偶関数と奇関数のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年3月}}
[[数学]]において'''偶関数'''（ぐうかんすう、{{lang-en-short|even function}}）および'''奇関数'''（きかんすう、{{lang-en-short|odd function}}）は、変数の[[正の数と負の数|符号]]を[[反数|反転させる変換]]に関してそれぞれ、特定の[[対称性]]を満足する[[関数 (数学)|関数]]である。これらは[[解析学]]の多くの分野、殊に[[冪級数]]や[[フーリエ級数]]に関する理論において重要である。名称は、この性質を満足する[[冪関数]]の冪指数の[[偶奇性|（整数としての）偶奇]]に由来する（すなわち、関数 {{math|1=''f''(''x'') = ''x{{exp|n}}''}} は {{mvar|n}} が偶数のとき偶関数であり、{{mvar|n}} が奇数のとき奇関数である）。

この、'''関数の[[偶奇性]]''' (''parity of function'') の概念は、始域および終域がともに[[加法逆元]]（マイナス元）を持つような場合であれば常に意味を成す。加法逆元を持つような代数系には、例えば任意の[[アーベル群]]、（必ずしも可換でない）[[環 (数学)|環]]や[[体 (数学)|体]]、あるいは[[ベクトル空間]]などが挙げられるから、従って例えば[[実函数|実変数実数値の関数]]やベクトル変数複素数値の関数といったようなものに対して、その偶奇性を定めることができる。

以下では特に断りのない限り、それら[[函数のグラフ]]の[[対称性]]を詳らかにするために、実変数実数値函数に関して述べる。

[[ファイル:cos-curve.png|thumb|偶関数の例：余弦関数は {{mvar|y}} 軸対称]]
[[ファイル:sin-curve.png|thumb|奇関数の例：正弦関数は原点対称]]
[[ファイル:sin_and_cos.png|thumb|正弦関数と余弦関数]]
[[ファイル:Absolute value.svg|thumb|偶関数の例：絶対値関数]]
[[ファイル:Cosh.svg|thumb|偶関数の例：双曲線余弦関数]]
[[ファイル:双曲線正弦関数.png|thumb|奇関数の例：双曲線正弦関数]]
[[画像:Quadratic-func.png|thumb|二次関数のグラフ。{{math|(''x'' − 10)<sup>2</sup>}} を除き偶関数の例である。{{math|1=(''x'' − 10)<sup>2</sup>}} {{math|1== ''x''<sup>2</sup> − 20''x'' + 100}} は 1 次の項を含むので偶関数ではない（奇関数でもない。ただし、{{math|1=''X'' = ''x'' − 10}} に関する偶関数である）。]]
[[画像:Cubic-func.png|thumb|三次関数のグラフ。原点を通る 2 つは奇関数の例になっている。{{math|1=''x'' = 0}} で値を持つ奇関数ならば少なくとも原点を通る（逆は必ずしも真ではない）。]]

== 定義 ==
関数 {{math|''f''(''x'')}} が'''偶関数'''であるとは、<!--定義域は？-->
: <math>f(-x)=f(x)</math>
が任意の {{mvar|x}} について成立することである{{sfn|Gelfand|2002|p=11}}<ref name="F1986">大石 進一『フーリエ解析 (理工系の数学入門コース 6)』 岩波書店、1989年、ISBN 4000077767、13～15頁</ref><ref name="数学3">E.クライツィグ 『技術者のための高等数学3  フーリエ解析と偏微分方程式』 培風館 第5版 (1987/12) ISBN 4563005630、61～62頁</ref>。また、関数 {{math|''f''(''x'')}} が'''奇関数'''であるとは、
: <math>f(-x)=-f(x)</math>
が任意の {{mvar|x}} について成立することである{{sfn|Gelfand|2002|p=72}}<ref name="F1986" /><ref name="数学3" />。

== 性質 ==
=== 基本 ===
* 偶関数 {{mvar|f}} は、{{mvar|xy}}-平面上に {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} の[[グラフ (関数)|グラフ]]を描いたとき {{mvar|y}} 軸に関して[[対称性|対称]]（[[線対称]]）になる。
* 奇関数 {{mvar|f}} は、{{mvar|xy}}-平面上に {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} のグラフを描いたとき原点に関して対称（[[点対称]]）になる。特に、{{math|''f''(0)}} が定義されているならば {{math|1=''f''(0) = 0}} である。
* 奇関数と偶関数の和は一般には奇関数でも偶関数でもない。（例：{{math|''x'' + ''x''<sup>2</sup>}}）
* いくつかの偶関数があるときに、それらの定数倍を足し合わせたもの（[[線型結合]]）も偶関数になる。
* いくつかの奇関数があるときに、それらの定数倍を足し合わせたものも奇関数になる。
* 2 つの偶関数の積は偶関数<ref name="F1986" />
* 2 つの奇関数の積は偶関数<ref name="F1986" />
* 偶関数と奇関数の積は奇関数<ref name="F1986" /><ref name="数学3" />
* 偶関数が微分可能なとき、1 回微分すると奇関数になる。
* 奇関数が微分可能なとき、1 回微分すると偶関数になる。

