余接束のソースを表示

[[数学]]、特に[[微分幾何学]]において、[[滑らかな多様体]]の'''余接束'''（よせつそく、{{lang-en|cotangent bundle}}）は、多様体のすべての点におけるすべての[[余接空間]]からなる[[ベクトル束]]である。それはまた[[接束]]の[[双対束]]として記述することもできる。

== 余接層 ==

余接束の[[滑らかな関数|滑らかな]][[ファイバー束|断面]]は微分 [[1-形式]]である。

=== 余接層の定義 ===
{{mvar|M}} を[[可微分多様体|滑らかな多様体]]とし {{math|''M'' &times; ''M''}} を {{mvar|M}} の自身との[[カルテジアン積]]とする。[[対角写像]] {{mvar|&Delta;}} は {{mvar|M}} の点 {{mvar|p}} を {{math|''M'' &times; ''M''}} の点 {{math|(''p'', ''p'')}} に送る。{{mvar|&Delta;}} の像は対角線 (diagonal) と呼ばれる。<math>\mathcal{I}</math> を対角線上消える {{math|''M'' &times; ''M''}} 上の滑らかな関数の[[芽 (数学)|芽]]の[[層 (数学)|層]]とする。このとき商層 <math>\mathcal{I}/\mathcal{I}^2</math> はより高次の項を法として対角線上消える関数の同値類からなる。余接層はこの層の {{mvar|M}} への{{仮リンク|逆像関手|label=引き戻し|en|inverse image functor}}である。

:<math>\Gamma T^*M=\Delta^*(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2).</math>

[[テイラーの定理]]によって、これは {{mvar|M}} の滑らかな関数の芽の層に関して加群の[[局所自由層]]である。したがってそれは {{mvar|M}} 上の[[ベクトル束]]、'''余接束''' (cotangent bundle) を定義する。

=== 多様体における反変性 ===

多様体の滑らかな射 <math> \phi\colon M\to N</math> は {{mvar|M}} 上の{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|label=引き戻し層|en|Pullback (differential geometry)}} <math>\phi^*T^*N</math> を誘導する。ベクトル束の{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|label=誘導される写像|en|Pullback (differential geometry)#Pullback of cotangent vectors and 1-forms}} <math>\phi^*(T^*N)\to T^*M</math> が存在する。

== 相空間としての余接束 ==

余接束 ''X''=''T''<sup>*</sup>{{mvar|M}} は[[ベクトル束]]であるから、それはそれ自身多様体と見ることができる。{{math|''T''<sup>*</sup>''M''}} の定義が底空間 {{mvar|M}} の[[微分トポロジー]] ({{Lang|en|differential topology}}) に関係づける方法のために、 {{mvar|X}} は自然な 1-形式 {{mvar|&theta;}} （canonical one-form あるいは [[:en:tautological one-form|tautological one-form]] あるいは [[:en:symplectic potential|symplectic potential]]）を有する。{{mvar|&theta;}} の[[外微分]]は[[斜行形式|斜行 2-形式]] ([[:en:symplectic form<!-- リダイレクト先の「[[:en:Symplectic vector space]]」は、[[:ja:斜交ベクトル空間]] とリンク -->|symplectic 2-form]]) であり、そこから非退化[[体積形式]] ({{Lang|en|volume form}}) が {{mvar|X}} に対して構成できる。例えば、結果として {{mvar|X}} は常に[[向き付け可能性|向き付け可能な]]多様体である（つまり {{mvar|X}} の接束は向き付け可能なベクトル束である）。[[座標]]の特別な集合を余接束上定義できる。これらは[[自然座標]] ([[:en:canonical coordinates|canonical coordinates]]) と呼ばれる。余接束は[[シンプレクティック多様体]] ({{Lang|en|symplectic manifold}}) と考えることができるから、余接束上の任意の実関数は[[斜交ベクトル空間|ハミルトニアン]]であると解釈することができる。したがって余接束は[[ハミルトン力学]]が演じる[[相空間]]であると理解できる。

=== 自然 1-形式 ===
{{main|{{仮リンク|自然1-形式|en|Tautological one-form}}}}

余接束は自然 1-形式 (tautological one-form) {{mvar|&theta;}}（''Poincaré'' 1-形式あるいは ''Liouville'' 1-形式とも呼ばれる）をもっている。（この形式は、混乱を招くこともあるが、''canonical one-form'' とも呼ばれる。）これが意味するのは、{{math|''T''<sup>*</sup>''M''}} をそれ自身多様体と見たときに、{{math|''T''<sup>*</sup>''M''}} 上のベクトル束 {{math|''T''<sup>*</sup>(''T''<sup>*</sup>''M''}}) の[[断面 (ファイバー束)|断面]]が存在するということである。

