余因子行列のソースを表示

[[数学]]の[[線形代数学]]において、{{mvar|n}}次[[正方行列]] {{mvar|A}} の'''余因子行列'''（よいんしぎょうれつ、{{lang-en-short|adjugate matrix}}）あるいは'''古典随伴行列'''（こてんずいはんぎょうれつ、{{lang-en-short|classical adjoint matrix}}）とは、{{math2|(''i'', ''j'')}}成分が {{math2|(''i'', ''j'')}}[[余因子]]である行列の[[転置行列]]のことであり<ref>{{Cite book |author=[[:en:Felix Gantmacher|Felix Gantmacher]] |title=The Theory of Matrices |volume=1 |publisher=Chelsea |location=New York |year=1960 |isbn=0-8218-1376-5 |pages=76-89 |url=https://books.google.com/books?id=ePFtMw9v92sC&pg=PA76}}</ref>、記号で <math>\operatorname{adj}(A)</math>, <math>\operatorname{Cof}(A)</math>, <math>\widetilde{A}</math><ref name="nyuumon">{{Cite book|和書 |title=線型代数入門 |series=基礎数学1 |date=1966-03-31 |author=斎藤正彦|authorlink=斎藤正彦 |publisher=[[東京大学出版会]] |isbn=978-4130620017}}</ref> などで表す。これは{{mvar|n}}次正方行列になる。

単に {{math2|(''i'', ''j'')}}成分が {{math2|(''i'', ''j'')}}[[余因子]]である行列（転置をしない）を「余因子行列」と呼ぶ場合もある。[[随伴行列]]や[[随伴作用素]]とは異なる。

余因子行列により、[[正則行列]]の逆行列を具体的に成分表示することができる。

== 定義 ==
[[可換環]] {{mvar|R}} 上の {{mvar|n}}次正方行列 {{math2|''A'' {{=}} (''a''{{sub|''i'',''j''}})}} の'''余因子行列'''とは、{{math2|(''i'', ''j'')}}成分が {{math2|(''j'', ''i'')}}[[余因子]]である {{mvar|n}}次正方行列のことであり、記号で <math>\operatorname{adj}(A)</math>, <math>\widetilde{A}</math><ref name="nyuumon"/> などで表す。

{{mvar|A}} の {{math2|(''i'',''j'')}}[[小行列式]]を {{math|''M''{{sub|''i'',''j''}}}} で表すことにする。これは、{{mvar|A}} の第{{mvar|i}}行、第{{mvar|j}}列を除いてできる {{math2|(''n'' &minus; 1)}}次小正方行列の[[行列式]]である：
:<math>\operatorname{adj}(A) = (b_{i,j}), \quad b_{i,j} =(-1)^{i+j} M_{j,i}</math>
{{mvar|A}} の {{math2|(''i'',''j'')}}余因子を {{math2|{{Tilde|''a''}}{{sub|''i'',''j''}}}} で表すと、
:<math>\widetilde{a}_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{i,j}</math>
:<math>\operatorname{adj}(A) = (b_{i,j}), \quad b_{i,j} = (\widetilde{a}_{j,i})</math>
{{mvar|A}} を[[余因子展開]]は、{{mvar|A}} の余因子行列 {{math|{{Tilde|''A''}}}} により、次のように表せる：
:<math>A\widetilde{A} = \widetilde{A}A = (\det (A))I</math>
ここで {{mvar|I}} は[[単位行列]]である。

{{mvar|A}} が特に正則行列のとき、{{mvar|A}} の逆行列は余因子行列 {{math|{{Tilde|''A''}}}} で表せる：
:<math>A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \widetilde{A}</math>

== 例 ==
=== 1次 ===
{{math|1}}次正方行列 {{math2|''A'' {{=}} (''a'')}} の余因子行列は、{{mvar|A}} が[[零行列]]でないときは、{{math|1}}次単位行列
:<math>I = \begin{bmatrix}1\end{bmatrix}</math>
である。<math>\operatorname{adj}(0)</math> は慣習上 {{math|0}} とする。

=== 2次 ===
{{math|2}}次正方行列
:<math>A = \begin{bmatrix}
a &b \\
c &d
\end{bmatrix}</math>
の余因子行列は
:<math>
\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix}
d  &-b \\
-c &a
\end{bmatrix}</math>
なお、この {{math|2}}次の場合は <math>\operatorname{adj}\operatorname{adj} A=A</math> が成り立つ。