=== 級数 ===
* 偶関数の0まわりの[[テイラー級数]]は {{mvar|x}} の偶数次の項だけを持つ[[冪級数|べき級数]]である。
* 奇関数の0まわりのテイラー級数は奇数次の項だけを持つべき級数である。
* 周期的な偶関数の[[フーリエ級数]]は {{math|cos}} の項だけで構成される。
* 周期的な奇関数のフーリエ級数は {{math|sin}} の項だけで構成される。

=== 函数の偶奇分解 ===
偶関数全体の成す集合、奇関数全体の成す集合はともに[[ベクトル空間]]の構造を持つ（さらに偶関数の全体は[[交換法則|可換]][[体上の多元環|多元環]]を成す。一方、奇関数の全体は積について閉じておらず多元環を成さない）。

また、任意の関数 {{math|''f''(''x'')}} に対し、
:<math>f_{\text{even}}(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} ,\quad  f_{\text{odd}}(x)= \frac{f(x)-f(-x)}{2}</math>
で定義される函数 {{math|''f''{{sub|even}}}} および {{math|''f''{{sub|odd}}}} はそれぞれ偶関数および奇関数<ref name="F1986" />であり、それぞれ {{mvar|f}} の'''偶成分''' (even part) および'''奇成分''' (odd part) という。

このとき、明らかに {{math|''f'' {{=}} ''f''{{sub|even}} + ''f''{{sub|odd}}}} が成り立つが、関数 {{math|''f''(''x'')}} が偶関数かつ奇関数となるのは {{math|1=''f''(''x'') = 0}} の[[iff|とき、かつそのときに限る]]から、そのような表し方はただ一通りである。すなわち、関数全体の成すベクトル空間は、偶関数全体の成すベクトル空間と奇関数全体の成す[[ベクトル空間の直和]]に分解される。

== 例 ==
=== 偶関数 ===
* [[絶対値]]関数 {{math|{{mabs|''x''}}}}
* [[余弦関数]]<ref name="数学4">E.クライツィグ  『技術者のための高等数学4  複素関数論』 培風館 第8版 (2003/3) ISBN 4563011185、203頁</ref>   {{math|cos ''x''}}
* [[双曲線関数|双曲線余弦関数]] {{math|cosh ''x''}}
* {{math|''x''{{sup|2}}}}, {{math|''x''{{sup|4}}}}, {{math|1=''x''{{sup|0}} = 1}}, {{math|1=''x''{{sup|−2}} = 1/''x''{{sup|2}}}} 等の[[偶数]]次冪関数 {{math|''x''<sup>2''n''</sup>}}（{{mvar|n}} は整数）。
* [[定数関数]]
* 任意の関数 {{math|''f''(''x'')}} に対して {{math|''f''(''x'') + ''f''(−''x'')}}

=== 奇関数 ===
* [[正弦関数]]<ref name="数学4" />   {{math|sin ''x''}}
* [[正接関数]] {{math|tan ''x''}}
* 双曲線正弦関数 {{math|sinh ''x''}}
* {{mvar|x}}, {{math|''x''{{sup|3}}}}, {{math|''x''{{sup|−1}}}} 等の[[奇数]]次冪関数 {{math|''x''<sup>2''n'' − 1</sup>}}（{{mvar|n}} は整数）
* 逆正弦関数 {{math|sin<sup>−1</sup>''x''}}
* 逆正接関数 {{math|tan<sup>−1</sup>''x''}}
* 逆双曲線正弦関数 {{math|sinh<sup>−1</sup>''x''}}
* [[単射]]な奇関数 {{math|''f''(''x'')}} の[[逆関数]] {{math|''f'' {{sup|−1}}(''x'')}}
* 任意の関数 {{math|''f''(''x'')}} に対して {{math|''f''(''x'') − ''f''(−''x'')}}

== 関連項目 ==
* [[偶奇性]] - [[整数の偶奇性]]・[[置換の偶奇性]]
* [[パリティ (物理学)]]
* {{仮リンク|エルミート函数|en|Hermitian function}}

== 注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Citation |last=Gelfand |first=I. M. |last2=Glagoleva |first2=E. G. |last3=Shnol |first3=E. E. |author-link=Israel Gelfand |year=2002 | origyear=1969 |title=Functions and Graphs |publisher=Dover Publications |publication-place=Mineola, N.Y |page= |url=http://store.doverpublications.com/0486425649.html |accessdate= }}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1052|偶関数と奇関数の意味，性質などまとめ}}
* {{MathWorld|urlname=EvenFunction|title=Even Function}}
* {{MathWorld|urlname=OddFunction|title=Odd Function}}
* {{PlanetMath|urlname=evenandoddfunctions|title=Even and odd functions|author=yark, matte, Cam McLeman}}

{{DEFAULTSORT:くうかんすうときかんすう}}
[[Category:解析学]]
[[Category:関数]]
[[Category:関数の種類]]
[[Category:対称性]]
[[Category:数学に関する記事]]