傾き (数学)のソースを表示

{{about||物理的形状の水平距離当たりの傾き|縦断勾配|ベクトル解析における勾配|勾配 (ベクトル解析)}}
{{出典の明記|date=2012年8月}}
[[File:Slope picture.svg|right|thumb|平面上の直線の傾きは、垂直移動距離を水平移動距離で割った ''{{mvar|m}}'' = {{sfrac|''Δy''|''Δx''}} で定義される]]
[[数学]]における[[平面]]上の[[直線]]の'''傾き'''（かたむき、{{lang-en-short|''slope''}}）あるいは'''勾配'''（こうばい、{{lang-en-short|''gradient''}}）は、その傾斜の具合を表す数値である。ただし、[[鉛直|鉛直線]]に対する傾きは定義されない。一般的な用語として水平は傾いているとは言われないが、数学では「傾き０」とされ水平も傾きに含まれる。

傾きは普通、直線上の2点間の'''変化の度合い'''、すなわち ''{{mvar|x}}'' の'''変化量'''に対する ''{{mvar|y}}'' の変化量の比率として定義される。また、[[同値]]な定義として、傾き ''{{mvar|m}}'' は傾斜角を ''{{mvar|θ}}'' として
:<math>m=\tan \theta</math>
と書くことができる。

[[曲線]]上の[[微分可能関数|微分可能]]な1点に対しても、傾斜の具合を表す数値（'''微分係数'''）が、傾きの考え方により定義できる。

傾きの概念は、[[地理学]]および[[土木工学]]における斜度や勾配（たとえば[[道路]]など）に直接応用される。

== 定義 ==
''{{mvar|xy}}''平面上の直線の傾きは、''{{mvar|x}}''座標の増加量に対する ''{{mvar|y}}''座標の増加量の比率と定義される。式で書けば、直線の傾き ''{{mvar|m}}'' は
:<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>
で記述される。ここで、[[ギリシア文字]] "[[Δ]]"（デルタ）は、数学において「増加量」や「増分」を表す符牒としてよく用いられる。

増加量とは差のことなので、直線上の2点を任意に取り、それらを (''{{mvar|x}}''{{sub|1}}, ''{{mvar|y}}''{{sub|1}}), (''{{mvar|x}}''{{sub|2}}, ''{{mvar|y}}''{{sub|2}}) とする。このとき、''{{mvar|m}}'' は
:<math>m=\frac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1}</math>
で求められる。

これらの等式から分かるように、鉛直線（''{{mvar|y}}''軸に平行な直線）の傾きは、[[ゼロ除算]]となり、定義されない。

（例）

直線が2点 <math>P(1, 2)</math>, <math>Q(13, 8)</math> を通るとする。増加量として、{{mvar|P}} に対する {{mvar|Q}} の増加量と考えるか、{{mvar|Q}} に対する {{mvar|P}} の増加量と考えるかで符号の違いが現れるが、それらの商である傾きとしてはどちらも変わらない。ここでは {{mvar|P}} に対する {{mvar|Q}} の増加量を考える。
:''{{mvar|x}}''の増加量 ''Δ{{mvar|x}}'' = 13 &minus; 1 = 12
:''{{mvar|y}}''の増加量 ''Δ{{mvar|y}}'' = 8 &minus; 2 = 6
傾き ''{{mvar|m}}'' とは、''{{mvar|y}}''座標の増加量 ''Δ{{mvar|x}}'' に対する ''{{mvar|y}}''座標の増加量 ''Δ{{mvar|y}}'' の比率のことなので、
:<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} =\frac{8-2}{13-1}=\frac{6}{12} =\frac{1}{2}</math>
である。

直線が2点 <math>P(4, 15)</math>, <math>Q(3, 21)</math> を通るならば、傾きは
:<math>m =\frac{21-15}{3-4} =\frac{6}{-1} =-6</math>
である。

== 傾斜角による記述 ==
傾斜の度合いを表す傾きは、'''傾斜角'''と関係が深い。たとえば、傾き 1 の直線の傾斜角は 45° である。傾き &minus;1 ならば、傾斜角を 0°～180° の範囲で考えると 135°、&minus;90°～90° の範囲で考えると &minus;45° である。なお、鉛直線の傾きは定義されなかったが、傾斜角は定義され、90° である。