=== 3次 ===
{{math|3}}次正方行列
:<math>A = \begin{bmatrix}
a_{11} &a_{12} &a_{13} \\
a_{21} &a_{22} &a_{23} \\
a_{31} &a_{32} &a_{33}
\end{bmatrix}</math>
の余因子行列を考える。{{math2|(''i'', ''j'')}}成分に {{math2|(''i'', ''j'')}}余因子を並べたものは、
:<math>
C = \begin{bmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33} \end{vmatrix}
 &-\begin{vmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{vmatrix}
 &+\begin{vmatrix} a_{21} &a_{22} \\
 a_{31} &a_{32} \end{vmatrix} \\
 & & \\
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} &a_{33} \end{vmatrix}
 &+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \end{vmatrix}
 &-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{vmatrix} \\
 & & \\
+\begin{vmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{22} &a_{23} \end{vmatrix}
 &-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{21} &a_{23} \end{vmatrix}
 &+\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix}
\end{bmatrix},</math>
ここで
:<math>\begin{vmatrix}
a_{im} &a_{in} \\
a_{jm} &a_{jn}
\end{vmatrix}=\det\begin{bmatrix}
a_{im} &a_{in} \\
a_{jm} &a_{jn}
\end{bmatrix}=\det\begin{vmatrix}
a_{im} &a_{in} \\
a_{jm} &a_{jn}
\end{vmatrix}</math>
である。余因子行列はこれの[[転置行列]]であるから、
:<math>\operatorname{adj}(A) = C^\mathsf{T} = \begin{bmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33} \end{vmatrix}
 &-\begin{vmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{32} &a_{33} \end{vmatrix}
 &+\begin{vmatrix} a_{12} &a_{13} \\ a_{22} &a_{23} \end{vmatrix} \\
 & & \\
-\begin{vmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{vmatrix}
 &+\begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33} \end{vmatrix}
 &-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{21} &a_{23} \end{vmatrix} \\
 & & \\
+\begin{vmatrix} a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32} \end{vmatrix}
 &-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{31} &a_{32} \end{vmatrix}
 &+\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix}
\end{bmatrix}</math>

=== 数値計算 ===
例えば、実3次正方行列
:<math>A= \begin{bmatrix}
-3 &2  &-5 \\
-1 &0  &-2 \\
 3 &-4 &1
\end{bmatrix}</math>
の余因子行列は、
:<math>\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}
-8 &18 &-4 \\
-5 &12 &-1 \\
 4 &-6 & 2
\end{bmatrix}</math>
となる。実際、余因子行列の {{math|(2,3)}}成分は {{math|(3,2)}}余因子であり、それは {{math|(3,2)}}小行列式（第3行、第2列を除いた小行列の行列式）に符号を掛けたものに等しい：
:<math>(-1)^{3+2}\operatorname{det}\begin{bmatrix}
-3 &-5 \\
-1 &-2
\end{bmatrix}=-(-3 \cdot -2 - -5 \cdot -1)=-1</math>

