代数拡大である。
# {{mvar|E}} と {{mvar|F}} が共通の overfield {{mvar|C}} において {{mvar|K}} の代数拡大であれば、[[合成体]] (compositum) {{mvar|EF}} は {{mvar|K}} の代数拡大である。
# {{mvar|E}} が {{mvar|F}} の代数拡大で {{math|''E'' &sup; ''K'' &sup; ''F''}} であれば、{{mvar|E}} は {{mvar|K}} の代数拡大である。

これらの有限項の結果は[[超限帰納法]]を用いて一般化できる：

{{ordered list|start=4
| 基礎体上の代数拡大の任意の鎖の合併はそれ自身同じ基礎体上の代数拡大である。
}}

この事実と（半順序集合を適切に取って）[[ツォルンの補題]]を合わせれば代数拡大の存在がいえる。

== 一般化 ==
{{Main|en:Substructure}}
[[モデル理論]]は代数拡大の概念を任意の理論に一般化する。''M'' の ''N'' への埋め込みは、''N'' のすべての元 ''x'' に対して、''M'' にパラメータをとるある [[論理式 (数学)|論理式]] ''p'' が存在して ''p''(''x'') が真かつ集合

:<math>\left\{y\in N \mid p(y)\right\}</math>

が有限であるようなときに、'''代数拡大'''と呼ばれる。この定義を体の理論に適用することで通常の代数拡大の定義が得られることがわかる。''N'' の ''M'' 上の[[ガロワ群]]は再び自己同型の群として定義することができ、ガロワ群の理論の多くの部分は一般の場合に発達させることができることがわかる。

== 関連項目 ==
* [[整拡大]]
* [[リューローの定理]]
* [[ガロワ拡大]]
* [[分離拡大]]
* [[正規拡大]]

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{citation|first1=Michiel|last1=Hazewinkel|authorlink1=Michiel Hazewinkel|first2= Nadiya|last2= Gubareni|first3= Nadezhda Mikhaĭlovna |last3= Gubareni| first4=Vladimir V.|last4= Kirichenko|title= Algebras, rings and modules|volume=1|year=2004|publisher= Springer|isbn= 1-4020-2690-0}}
* {{Lang Algebra|edition=3|chapter=V.1:Algebraic Extensions|pages=223ff}}
* {{citation | last=McCarthy | first=Paul J. | title=Algebraic extensions of fields | zbl=0768.12001 | location=New York | publisher=Dover Publications | year=1991|origyear=corrected reprint of 2nd edition, 1976|isbn=0-486-66651-4 }}
* {{citation|first=Steven|last=Roman|title=Field Theory|series=GTM 158|year=1995|publisher=Springer-Verlag|isbn=9780387944081}}
* {{citation|first=Joseph J.|last=Rotman|title=Advanced Modern Algebra|year=2002|publisher=Prentice Hall|isbn=9780130878687}}

{{DEFAULTSORT:たいすうかくたい}}
[[Category:体の拡大]]
[[Category:数学に関する記事]]