代用電荷法のソースを表示

'''代用電荷法'''（だいようでんかほう、{{lang-en-short|charge simulation method}}）または'''電荷重畳法'''は[[数値解析]]手法の一つである。'''基本解近似解法'''（{{lang-en-short|method of fundamental solutions}}）ともいう。[[構造力学]]や電界計算の分野で広く使われている。[[偏微分方程式]]に対する[[メッシュフリー法]]であり、有限個の[[基本解]]を境界条件が満たされるように重ね合わせて近似解を構成する。誤差が境界で最大値に達する性質があり、誤差評価を容易にしている。原理が簡単で、プログラムが容易、高速、高精度であるが、非線型問題には適用できない。{{要検証範囲|1969年に西ドイツのSteinbiglerが高電圧工学の問題に応用したのが最初で|date=2024年10月}}、その後日本で大きく研究が進んだ。宅間董により種々の電界計算に応用され、[[村島定行]]により汎用の解析法として確立された。

==導入==
例として、[[ディリクレ境界条件]]の2次元[[ラプラス方程式]]
<math display="block">
  \begin{cases}
    \Delta u(\boldsymbol{x}) = 0 & (\boldsymbol{x}\in\Omega),\\
	u(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{x}) & (\boldsymbol{x}\in\partial\Omega)
  \end{cases}
</math>
に代用電荷法を適用する。ただし、{{math|&Omega;}}は{{math|ℝ{{sup|2}}}}上の有界な[[単連結空間|単連結領域]]とする。

代用電荷法は解を基本解の重ね合わせ（[[線型結合]]）で近似する。2次元ラプラス方程式であれば対数ポテンシャル
<math display="block">
  G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{s}) = -\frac{1}{2\pi}\log\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{s}\right|
</math>
を重ね合わせて
<math display="block">
  u(\boldsymbol{x}) \approx u_{N}(\boldsymbol{x})
  = \sum_{i=1}^{N}Q_{i}G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{s}_{i})
</math>
とすることが多い。式中の{{mvar|'''s'''{{sub|i}}}}は電荷点（charge point）と呼ばれ、{{math|&Omega;}}の外部から適当に選ばれる。

{{mvar|Q{{sub|i}}}}の値は選点法により決定される。すなわち、境界{{math|&part;&Omega;}}から拘束点（collocation point）と呼ばれる点{{mvar|'''x'''{{sub|k}}}}（{{math|1 &le; ''k'' &le; ''N''}}）を適当に選び、これらの点において近似解が拘束条件
<math display="block">
  u_{N}(\boldsymbol{x}_{k}) = f(\boldsymbol{x}_{k})\quad(k=1,2,\dotsc,N)
</math>
を満たすようにする。このとき、{{mvar|Q{{sub|i}}}}は[[線型方程式系]]
<math display="block">
  \begin{pmatrix}G(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{s}_{1}) & G(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{s}_{2}) & \cdots & G(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{s}_{N})\\ G(\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{s}_{1}) & G(\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{s}_{2}) & \cdots & G(\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{s}_{N})\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ G(\boldsymbol{x}_{N},\boldsymbol{s}_{1}) & G(\boldsymbol{x}_{N},\boldsymbol{s}_{2}) & \cdots & G(\boldsymbol{x}_{N},\boldsymbol{s}_{N})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}Q_{1}\\ Q_{2}\\ \vdots\\ Q_{N}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}f(\boldsymbol{x}_{1})\\ f(\boldsymbol{x}_{2})\\ \vdots\\ f(\boldsymbol{x}_{N})\end{pmatrix}
</math>
の解となる。

代用電荷法の特徴として、境界における誤差で内部における誤差を評価できることが挙げられる。問題の解{{math|''u''('''''x''''')}}が存在し、さらに{{math|''u''('''''x''''')}}が閉包{{math|cl(&Omega;)}}において連続ならば、[[調和関数]]の最大値原理から誤差に関する等式
<math display="block">
  \max_{\boldsymbol{x}\in\operatorname{cl}(\Omega)}\left|u(\boldsymbol{x})-u_{N}(\boldsymbol{x})\right| = \max_{\boldsymbol{x}\in\partial\Omega}\left|f(\boldsymbol{x})-u_{N}(\boldsymbol{x})\right|
</math>
が成立する{{Sfn|村島|加藤|宮近|1978}}{{Sfn|杉原|1988}}。

== 変種 ==

=== 室田の不変スキーム ===
室田の不変スキームは、対数ポテンシャルの線型結合に定数項{{math|''Q''{{sub|0}}}}を加えた近似解
<math display="block">
  u_{N}(\boldsymbol{x}) = Q_{0}-\frac{1}{2\pi}\sum_{i=1}^{N}Q_{i}\log\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{s}_{i}\right|
</math>
を、拘束条件に
<math display="block">
  \sum_{i=1}^{N}Q_{i} = 0
</math>
という制約を追加して構成する手法である{{Sfn|室田|1993}}。