== 性質 ==
{{mvar|A}} を {{mvar|n}}次正方行列とする。
* <math>\operatorname{adj}(O) = O</math>（{{mvar|O}} は零正方行列）
* <math>\operatorname{adj}(I) = I</math>（{{mvar|I}} は単位行列）
* <math>\operatorname{adj}(cA) = c^{n-1}\operatorname{adj}(A)</math>（{{mvar|c}} はスカラー）
* <math>\operatorname{adj}(A^\mathsf{T}) = \operatorname{adj}(A)^\mathsf{T}</math>（{{math|T}} は[[転置行列|転置]]を表す）
* <math>\det(\operatorname{adj}(A)) = (\det A)^{n-1}</math>
* {{mvar|A}} が[[正則行列|正則]]なら、<math>\operatorname{adj}(A) = (\det A) A^{-1}</math>
*:これから次が導かれる：
** {{math|adj(''A'')}} は正則で、その逆行列は{{math|(det ''A''){{sup|&minus;1}}''A''}}
** {{math|1=adj(''A''{{i sup|&minus;1}}) = adj(''A''){{i sup|&minus;1}}}}.
* {{math|adj(''A'')}} の各成分は {{mvar|A}} の成分の多項式である。特に、実数体または複素数体上では、{{math|adj(''A'')}} の各成分は、{{mvar|A}} の成分の[[滑らかな関数]]である。 
複素数体上では、
* <math>\operatorname{adj}(\overline{A}) = \overline{\operatorname{adj}(A)}</math>（{{math|{{overline|&nbsp; }}}} は[[複素共役]]を表す）
* <math>\operatorname{adj}A^* = (\operatorname{adj}A)^*</math>（{{math|*}} は[[随伴行列]]を表す）
{{mvar|B}} をもう1つの {{mvar|n}}次正方行列とする。
*<math>\operatorname{adj}(AB) = \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)</math>
この証明には、2つの方法がある。1つは、[[コーシー・ビネの公式]]により直接計算する方法である。もう1つの方法は、正方行列 {{math2|''A'', ''B''}} に余因子展開の等式を利用する方法である：
:<math>\begin{align}
 (\det AB)\widetilde{AB} &=(\det A)I \times (\det B)I \times \widetilde{AB} \\
 &=(\det A)I \times \widetilde{B}B \times \widetilde{AB} \\
 &=\widetilde{B} \times (\det A)I \times B \times\widetilde{AB} \\
 &=\widetilde{B} \times \widetilde{A}A \times B \times \widetilde{AB} \\
 &=\widetilde{B}\widetilde{A} \times (AB)\widetilde{AB} \\
 &=\widetilde{B}\widetilde{A} \times \det(AB)I \\
 &=\det(AB)\widetilde{B}\widetilde{A} \\
\end{align}</math>
両辺を多項式として　{{math|det ''AB''}} で割ると {{math2|{{Tilde|''AB''}} {{=}} {{Tilde|''B''}}{{Tilde|''A''}}}} を得る。（証明終）

これより、行列の冪乗について次が成り立つ：
*<math>\operatorname{adj}(A^k) = (\operatorname{adj} A)^k</math>（{{mvar|k}} は {{math|0}} 以上の整数）
**{{mvar|A}} が正則なら、この等式は {{mvar|k}} が負の整数の場合についても成り立つ。
*<math>A\operatorname{adj}(A+B)B=B\operatorname{adj}(A+B)A</math>
::等式
:::<math>(A+B)\operatorname{adj}(A+B)B = \det(A+B)B = B\{\operatorname{adj}(A+B)\}(A+B)</math>
::から導かれる。<!--

Suppose that {{math|'''A'''}} commutes with {{math|'''B'''}}.  Multiplying the identity {{math|1='''AB''' = '''BA'''}} on the left and right by {{math|adj('''A''')}} proves that
:<math>\det(\mathbf{A})\operatorname{adj}(\mathbf{A})\mathbf{B} = \det(\mathbf{A})\mathbf{B}\operatorname{adj}(\mathbf{A}).</math>
If {{math|'''A'''}} is invertible, this implies that {{math|adj('''A''')}} also commutes with {{math|'''B'''}}.  Over the real or complex numbers, continuity implies that {{math|adj('''A''')}} commutes with {{math|'''B'''}} even when {{math|'''A'''}} is not invertible.

Finally, there is a more general proof than the second proof, which only requires that an nxn matrix has entries over a field with at least 2n+1 elements (e.g. a 5x5 matrix over the integers mod 11). det(A+tI) is a polynomial in t with degree at most n, so it has at most n roots. Note that the ijth entry of adj((A+tI)(B)) is a polynomial of at most order n, and likewise for adj(A+tI)adj(B). These two polynomials at the ijth entry agree on at least n+1 points, as we have at least n+1 elements of the field where A+tI is invertible, and we have proven the identity for invertible matrices. Polynomials of degree n which agree on n+1 points must be identical (subtract them from each other and you have n+1 roots for a polynomial of degree at most n - a contradiction unless their difference is identically zero). As the two polynomials are identical, they take the same value for every value of t. Thus, they take the same value when t = 0. 