この断面はいくつかの方法で構成することができる。最も初等的な手法は局所座標 (local coordinates) を使うことである。{{math|''x''<sup>''i''</sup>}} を基礎多様体 (base manifold) {{mvar|M}} 上の局所座標系とする。これらの基礎座標系の言葉で言うと、ファイバー座標系 {{math|''p''<sub>''i''</sub>}} が存在する： {{math|''T''<sup>*</sup>''M''}} の特定の点における 1-形式は（[[アインシュタインの縮約記法]]を使って）{{math|''p''<sub>''i''</sub>''dx''<sup>''i''</sup>}} の形をしている。なので多様体 {{math|''T''<sup>*</sup>''M''}} はそれ自身局所座標 {{math|(''x''<sup>''i''</sup>, ''p''<sub>''i''</sub>)}} をもっている、ただし {{mvar|x}} は基礎上の座標で {{mvar|p}} はファイバーにおける座標である。自然 1-形式はこれらの座標系において

:<math>\theta_{(x,p)}=\sum_{{\mathfrak i}=1}^n p_idx^i.</math>

によって与えられる。本質的には、{{math|''T''<sup>*</sup>''M''}} の各固定された点での自然 1-形式の値は{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|label=引き戻し|en|pullback (differential geometry)}}として与えられる。具体的には、{{math|{{π}}: ''T''<sup>*</sup>''M'' &rarr; ''M''}} を束の[[射影 (数学)|射影]] ([[:en:Projection (mathematics)<!-- [[:ja:射影]] とリンク -->|projection]]) としよう。{{math|''T''<sub>''x''</sub><sup>*</sup>''M''}} の点を取ることは {{mvar|M}} の点 {{mvar|x}} と {{mvar|x}} における 1-形式 {{mvar|&omega;}} を選ぶことと同じであり、自然 1-形式 {{mvar|&theta;}} は点 {{math|(''x'', ''&omega;'')}} に値

:<math>\theta_{(x,\omega)}=\pi^*\omega.</math>

を割り当てる。つまり、余接束の接束におけるベクトル {{mvar|v}} に対して、自然 1-形式 {{mvar|&theta;}} の {{math|(''x'', ''&omega;'')}} における {{mvar|v}} への適用は {{mvar|v}} を {{math|''d''{{π}}: ''TT''<sup>*</sup>''M'' &rarr; ''TM''}} を使って {{mvar|x}} における接束に射影し {{mvar|&omega;}} をこの射影に適用することで計算される。自然 1-形式は基礎 {{mvar|M}} 上の 1-形式の引き戻しではないことに注意する。

=== 斜交形式 ===

余接束は、{{仮リンク|自然 1-形式|en|tautological one-form}}、[[:en:symplectic potential|symplectic potential]]、の[[外微分]]として、それ上の自然な[[斜交ベクトル空間|斜交 2-形式]] (symplectic 2-form) をもつ。この形式が実際に斜交であることの証明は、斜交であることは局所的な性質であることを注意することによってできる。余接束は局所的に自明であるから、この定義は <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n</math> 上でチェックされるだけでよい。しかしそこで定義される 1-形式は <math>y_{i}dx_i</math> の和であり、微分は自然な斜交形式、<math>dy_i{\land}dx_i</math> の和である。

=== 相空間 ===

多様体 {{mvar|M}} が[[力学系]]における可能な位置の集合を表していれば、余接束 {{math|''T''<sup>*</sup>''M''}} を可能な''位置''と''運動量''の集合と考えることができる。例えば、これは振り子の[[相空間]]を記述する方法である。振り子の状態は、その位置（角度）と、その運動量（あるいは同じことだが、その速度、なぜならばその質量は変わらないから）によって決定される。全状態空間はシリンダー''のように見える''。シリンダーは円の余接束である。上のシンプレクティックな構成は、適切な[[エネルギー]]関数と一緒に、系の物理の完全な決定を与える。より多くの情報は[[ハミルトン力学]]を、動きのハミルトニアン方程式の明示的な構成は [[:en:geodesic flow<!-- リダイレクト先の「[[:en:Geodesic]]」は、[[:ja:測地線]] とリンク -->]] の記事を参照。

== 関連項目 ==
* [[ルジャンドル変換]]

== 参考文献 ==
*{{cite book |authorlink=Ralph Abraham |first=Ralph |last=Abraham |authorlink2=Jerrold E. Marsden |first2=Jerrold E. |last2=Marsden |title=Foundations of Mechanics |year=1978 |publisher=Benjamin-Cummings |location=London |isbn=0-8053-0102-X }}
*{{cite book |first=Jürgen |last=Jost |title=Riemannian Geometry and Geometric Analysis |year=2002 |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |isbn=3-540-63654-4 }}
*{{cite book |first=Stephanie Frank |last=Singer |title=Symmetry in Mechanics: A Gentle Modern Introduction |year=2001 |publisher=Birkhauser |location=Boston }}

{{DEFAULTSORT:よせつそく}}
[[Category:ベクトル束]]
[[Category:微分位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]