ラプラス方程式の解は座標系のスケール変換{{math|'''''x''''' &rarr; ''a'''x'''''}}と境界条件の平行移動{{math|''f''('''''x''''') &rarr; ''f''('''''x''''') + ''c''}}に対して不変だが、通常の代用電荷法で構成される近似解は不変にならない。室田の不変スキームで構成される近似解は、この不変性を満たす点に特徴がある。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

==参考文献==
* {{Cite journal |language=ja |author=村島定行 |author2=加藤三三男 |author3=宮近詠史 |title=代用電荷法における誤差の性質について |journal=電気学会論文誌A |volume=98 |number=1 |publisher=電気学会 |date=1978 |pages=39-46 |doi=10.1541/ieejfms1972.98.39 |ref={{SfnRef|村島|加藤|宮近|1978}}}}
* {{Cite book|和書|author=村島定行 |title=代用電荷法とその応用 : 境界値問題の半解析的近似解法 |publisher=森北出版 |year=1983 |url=https://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/12669400 |ISBN=4627730608}}
* {{Cite journal |language=ja |author=室田一雄 |title=代用電荷法におけるスキームの「不変性」について |journal=情報処理学会論文誌 |volume=34 |issue=3 |publisher=情報処理学会 |date=1993 |pages=533-535 |url=http://id.nii.ac.jp/1001/00014545/ |ISSN=1882-7764 |CRID=1050845762818004096 |ref={{SfnRef|室田|1993}}}}
* {{Cite journal |language=ja |author=杉原正顕 |title=調和関数の近似について |journal=数理解析研究所講究録 |volume=676 |publisher=京都大学数理解析研究所 |date=1988 |pages=251-261 |hdl=2433/100958 |ref={{SfnRef|杉原|1988}}}}

==関連論文==
* {{Cite journal|和書|author=西田詩 |date=1995 |url=https://doi.org/10.11540/jsiamt.5.3_185 |title=2次元楕円領域における代用電荷法の数学的及び数値的考察 |journal=日本応用数理学会論文誌 |ISSN=2424-0982 |publisher=日本応用数理学会 |volume=5 |issue=3 |pages=185-198 |doi=10.11540/jsiamt.5.3_185 |CRID=1390282680744901120}}
* {{Cite journal|和書|author=天野要 |year=1995 |url=https://doi.org/10.11540/jsiamt.5.3_267 |title=代用電荷法による放射スリット領域への数値等角写像の方法 |journal=日本応用数理学会論文誌 |ISSN=2424-0982 |publisher=日本応用数理学会 |volume=5 |issue=3 |pages=267-280 |doi=10.11540/jsiamt.5.3_267 |CRID=1390282680744911744}}
* {{Cite journal|和書|author=井上哲男 |date=1997-11 |url=https://hdl.handle.net/2433/61627 |title=代用電荷法における逆等角写像のポテンシャル論的スキーム(ポテンシャル論とその関連分野) |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=1016 |pages=68-76 |hdl=2433/61627 |CRID=1050564285513571200}}
* {{Cite journal|和書|author=岡野大, 緒方秀教, 天野要, 井上哲男 |date=1998-12 |url=http://id.nii.ac.jp/1001/00012915/ |title=代用電荷法による実関数の近似 |journal=情報処理学会論文誌 |ISSN=1882-7764 |publisher=情報処理学会 |volume=39 |issue=12 |pages=3337-3340 |CRID=1050564287839853696}}
* {{Cite journal|和書|author=岡野大, 杉原正顯, 天野要 |date=2007-11 |url=https://hdl.handle.net/2433/81327 |title=3次元代用電荷法の誤差の収束について : 球面の場合(数値シミュレーションを支える応用数理) |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=1573 |pages=1-12 |hdl=2433/81327 |CRID=1050282677275319680}}
* {{Cite journal|和書|author=榊原航也, 矢崎成俊 |date=2015-07 |url=https://hdl.handle.net/2433/224071 |title=代用電荷法によるHele-Shaw問題の数値計算 (新時代の科学技術を牽引する数値解析学) |trans-title=A charge simulation method for the computation of Hele-Shaw problems |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=1957 |pages=116-133 |hdl=2433/224071 |CRID=1050845760776577792}}
* {{Cite book|和書|author=神谷紀生, 北栄輔 |title=トレフツ法入門 |publisher=コロナ社 |year=2000 |ISBN=4339023752 |id={{全国書誌番号|20065436}}}}

== 関連項目 ==
*[[境界要素法]]
*[[数値解析]]
*[[有限要素法]]
*[[有限体積法]]

==外部リンク==
* [http://www.uec-ogata-lab.jp/research/research2/ 代用電荷法（基本解近似解法）Charge Simulation Method (Method of Fundamental Solutions)]
* [https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-25400196/ 代用電荷法と双極子法の理論的・実験的研究]
* [https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-19340024/ 代用電荷法と数値等角写像に関する研究]

{{デフォルトソート:たいようてんかほう}}
{{偏微分方程式の数値解法}}
[[category:数値解析]]
[[category:数値微分方程式]]
[[category:計算物理学]]
[[category:計算科学]]