Using the above properties and other elementary computations, it is straightforward to show that if {{math|'''A'''}} has one of the following properties, then {{math|adj '''A'''}} does as well:
* Upper triangular,
* Lower triangular,
* Diagonal,
* Orthogonal,
* Unitary,
* Symmetric,
* Hermitian,
* Skew-symmetric,
* Skew-hermitian,
* Normal.
If {{math|'''A'''}} is invertible, then, as noted above, there is a formula for {{math|adj('''A''')}} in terms of the determinant and inverse of {{math|'''A'''}}.  When {{math|'''A'''}} is not invertible, the adjugate satisfies different but closely related formulas. -->
* {{math|rk(''A'') ≤ ''n'' &minus; 2}} のとき、{{math|adj(''A'') {{=}} ''O''}}
* {{math|rk(''A'') {{=}} ''n'' &minus; 1}} のとき、{{math|1=rk(adj(''A'')) = 1}}
::（{{mvar|A}} のある小行列式は {{math|0}} でない、故に {{math|adj(''A'')}} は {{math|0}} でなく、したがって、[[行列の階数|階数]]は {{math|1}} 以上である。等式 {{math|1=adj(''A'')&thinsp;''A'' = ''0''}} は、{{math|adj('''A''')}} の[[核 (代数学)|核]]の次元は {{math|''n'' &minus; 1}} 以上であることを意味する。故に、{{math|adj(''A'')}} の階数は {{math|1}} 以下である。）
::このとき、{{math|adj(''A'')}} は次のように表せる：
::{{math2|1=adj(''A'') = '''''xy'''''{{sup|T}}}}（{{math2|'''''x''''', '''''y'''''}} は <math>A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{o}</math> かつ <math>{}^tA\boldsymbol{y} = \boldsymbol{o}</math> を満たすベクトルである）

=== 列の置き換えとクラメルの公式 ===
{{See also|クラメルの公式}}
{{mvar|A}} の列ベクトル表示を
:<math>A = (\boldsymbol{a}_1 \ \cdots \ \boldsymbol{a}_n)</math>
とし、{{mathbf|''b''}} を {{mvar|n}}次列ベクトルとする。固定された {{math2|1 ≤ ''j'' ≤ ''n''}} に対し、{{mvar|A}} の第 {{mvar|j}}列を {{mathbf|''b''}} で置き換えた行列を次の記号で定義する：
:<math>(A \stackrel{j}{\leftarrow} \boldsymbol{b})\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \begin{pmatrix}
\boldsymbol{a}_1 &\cdots &\boldsymbol{a}_{j-1} &\boldsymbol{b} &\boldsymbol{a}_{j+1} &\cdots & \boldsymbol{a}_n
\end{pmatrix}</math>
この行列の行列式を第{{mvar|j}}列に関して余因子展開し、それらを集めてできる列ベクトルは、積 {{math|adj(''A'')'''''b'''''}} に等しくなる：
:<math>\left(\det(A \stackrel{j}{\leftarrow} \boldsymbol{b})\right)_{j=1}^n = \operatorname{adj}(A)\boldsymbol{b}</math>
この等式は、具体的な結果を生む。[[線形方程式系]]
:<math>A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}</math>
を考える。{{mvar|A}} を正則と仮定する。この方程式に左から {{math|adj(''A'')}} を掛け、{{math2|det(''A'') (≠ 0)}} で割ると
:<math>\boldsymbol{x} = \frac{1}{\det A} (\operatorname{adj}A) \boldsymbol{b}</math>
ここでクラメルの公式を適用すると、
:<math>x_i = \frac{\det(A \stackrel{i}{\leftarrow} \boldsymbol{b})}{\det A}</math>
ここで {{mvar|x{{sub|i}}}} は {{mathbf|''x''}} の第{{mvar|i}}成分である。

=== 固有多項式 ===
{{mvar|A}} の[[固有多項式]]を
:<math>p(s) = \det(sI-A) = \textstyle\sum\limits_{i=0}^n p_i s^i \in R[s]</math>
とすると、
{{mvar|p}} の第一[[差商]]は、{{math|''n'' &minus; 1}}次[[対称式]]になる：
:<math>\Delta p(s,t) = \frac{p(s)-p(t)}{s-t} = \textstyle\sum\limits_{0 \le j+k<n} p_{j+k+1} s^j t^k \in R[s, t]</math>
{{math|''sI'' &minus; ''A''}} の余因子行列積は、[[ケイリー・ハミルトンの定理]] {{math2|''p''(''A'') {{=}} ''O''}} より、
:<math>\operatorname{adj}(sI-A) = \Delta p(sI,A)</math>
特に、{{mvar|A}} の [[レゾルベント]]は次の式で定義される：
:<math>R(z;A) = (zI-A)^{-1}</math>
さらに上記の等式より、これは次の式に等しい：
:<math>R(z;A) = \frac{\Delta p(zI, A)}{p(z)}</math>

