代数的な元のソースを表示

[[体論]]において、[[可換体]] {{math|''K''}} の拡大体 {{math|''L''}} の元は、{{math|''K''}} 係数の {{math|0}} でない[[多項式]]が存在してその根となっているときに、{{math|''K''}} 上'''代数的'''であると言う。{{math|''K''}} 上代数的でない元は {{math|''K''}} 上'''超越的'''であると言う。

これは[[代数的数]]と[[超越数]]の概念の一般化である。代数的数は[[有理数]]体 {{math|'''Q'''}} の拡大体 {{math|'''C'''}} の元であって、{{math|'''Q'''}} 上代数的な[[複素数]]である。したがって <math display="inline">\sqrt{2}</math> は {{math|'''Q'''}} 上代数的な実数であって、[[自然対数の底]] {{math|''e''}} や[[円周率]] {{math|''π''}} は {{math|'''Q'''}} 上超越的な実数である。{{math|'''Q'''}} 上超越的な複素数は存在するが、すべての複素数 {{math|''a''+''bi''}} は実数体 {{math|'''R'''}} 上代数的である。なぜなら {{math|(''X'' − ''a'')<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>}} の根だからである。

== 特徴づけ ==
{{math|''K''}} のすべての元 {{math|''a''}} は明らかに {{math|''K''}} 上代数的である、なぜならば {{math|''X'' − ''a''}} の根だからだ。より一般に、
* {{math|''K''}} の[[有限次拡大]]体のすべての元 {{math|''a''}} は {{math|''K''}} 上代数的である。
実際、{{math|''K''}} の有限次（{{math|''n''}} 次としよう）拡大は {{math|''K''}} 上有限次元の[[ベクトル空間]]である。したがって {{math|1, ''a'', ''a''<sup>2</sup>, ..., ''a<sup>n</sup>''}} の間には線型従属な関係があり、{{math|''a''}} を根に持つ多項式が得られる。

代数的あるいは超越的な元という概念を、{{math|''K''}} と {{math|''a''}} を含む {{math|''L''}} の最小の部分環である {{math|''K''[''a'']}} を使って特徴づけることができる。環 {{math|''K''[''a'']}} の元は {{math|''a''}} の多項式として書ける {{math|''L''}} の元である。すなわち {{math|''K''[''a'']}} は多項式環 {{math|''K''[''X'']}} の {{math|''X''}} を {{math|''a''}} に写す環準同型 {{math|''φ''}} による像である。この準同型が単射でないことと多項式が {{math|''a''}} で消えることは同値である。また、{{math|''a''}} が {{math|''K''[''X'']}} の多項式の根であれば、{{math|''a''}} は {{math|''K''[''a'']}} が[[根体]]であるような既約多項式（前の多項式の因数）の根である。まとめると
* 元 {{math|''a''}} が {{math|''K''}} 上超越的であることと、{{math|''K''[''a'']}} と {{math|''K''[''X'']}} が同型である（同型は φ によって与えられる）ことは同値である。
* 元 {{math|''a''}} が {{math|''K''}} 上代数的であることと、{{math|''K''[''a'']}} が体であることは同値である。
{{math|''K''(''a'')}} を、{{math|''a''}} を含む {{math|''L''}} の最小の部分体とする（{{math|''K''(''a'')}} の元は {{math|''a''}} の[[有理式]]として書けるような {{math|''L''}} の元である）。これによって再び定式化することができる。
* 元 {{math|''a''}} が {{math|''K''}} 上代数的であることと {{math|''K''(''a'') {{=}} ''K''[''a'']}} であることは同値である。
* 元 {{math|''a''}} が {{math|''K''}} 上代数的であることと {{math|''K''}} の拡大 {{math|''K''(''a'')}} が[[有限次拡大]]であることは同値である。
（したがって1つ目の性質から、{{math|''K''}} 上代数的な任意の元は {{math|''K''}} の有限次拡大の元である）。

== 安定性 ==
この特徴づけによって次のことが証明できる。{{math|''K''}} 上代数的な2つの元の和と積は {{math|''K''}} 上代数的である。実際、{{math|''a''}} と {{math|''b''}} が {{math|''K''}} 上代数的であれば、{{math|''a'' + ''b''}} と {{math|''ab''}} は {{math|''K''(''a'', ''b'')}} に属する。これは {{math|''K''(''a'')}} の {{math|''b''}} による拡大が {{math|''K''}} 上したがって {{math|''K''(''a'')}} 上代数的であることからわかる。よって拡大 {{math|''K''(''a'', ''b'')}} は {{math|''K''(''a'')}} の、したがって {{math|''K''}} の、有限次拡大である（これは拡大次数の性質である）。そのすべての元は {{math|''K''}} 上代数的である。

さらに、{{math|''K''}} 上代数的な元 {{math|''a''}} は {{math|0}} でなければその逆元は {{math|''a''}} を根にもつ多項式の[[相反多項式]]の根であり {{math|''K''}} 上代数的である。結論：
* {{math|''K''}} 上代数的な {{math|''L''}} の元全体は {{math|''L''}} の部分体をなす。

{{math|''n''}} についての帰納法で次のことも言える。
* {{math|''a''<sub>1</sub>, ..., ''a<sub>n</sub>''}} が（有限個の）{{math|''K''}} 上代数的な元であれば、これらの元を {{math|''K''}} に添加して得られる拡大 {{math|''K''(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a<sub>n</sub>'')}} のすべての元は {{math|''K''}} 上代数的である。

すべての元が代数的であるような拡大を[[代数拡大]]と呼ぶ。代数拡大は有限次であるとは限らず、したがって有限個の代数的な元で生成されるとは限らない（記事[[代数拡大]]を参照）。

== 次数と最小多項式 ==
''K'' 上代数的な元の ''次数'' は拡大 {{math|''K''(''a'') / ''K''}} の次数である。{{math|''a''}} は代数的なので、それは {{math|''K''}}-ベクトル空間 {{math|''K''[''a'']}} の次元である。したがってそれはまた {{math|''a''}} の[[最小多項式 (体論)|最小多項式]]（''a'' が消える最小次数のモニック多項式）の次数でもある。

== 結合多元環 ==
{{math|''K''}} の拡大 {{math|''L''}} は体 {{math|''K''}} 上の[[結合多元環]]であり、定義はこの構造しか使っていない。したがってこれを一般化することができる。可換体 ''K'' 上の単位的[[結合多元環]] {{math|''E''}} の元が {{math|''K''}} 上代数的であるとは、それを根にもつ {{math|''K''}} 係数の {{math|0}} でない[[多項式]]が存在することである。体の拡大の場合と同様に、多元環 {{math|''E''}} が {{math|''K''}} 上有限次元のとき、{{math|''E''}} のすべての元は {{math|''K''}} 上代数的である。

== 参考文献 ==
* {{ouvrage|prénom=Antoine|nom=Chambert-Loir|titre=Algèbre corporelle|éditeur=Éditions de l’École Polytechnique|année=2005}}
* {{ouvrage|lang=en|prénom=Serge|nom=Lang|lien auteur1=Serge Lang|titre=Algebra|title-link=:fr:Référence:Algèbre (Lang)}}

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[[Category:代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]