代数的な元

体論において、可換体テンプレート:Math の拡大体テンプレート:Math の元は、テンプレート:Math 係数のテンプレート:Math でない多項式が存在してその根となっているときに、テンプレート:Math 上代数的であると言う。テンプレート:Math 上代数的でない元はテンプレート:Math 上超越的であると言う。

これは代数的数と超越数の概念の一般化である。代数的数は有理数体テンプレート:Math の拡大体テンプレート:Math の元であって、テンプレート:Math 上代数的な複素数である。したがって $\sqrt{2}$ はテンプレート:Math 上代数的な実数であって、自然対数の底テンプレート:Math や円周率テンプレート:Math はテンプレート:Math 上超越的な実数である。テンプレート:Math 上超越的な複素数は存在するが、すべての複素数テンプレート:Math は実数体テンプレート:Math 上代数的である。なぜならテンプレート:Math の根だからである。

特徴づけ

テンプレート:Math のすべての元テンプレート:Math は明らかにテンプレート:Math 上代数的である、なぜならばテンプレート:Math の根だからだ。より一般に、

実際、テンプレート:Math の有限次（テンプレート:Math 次としよう）拡大はテンプレート:Math 上有限次元のベクトル空間である。したがってテンプレート:Math の間には線型従属な関係があり、テンプレート:Math を根に持つ多項式が得られる。

代数的あるいは超越的な元という概念を、テンプレート:Math とテンプレート:Math を含むテンプレート:Math の最小の部分環であるテンプレート:Math を使って特徴づけることができる。環テンプレート:Math の元はテンプレート:Math の多項式として書けるテンプレート:Math の元である。すなわちテンプレート:Math は多項式環テンプレート:Math のテンプレート:Math をテンプレート:Math に写す環準同型テンプレート:Math による像である。この準同型が単射でないことと多項式がテンプレート:Math で消えることは同値である。また、テンプレート:Math がテンプレート:Math の多項式の根であれば、テンプレート:Math はテンプレート:Math が根体であるような既約多項式（前の多項式の因数）の根である。まとめると

元テンプレート:Math がテンプレート:Math 上超越的であることと、テンプレート:Math とテンプレート:Math が同型である（同型は φ によって与えられる）ことは同値である。
元テンプレート:Math がテンプレート:Math 上代数的であることと、テンプレート:Math が体であることは同値である。

テンプレート:Math を、テンプレート:Math を含むテンプレート:Math の最小の部分体とする（テンプレート:Math の元はテンプレート:Math の有理式として書けるようなテンプレート:Math の元である）。これによって再び定式化することができる。

（したがって1つ目の性質から、テンプレート:Math 上代数的な任意の元はテンプレート:Math の有限次拡大の元である）。

この特徴づけによって次のことが証明できる。テンプレート:Math 上代数的な2つの元の和と積はテンプレート:Math 上代数的である。実際、テンプレート:Math とテンプレート:Math がテンプレート:Math 上代数的であれば、テンプレート:Math とテンプレート:Math はテンプレート:Math に属する。これはテンプレート:Math のテンプレート:Math による拡大がテンプレート:Math 上したがってテンプレート:Math 上代数的であることからわかる。よって拡大テンプレート:Math はテンプレート:Math の、したがってテンプレート:Math の、有限次拡大である（これは拡大次数の性質である）。そのすべての元はテンプレート:Math 上代数的である。

さらに、テンプレート:Math 上代数的な元テンプレート:Math はテンプレート:Math でなければその逆元はテンプレート:Math を根にもつ多項式の相反多項式の根でありテンプレート:Math 上代数的である。結論：

テンプレート:Math についての帰納法で次のことも言える。

テンプレート:Math が（有限個の）テンプレート:Math 上代数的な元であれば、これらの元をテンプレート:Math に添加して得られる拡大テンプレート:Math のすべての元はテンプレート:Math 上代数的である。

すべての元が代数的であるような拡大を代数拡大と呼ぶ。代数拡大は有限次であるとは限らず、したがって有限個の代数的な元で生成されるとは限らない（記事代数拡大を参照）。

K 上代数的な元の次数は拡大テンプレート:Math の次数である。テンプレート:Math は代数的なので、それはテンプレート:Math-ベクトル空間テンプレート:Math の次元である。したがってそれはまたテンプレート:Math の最小多項式（a が消える最小次数のモニック多項式）の次数でもある。

テンプレート:Math の拡大テンプレート:Math は体テンプレート:Math 上の結合多元環であり、定義はこの構造しか使っていない。したがってこれを一般化することができる。可換体 K 上の単位的結合多元環テンプレート:Math の元がテンプレート:Math 上代数的であるとは、それを根にもつテンプレート:Math 係数のテンプレート:Math でない多項式が存在することである。体の拡大の場合と同様に、多元環テンプレート:Math がテンプレート:Math 上有限次元のとき、テンプレート:Math のすべての元はテンプレート:Math 上代数的である。