余代数のソースを表示

{{出典の明記|date=2014年6月}} 
'''余代数'''（よだいすう、{{lang-en|''coalgebra''}}）とは、[[単位元]]を持つ[[結合多元環|結合代数]]に対して、圏の双対をとったものをいう。

== 定義 ==
<math>K</math> を[[可換体|体]]、<math>C</math> を <math>K</math> 上の[[ベクトル空間]]とする。2つの[[線型写像]] <math>\Delta:C\to C\otimes C</math>、<math>\varepsilon:C\to K</math> が存在して、これらが
#<math>(\mathrm{id}\otimes \Delta)\circ\Delta=(\Delta\otimes\mathrm{id})\circ\Delta\quad</math>（余結合律）、
#<math>(\mathrm{id}\otimes\varepsilon)\circ\Delta=\mathrm{id}=(\varepsilon\otimes\mathrm{id})\circ\Delta\quad</math>（余単位律）
を満たすとき、即ち[[図式]]
:[[ファイル:Coalgebra.png|700px]]
が可換であるとき、組 <math>(C,\Delta,\varepsilon)</math> を余代数という。また、<math>\Delta</math> を余積、<math>\varepsilon</math> を余単位という。

== 諸概念 ==

=== 余代数射 ===
<math>(C,\Delta,\varepsilon)</math>、<math>(D,\Delta',\varepsilon')</math> を <math>K</math>-余代数とする。<math>K</math>-線型写像 <math>f:C\to D</math> が
:<math>\Delta'\circ f=(f\otimes f)\circ\Delta,</math>
:<math>\varepsilon'\circ f =\varepsilon</math>
を満たすとき <math>f</math> を'''余代数射'''（coalgebra morphism）という。これは以下の図式が可換であることと同値:
:[[ファイル:Coalgebra_Morphism.png|350px]]

=== 部分余代数 ===
<math>(C,\Delta,\varepsilon)</math> を余代数、<math>D\subset C</math> とする。<math>D</math> が'''部分余代数'''であるとは、<math>\Delta(D)\subseteq D\otimes D</math> を満たすことをいう。このとき、 <math>(D,\Delta|_{D},\varepsilon|_{D})</math> は余代数の構造を持つ。

=== 余イデアル ===
<math>I</math> を余代数 <math>(C,\Delta,\varepsilon)</math> の[[線形部分空間|部分ベクトル空間]]とする。<math>I</math> が'''余イデアル'''（coideal）であるとは
:<math>\Delta(I)\subseteq I\otimes C +C\otimes I,</math>
:<math>\varepsilon(I)=0</math>
を満たすことをいう。このとき商 <math>C/I</math> は余代数の構造を持つ。

=== 余可換余代数と逆余代数 ===
写像 <math>\mathrm{tw}</math> を <math>\mathrm{tw}:C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\otimes c'\mapsto c'\otimes c</math> で定める。余代数 <math>(C,\Delta,\varepsilon)</math> が'''余可換'''であるとは、 <math>\mathrm{tw}\circ\Delta=\Delta</math> が成り立つことをいう。ここで新しい余積を <math>\Delta_{\mathrm{tw}}=\mathrm{tw}\circ\Delta:C\to C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\mapsto\sum_{i}c^{(2)}_{i}\otimes c^{(1)}_{i}</math> によって定めると、<math>(C,\Delta_{\mathrm{tw}},\varepsilon)</math> は余代数になりこれを'''逆余代数'''という。余代数が余可換であることと <math>\Delta=\Delta_{\mathrm{tw}}</math> となることは同値である。

=== SweedlerのΣ-記法 ===
<math>(C,\Delta,\varepsilon)</math> を余代数とする。<math>c\in C</math> とすると、余積は
:<math>
\Delta(c)=\sum_{i}c^{i}\otimes \tilde{c}^{i}\quad (c^{i},\tilde{c}^{i}\in C)
</math>
と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを
:<math>
\Delta(c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}
</math>
と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:
:<math>\sum c_{(1)(1)}\otimes c_{(1)(2)}\otimes c_{(3)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)(1)}\otimes c_{(2)(2)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}\quad</math>（余結合律）
:<math>\sum\varepsilon\left(c_{(1)}\right)c_{(2)}=\sum c_{(1)}\varepsilon\left(c_{(2)}\right)=c\quad</math>（余単位律）

==例==
* <math>S</math> を空でない任意の集合、<math>kS</math> を <math>S</math> の元を基底とした <math>k</math>-ベクトル空間とする。任意の <math>s\in S</math> に対して余積と余単位を
::<math>
\Delta(s)=s\otimes s,\quad\varepsilon(s)=1
</math>
:で定めると、<math>(kS,\Delta,\varepsilon)</math> は <math>k</math>-余代数の構造を持つ。