傾斜角とは、直線と ''{{mvar|x}}''軸の正の部分が作る角（反時計回りが正の向き）と定義される。取り得る範囲として 0° ≤ ''{{mvar|θ}}'' < 180° または &minus;90° < ''{{mvar|θ}}'' ≤ 90° の2つの流儀がある（状況に応じて使い分ける）。

直線の傾きを ''{{mvar|m}}''、傾斜角を ''{{mvar|θ}}'' とすると、2つの間には、[[三角法]]における[[三角関数|正接函数]]を用いて
:<math>m=\tan \theta \ (\iff \theta =\arctan m)</math>
の関係がある。

== 性質 ==
*異なる2直線が[[平行]]であるための[[同値|必要十分条件]]は、それらの傾きが等しいこと、または、傾きがともに定義されないことである。
*異なる2直線が[[直交]]するための必要十分条件は、傾きの[[積]]が &minus;1、または、傾きが 0 と定義されない場合であることである。
::たとえば、傾き <math>\tfrac{2}{7}</math> の直線に垂直な直線の傾きは <math>-\tfrac{7}{2}</math> である。
*傾き ''m'' の直線と傾き ''m' ''の直線が作る角 ''θ'' は
::<math>\tan \theta =\pm \frac{m-m'}{1+mm'}</math>
:で求められる（[[三角関数#加法定理|三角関数の加法定理]]）。

== 1次関数における傾き ==
=== 傾き・切片 ===
''{{mvar|y}}'' は ''{{mvar|x}}'' の[[一次関数]]であるとする。このとき、''{{mvar|x}}'' と ''{{mvar|y}}'' には ''{{mvar|y}}'' = ''{{mvar|ax}}'' + ''{{mvar|b}}'' と表される関係があり、そのグラフは直線となる。この直線の傾きは ''{{mvar|a}}'' に等しい。
:（証明）
:''{{mvar|y}}'' = ''{{mvar|ax}}'' + ''{{mvar|b}}'' のグラフ上の任意の2点 {{mvar|P}}, {{mvar|Q}} を取る。{{mvar|P}}, {{mvar|Q}} の ''{{mvar|x}}''座標をそれぞれ ''{{mvar|x}}''{{sub|1}}, ''{{mvar|x}}''{{sub|2}} とすると、{{mvar|P}}, {{mvar|Q}} の座標は
:{{mvar|P}} (''{{mvar|x}}''{{sub|1}}, ''{{mvar|ax}}''{{sub|1}} + ''{{mvar|b}}''), {{mvar|Q}} (''{{mvar|x}}''{{sub|2}}, ''{{mvar|ax}}''{{sub|2}} + ''{{mvar|b}}'')
:である。
:''{{mvar|x}}''の増加量 ''{{mvar|Δx}}'' = ''{{mvar|x}}''{{sub|2}} &minus; ''{{mvar|x}}''{{sub|1}}
:''{{mvar|y}}''の増加量 ''{{mvar|Δy}}'' = (''{{mvar|ax}}''{{sub|2}} + ''{{mvar|b}}'') &minus; (''{{mvar|ax}}''{{sub|1}} + ''{{mvar|b}}'')
:= ''{{mvar|ax}}''{{sub|2}} &minus; ''{{mvar|ax}}''{{sub|1}}
:= ''{{mvar|a}}'' (''{{mvar|x}}''{{sub|2}} &minus; ''{{mvar|x}}''{{sub|1}})
:傾き ''{{mvar|m}}'' は、
:<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{a(x_2 -x_1)}{x_2 -x_1} =a</math>（証明終）
1次関数 ''{{mvar|y}}'' = ''{{mvar|ax}}'' + ''{{mvar|b}}'' において、''{{mvar|a}}'' を傾きと呼ぶのに対して、''{{mvar|b}}'' を''' ''{{mvar|y}}''[[切片 (数学)|切片]]'''と呼ぶ。1次関数の ''{{mvar|y}}''切片は、グラフ（直線）が ''{{mvar|y}}'' 軸と交わる点の ''{{mvar|y}}'' 座標に等しい。したがって、''{{mvar|y}}'' = ''{{mvar|ax}}'' + ''{{mvar|b}}'' の形の方程式を「傾き・切片標準形」と呼ぶこともある。