=== ヤコビの公式 ===
{{main|ヤコビの公式}}
[[行列式]]を[[微分]]すると、[[ヤコビの公式]] (Jacobi's formula) により、余因子行列が現れる。{{math|''A''(''t'')}} は連続的微分可能なら、
:<math>\frac{d}{dt}(\det A(t)) = \operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(A(t)) A'(t)\right)</math>
これより、行列式の[[全微分]]は、余因子行列の[[転置行列|転置]]になる：
:<math>d(\det A)_{A_0} = \operatorname{adj}(A_0)^{\mathsf{T}}</math>

=== ケイリー・ハミルトンの定理 ===
{{main|ケイリー・ハミルトンの定理}}
{{math|''p{{sub|A}}''(''t'')}} を線形変換 {{mvar|A}} の[[固有多項式]]とする。[[ケイリー・ハミルトンの定理]]とは、{{mvar|t}} を {{mvar|A}} に置き換えて得られる正方行列が[[零行列]]になることをいう：
:<math>p_A (A) = O</math>
定数項を分離し両辺に {{math|adj(''A'')}} を掛けることで、余因子行列は {{mvar|A}} と {{math|''p{{sub|A}}''(''t'')}} の係数だけで表される。完全指数関数的[[ベル多項式]]を使うと、これらの係数は{{mvar|A}} の冪の[[跡 (線型代数学)|跡]]の項で具体的に表せ、次のようになる：
:<math>\operatorname{adj}(A) = \textstyle\sum\limits_{s=0}^{n-1} A^s \sum\limits_{k_1, \cdots, k_{n-1}} \prod\limits_{\ell=1}^{n-1} \dfrac{(-1)^{k_\ell+1}}{\ell^{k_\ell}k_{\ell}!}\operatorname{tr}(A^\ell)^{k_\ell}</math>
ここで {{mvar|n}} は {{mvar|A}} の次数、総和 {{math|∑}} の {{mvar|s}}, 数列 {{math|''k{{sub|l}}'' ≥ 0}} は次の 1次[[ディオファントス方程式]]を満たしながら取るものとする：
:<math>s+\textstyle\sum\limits_{\ell=1}^{n-1} \ell k_\ell = n-1</math>
特に {{math|2}}次の場合は、次のようになる：
:<math>\operatorname{adj}(A)=I_2\left(\operatorname{tr} A\right) -A</math>
{{math|3}}次の場合は
:<math>\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{2}I_3\left( (\operatorname{tr}A)^2-\operatorname{tr}A^2\right) -A\left(\operatorname{tr} A\right) + A^2</math>
{{math|4}}次の場合は
:<math>\operatorname{adj}(A)=
\frac{1}{6}I_4 \left((\operatorname{tr}A)^3 -3\operatorname{tr}A\operatorname{tr}A^2 +2\operatorname{tr}A^3 \right)
- \frac{1}{2} A\left((\operatorname{tr}A)^2 -\operatorname{tr}A^2 \right)
+ A^2 \left(\operatorname{tr}A\right)
- A^3</math>
上記の表示式は、{{mvar|A}} の[[固有多項式]]を効率良く求めることのできる、[[Faddeev–LeVerrier algorithm]]の最後の段階からも直接導出することができる。

