位相のずれのソースを表示

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'''位相のずれ'''（位相差、位相シフト、フェーズシフト）とは、[[量子力学]]の[[散乱理論]]において、散乱によって入射状態と散乱状態の間に生じる[[位相]]差のことである。

== 入射状態の部分波展開 ==
入射[[平面波]]を[[部分波展開]]すると以下のように表せる（レイリーの公式）。
:<math>e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1) i^l j(kr) P_l(\cos\theta)</math>
これは<math>r \ </math>が非常に大きいところでは、
:<math>e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} 
\to \sum_{l=0}^\infty \frac{(2l+1)}{2ik}(\frac{e^{ikr}}{r}-(-1)^l \frac{e^{-ikr}}{r})P_l(\cos\theta) 
\quad (r\to\infty)
\quad \cdots (1)</math>

== 散乱状態の部分波展開 ==
散乱状態は、入射平面波と散乱[[球面波]]の足しあわせであると考える。
:<math>\psi^+(r,\theta) 
= e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} + f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r}\quad \cdots (2)</math>
また、[[ルジャンドル多項式]]<math>P_l(\cos\theta) \ </math>は[[完全系]]をなす。
:<math>\int_0^\pi P_l(\cos\theta) P_{l'}(\cos\theta) \sin\theta d\theta = \frac{2}{2l+1} \delta_{l,l'}</math>
よって[[散乱振幅]]を<math>P_l(\cos\theta) \ </math>の[[線形結合]]で表すことができる。
その展開係数を<math>a_l \ </math>とすると、
:<math>f(\theta)
= \sum_{l=0}^\infty \frac{(2l+1)}{2ik} a_l P_l(\cos\theta) \quad \cdots (3)</math>

よって(2)式に(1)、(3)式を代入すると、<math>r \ </math>が非常に大きいところでの散乱状態<math>\psi^+(r,\theta) \ </math>は、
:<math>\psi^+(r,\theta)
\to \sum_{l=0}^\infty \frac{(2l+1)}{2ik}\Big[(1+a_l)\frac{e^{ikr}}{r}-(-1)^l\frac{e^{-ikr}}{r}\Big]P_l(\cos{\theta})
\quad (r\to\infty)
\quad \cdots (4)</math>
この括弧内の第一項目は外向き球面波を、第二項目は内向き球面波をそれぞれ表している。
==確率の保存・位相のずれ==
確率の保存により、外向き球面波と内向き球面波の振幅の絶対値は等しくならなければならない。つまり、
:<math>\left|1+a_l \right| = 1</math>
ここで'''位相のずれ'''<math>\delta_l \ </math>（実数値）を以下のように定義する。
:<math>1+a_l = e^{i2\delta_l}</math>
(1)式、(4)式を<math>a_l \ </math>ではなく、この<math>\delta_l \ </math>を用いて書き直すと、
:<math>e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} 
\to \sum_{l=0}^\infty \frac{(2l+1)}{kr}i^l \sin(kr- \frac{l\pi}{2}+ \delta_l )P_l(\cos{\theta}) \quad (r\to\infty)\quad \cdots (1)'</math>
:<math>\psi^+(r,\theta)
\to \sum_{l=0}^\infty \frac{(2l+1)}{kr}e^{i\delta_l} i^l \sin(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_l)P_l(\cos{\theta}) \quad (r\to\infty)\quad \cdots (4)'</math>
よって散乱状態は入射状態より位相が<math>\delta_l \ </math>だけずれている。

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|author=砂川重信|year=1977|title=散乱の量子論|publisher=[[岩波書店]]|id=ISBN 4000212133}}

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[[Category:量子力学]]
[[Category:散乱理論]]