* <math>H</math> を <math>K</math>-ベクトル空間、<math>\{c_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}</math> をその基底とする。任意の <math>n\in\mathbb{N}</math> に対して余積と余単位を
::<math>
\Delta(c_{i})=\sum_{i=0}^{n}c_{i}\otimes c_{n-i},\quad\varepsilon(c_{i})=\delta_{0,n}
</math>
:で定めると、<math>(H,\Delta,\varepsilon)</math> は <math>k</math>-余代数の構造を持ち、これを '''devided power coalgebra'''<!--日本語訳分からん--> という。

* <math>M_{n}(K)</math> を <math>n^{2}</math> 次元 <math>K</math>-ベクトル空間、<math>\{e_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}</math> をその基底とする。余積と余単位を
::<math>
\Delta(e_{ij})=\sum_{k}e_{ik}\otimes e_{kj},\quad\varepsilon(e_{ij})=\delta_{i,j}
</math>
:によって定めると <math>(M_{n}(K),\Delta,\varepsilon)</math> は余代数となっていて、これを '''matrix coalgebra'''<!--行列余代数？--> という。

* <math>(P,\leq)</math> を局所有限半順序集合とする。<math>T=\{(x,y)\in P\times P\mid x\leq y\}</math> として <math>V</math> を <math>T</math> の元全体を基底として持つ <math>K</math>-ベクトル空間とする。任意の <math>(x,y)\in T</math> に対して余積と余単位を
::<math>
\Delta(x,y)=\sum_{x\leq z\leq y}(x,z)\otimes(z,y),\quad\varepsilon(x,y)=\delta_{x,y}
</math>
:で定めると <math>(P,\Delta,\varepsilon)</math> は余代数となる。 

* <math>C</math> を <math>K</math>-ベクトル空間とし、その基底を <math>\{s,c\}</math> とする。余積と余単位を
::<math>
\begin{alignat}{3}
\Delta(s)&=s\otimes c+c\otimes s,\quad& \Delta(c)&=c\otimes c-s\otimes s,\\
\varepsilon(s)&=0,\quad&\varepsilon(c)&=1
\end{alignat}
</math>
:で定めると <math>(C,\Delta,\varepsilon)</math> は余代数となり、これを '''trigonometric coalgebra'''<!--日本語訳分からん--> という。 

==K-代数とK-余代数の双対空間==
<math>C</math> を <math>K</math>-余代数、<math>A</math> を <math>K</math>-代数、とする。ここで<math>f,g\in\mathrm{Hom}_{K}(C,A)</math> の積を<math>f\ast g:=m\circ f\otimes g\circ \Delta</math>、即ち任意の <math>c\in C</math>に対して
:<math>
(f\ast g)(c)=\sum f\left(c_{(1)}\right) g\left(c_{(2)}\right)
</math>
で定める。<math>\Delta</math> が余結合的であることから積 <math>\ast</math> は結合的であることがわかる。この積によって <math>\mathrm{Hom}_{K}(A,C)=:C^{\ast}</math> は <math>K</math>-代数となり、<math>C</math> の'''双対代数'''あるいは'''畳み込み代数'''という。単位は
:<math>
\varepsilon\circ u:C\to K\to A,\quad c\mapsto\varepsilon(c)1_{A}
</math>
で与えられる。また<math>C</math> が余可換であることと、全ての可換な <math>A</math> に対して <math>\mathrm{Hom}_{K}(A,C)</math> が可換であることは同値である。

逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。<math>A</math> を有限 <math>K</math>-次元代数とすると、準同型写像
:<math>
A^{\ast}\otimes A^{\ast}\to (A\otimes A)^{\ast},\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)]
</math>
が存在して <math>A^{\ast}\otimes A^{\ast}\simeq (A\otimes A)^{\ast}</math> となる。積と単位の双対
:<math>
\begin{align}
m^{\ast}&:a\to (A\otimes A)^{\ast}\simeq  A^{\ast}\otimes A^{\ast},\\
u^{\ast}&:A\to K,\quad f\mapsto f(1)
\end{align}
</math>
によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に <math>A</math> が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。

== 参考文献 ==
* {{Cite book | author=Tomasz Brzezinski  | author2=Robert Wisbauer | title=Corings and Comodules | publisher=Cambridge University Press | year=2003}}
* {{Cite book | author=Moss E. Sweedler | title=Hopf algebras  | series=Mathematics Lecture Note Series | publisher=W. A. Benjamin | year=1969}}
* {{Cite book | author=Sorin Dăscălescu | author2=Constantin Năstăsescu | author3=Șerban Raianu | title=Hopf Algebra: An Introduction  | series=Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics | volume=235| publisher=Marcel-Dekker | year=2001}} 

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