== 外積代数との関係 ==
余因子行列は、[[外積代数]]の抽象的な用語を使うことで表示することができる。{{mvar|V}} を {{mvar|n}}次元[[ベクトル空間]]とする。ベクトルの外積により双線形対が得られる：
:<math>V \times \wedge^{n-1} V \to \wedge^n V</math>
<!-- Abstractly, <math>\wedge^n V</math> is isomorphic to {{math|'''R'''}}, and under any such isomorphism -->ベクトルの外積は完全対である。それ故、それは同型写像を引き起こす：
:<math>\phi \colon V\ \xrightarrow{\cong}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V)</math>
明示すると、この対は、{{math2|'''''v''''' ∈ ''V''}} を <math>\phi_{\boldsymbol{v}}</math> に写す：
:<math>\phi_\boldsymbol{v}(\alpha) = \boldsymbol{v} \wedge \alpha \qquad (\alpha \in \wedge^{n-1} V)</math>
{{math2|''T'' : ''V'' → ''V''}} を線形変換とする。{{mvar|T}} の{{math|(''n'' &minus; 1)}}次外冪による[[引き戻し]]は線形変換空間の[[射 (圏論)|射]]を作る。このとき {{mvar|T}} の'''余因子変換'''は次の[[合成写像|合成]]で定義される：
:<math>V\ \xrightarrow{\phi}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V)\ \xrightarrow{(\wedge^{n-1} T)^*}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V)\ \xrightarrow{\phi^{-1}}\ V</math>
{{math|1=''V'' = '''R'''{{sup|''n''}}}} に 基底 {{math2|('''e'''{{sub|1}}, …, '''e'''{{sub|''n''}})}} が与えられていて、{{mvar|T}} のこの基底に関する表現行列は {{mvar|A}} であるとき、{{mvar|T}} の余因子変換は {{mvar|A}} の余因子行列である。何故正しいのか考えてみるに、<math>\wedge^{n-1} \mathbb{R}^n</math> の基底を取る：
:<math>\{ \boldsymbol{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\boldsymbol{e}_k \wedge \dots \wedge \boldsymbol{e}_n \}_{k=1}^n</math>
{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の基底元 {{math|'''e'''{{sub|''i''}}}} を固定する。{{math|'''e'''{{sub|''i''}}}} の <math>\phi</math> による[[像 (数学)|像]]は、<math>\wedge^{n-1} \mathbb{R}^n</math> の基底ベクトルの移る先を決定する：
:<math>\phi_{\boldsymbol{e}_i}(\boldsymbol{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\boldsymbol{e}_k \wedge \dots \wedge \boldsymbol{e}_n)
= \begin{cases}
 (-1)^{i-1} \boldsymbol{e}_1 \wedge \dots \wedge \boldsymbol{e}_n, &\text{if}\ k=i, \\
0 &\text{otherwise.}
\end{cases}</math>
この基底で、{{mvar|T}} の {{math|(''n'' &minus; 1)}}次外冪 <math>(\wedge^{n-1} T)^*</math> は次のように表せる：
:<math>\boldsymbol{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\boldsymbol{e}_j \wedge \dots \wedge \boldsymbol{e}_n \mapsto \textstyle\sum\limits_{k=1}^n (\det A_{jk}) \,\boldsymbol{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\boldsymbol{e}_k \wedge \dots \wedge \boldsymbol{e}_n</math>
これらのそれぞれの項の <math>\phi_{\boldsymbol{e}_i}</math> による像は、{{math2|1=''k'' = ''i''}} の項を除いて {{math|0}} になる。それ故、<math>\phi_{\boldsymbol{e}_i}</math> の引き戻しは次の線形写像になる：
:<math>\boldsymbol{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\boldsymbol{e}_j \wedge \dots \wedge \boldsymbol{e}_n \mapsto (-1)^{i-1} (\det A_{ji}) \boldsymbol{e}_1 \wedge \dots \wedge \boldsymbol{e}_n</math>
これは次に等しくなる：
:<math>\textstyle\sum\limits_{j=1}^n (-1)^{i+j} (\det A_{ji})\phi_{\boldsymbol{e}_j}</math>
<math>\phi</math> の逆写像を適用することより、{{mvar|T}} の余因子変換は次の式で与えられる線形変換であると分かる：
:<math>\boldsymbol{e}_i \mapsto \textstyle\sum\limits_{j=1}^n (-1)^{i+j}(\det A_{ji})\boldsymbol{e}_j</math>
故に、その表現行列は {{mvar|A}} の余因子行列である。

{{mvar|V}} に[[内積]]と[[体積形式]]が与えられていたら、この写像 {{mvar|φ}} はさらに分解される。この場合、{{mvar|φ}} は[[ホッジ双対]]と双対化の合成ととらえることができる。特に、{{mvar|ω}} が体積形式のとき、それは内積とともに同型写像を引き起こす：
:<math>\omega^\vee \colon \wedge^n V \to \mathbb{R}</math>
これは同型写像を引き起こす：
:<math>\operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} \mathbb{R}^n, \wedge^n \mathbb{R}^n) \cong \wedge^{n-1} (\mathbb{R}^n)^\vee</math>
{{math|'''''v''''' ∈ '''R'''{{sup|''n''}}}} は次の[[線型汎函数]]に一致する：
:<math>(\alpha \mapsto \omega^\vee(\mathbf{v} \wedge \alpha)) \in \wedge^{n-1} (\mathbb{R}^n)^\vee</math>
ホッジ双対の定義により、この線型汎函数は {{math|*'''v'''}} と双対である。つまり、{{math|ω{{sup|∨}} ∘ φ}} は {{math|'''v''' ↦ *'''v'''{{sup|∨}}}} と見なせる。