1次関数 ''{{mvar|y}}'' = ''{{mvar|ax}}'' + ''{{mvar|b}}'' のグラフは、''{{mvar|y}}''軸平行の直線にはなりえないことに注意が必要である。

=== 1次関数の決定 ===
1次関数の傾き ''{{mvar|m}}'' と直線上の1点 (''{{mvar|x}}''{{sub|1}}, ''{{mvar|y}}''{{sub|1}}) が既知ならば、1次関数の方程式は
:<math>y-y_1 =m(x-x_1)</math>
で与えられる（これを「点・傾き標準形」と呼ぶことがある）。

（例）

1次関数のグラフが2点 (2, 8), (3, 20) を通るとする。1次関数の傾き ''{{mvar|m}}'' は 
:<math>\frac{20-8}{3-2} =12</math>
だから、直線の方程式は1点・傾き標準形で
:''{{mvar|y}}'' &minus; 8 = 12(''{{mvar|x}}'' &minus; 2)
と求まる。これはつまり
:''{{mvar|y}}'' = 12''{{mvar|x}}'' &minus; 16
である。

=== 直線の一般形 ===
前述の通り、1次関数のグラフは全ての直線を表さない。2変数[[線型方程式]]の一般形
:<math>ax+by+c=0</math>
は全ての直線を表す。''{{mvar|b}}'' ≠ 0 ならば、傾きが存在し、<math>-\tfrac{a}{b}</math> である。

=== 直線の切片形 ===
<math>\frac{x}{a} +\frac{y}{b} =1</math> の形の方程式は切片形と呼ばれる。このとき ''{{mvar|y}}'' は ''{{mvar|x}}'' の1次関数で、
:''{{mvar|x}}''切片が ''{{mvar|a}}''
:''{{mvar|y}}''切片が ''{{mvar|b}}''
となる。この直線の傾きは <math>-\tfrac{b}{a}</math> である。

== 方向ベクトルとの関係 ==
直線の傾きが ''{{mvar|m}}'' であることは、その直線の方向[[空間ベクトル|ベクトル]]が (1, ''{{mvar|m}}'') であることと同値である。

== 微分係数 ==
[[File:Graph of sliding derivative line.gif|right|frame|各点における[[微分係数]]とは、その点における曲線の[[接線]]の傾きのことである。各点に対して図の直線は常に曲線（青）の接線を表す。接線を、微分係数が正のときは緑、負のときは赤、0 のときは黒で表している。]]
[[曲線]]上の1点に対しても、そこで微分可能ならば、傾斜の具合を表す数値としての傾きが定義できる。

''{{mvar|Δx}}'' と ''{{mvar|Δy}}'' を曲線上の2点間のそれぞれ ''{{mvar|x}}''座標、''{{mvar|y}}''座標の増加量とすると、その2点を通る直線（[[弦 (数学)|弦]]という）の傾き ''{{mvar|m}}'' は
:<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>
である。この2点間を狭めたときの ''{{mvar|m}}'' の[[極限]]が、そこを直線として近似した傾きと考えられる。これは[[接線]]の傾きであり、'''微分係数'''と呼ばれる。場所 ''{{mvar|x}}'' を変数とした
:<math>\frac{dy}{dx} =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}</math>
を、曲線の'''導関数'''と呼ぶ。

微分係数が定義できない例としては、次のような例がある。
*三角屋根型
**''{{mvar|y}}'' = |''{{mvar|x}}''| における ''{{mvar|x}}'' = 0
*振動型
**<math>y=\left\{ \begin{array}{ll}
x\sin \frac{1}{x} &(x\neq 0)\\
0 &(x=0)
\end{array} \right.</math>（これは ''{{mvar|x}}'' = 0 で[[連続 (数学)|連続]]である）における ''{{mvar|x}}'' = 0
**[[ワイエルシュトラス関数]]

== 関連項目 ==
*[[勾配 (ベクトル解析)]]: 多変数への一般化
*[[平面における直線の標準形]]
*[[縦断勾配]]

{{DEFAULTSORT:かたむき}}
[[Category:解析幾何学]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]