== 高階余因子行列 ==
{{mvar|A}} を {{mvar|n}}次正方行列とし、{{math2|''r'' ≥ 0}} を固定する。{{mvar|A}} の '''{{mvar|r}}階余因子行列'''とは、<math>\textstyle\binom{n}{r} </math>次正方行列であり、{{math|adj{{sub|''r''}} ''A''}} で表す。その成分は {{math|{{mset|1, …, ''m''}}}} の {{mvar|r}} 個元からなる部分集合 {{math2|''I'', ''J''}} から番号を取るものとする。{{math2|''I''{{i sup|c}}, ''J''{{i sup|c}}}} はそれぞれ {{math2|''I'', ''J''}} の補集合を表すものとする。<math>A_{I^c, J^c}</math> は、行番号、列番号がそれぞれ {{math2|''I''{{sup|c}}, ''J''{{sup|c}}}} から取られる、{{mvar|A}} の[[小行列]]を表すとする。{{math|adj{{sub|''r''}} ''A''}} の {{math|(''I'', ''J'')}} 成分は次の式で定義される：
:<math>(-1)^{\sigma(I) + \sigma(J)} \det A_{J^c, I^c}</math>
ここで {{math2|σ(''I''), σ(''J'')}} はそれぞれ {{math2|''I'', ''J''}} の元の総和を表すとする。

高階余因子行列の基本的な性質として以下がある：
* {{math|1=adj{{sub|0}}(''A'') = det ''A''}}
* {{math|1=adj{{sub|1}}(''A'') = adj ''A''}}
* {{math|1=adj{{sub|''n''}}(''A'') = 1}}
* {{math|1=adj{{sub|''r''}}(''BA'') = adj{{sub|''r''}}(''A'') adj{{sub|''r''}}(''B'')}}
* <math>\operatorname{adj}_r (A) C_r (A) = C_r (A) \operatorname{adj}_r (A) = (\det A) I_{\binom{n}{r}}</math>（{{math|''C{{sub|r}}''(''A'')}} は {{mvar|r}}次[[複合行列]]を表す）
高階余因子行列は通常の余因子行列と同様に、[[抽象代数学]]の言葉を用いても定義できる。<math>V</math>, <math>\wedge^{n-1} V</math> をそれぞれ <math>\wedge^r V</math>, <math>\wedge^{n-r} V</math> に置き換えることでできる。

== 余因子行列の反復合成 ==
[[正則行列]] {{mvar|A}} について、余因子行列の[[反復合成写像|反復合成]]を取ることにより、{{mvar|r}}次余因子行列を考えることができる：
:<math>\underbrace{\operatorname{adj}\cdots\operatorname{adj}}_k \,A = (\det A)^{\frac{(n-1)^k-(-1)^k}n} A^{(-1)^k}</math>
:<math>\det(\underbrace{\operatorname{adj}\cdots\operatorname{adj}}_k \,A) = (\det A)^{(n-1)^k}</math>

例えば、
:<math>\operatorname{adj} \operatorname{adj} A = (\det A)^{n-2} A</math>
:<math>\det(\operatorname{adj} \operatorname{adj} A) = (\det A)^{(n-1)^2}</math>

== 関連項目 ==
* [[小行列式]]
* [[余因子展開]]
* [[ケイリー・ハミルトンの定理]]
* [[クラメルの公式]]
* [[:en:Trace diagram]]
* [[:en:Jacobi's formula]]
* [[:en:Faddeev–LeVerrier algorithm]]

== 参照 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), ''Matrix Analysis'', Second Edition. [[Cambridge University Press]], {{ISBN2|978-0-521-54823-6}}
* Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), ''Topics in Matrix Analysis''. [[Cambridge University Press]], {{ISBN2|978-0-521-46713-1}}

== 外部リンク ==
* [http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/property.html#adjoint Matrix Reference Manual]
*[http://www.elektro-energetika.cz/calculations/matreg.php?language=english Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) - © Rene Vapenik 2008] Compute Adjugate matrix up to order 8
* [https://www.wolframalpha.com/input/?i=adjugate+of+{+{+a%2C+b%2C+c+}%2C+{+d%2C+e%2C+f+}%2C+{+g%2C+h%2C+i+}+} adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } } - Wolfram|Alpha]

{{線形代数}}

{{DEFAULTSORT:よいんしきようれつ}}
[[Category:行列]]
[[Category:行列式]]
[[Category:数学に関する記事]]